由“動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式E=Blv的推導(dǎo)過(guò)程”引發(fā)的思考

摘" "要：從動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的微觀(guān)機(jī)理出發(fā)，通過(guò)界定“掃過(guò)的面積”和“回路的面積”，對(duì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生條件以及動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系進(jìn)行再梳理，明確了動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式E=Blv是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=的一個(gè)特例，從而幫助學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)再認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)；感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；閉合導(dǎo)線(xiàn)；回路的面積

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2025）1-0067-3

高中課本上動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式推導(dǎo)選用的是一個(gè)特殊的情境，學(xué)生由此推導(dǎo)過(guò)程會(huì)衍生出一些認(rèn)識(shí)并造成認(rèn)知沖突，用這些認(rèn)識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題就會(huì)遇到困難。下面從這些“沖突”和“困難”出發(fā)去推理論證，讓“認(rèn)識(shí)”更加明晰、透徹。

1" " 課本上動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式的推導(dǎo)過(guò)程

人教版高中物理選擇性必修第二冊(cè)中“法拉第電磁感應(yīng)定律”一節(jié)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律推導(dǎo)出動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式，其推導(dǎo)過(guò)程如下。

如圖1所示，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，線(xiàn)框平面跟磁感線(xiàn)垂直［1］。設(shè)線(xiàn)框可動(dòng)部分導(dǎo)體棒MN的長(zhǎng)度為l，它以速度v向右運(yùn)動(dòng)，在Δt時(shí)間內(nèi)，由原來(lái)位置MN移到M1N1。這個(gè)過(guò)程線(xiàn)框面積變化量為

ΔS=lvΔt

故穿過(guò)閉合電路的磁通量的變化量為

ΔΦ=BΔS=BlvΔt

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律E=-，可得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv。

由上述推導(dǎo)過(guò)程可以得出三點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

（1）動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式E=Blv適用于閉合電路中部分導(dǎo)體做切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的情形；

（2）動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生原因是閉合電路“回路的面積”的磁通量發(fā)生變化；

（3）動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式E=Blv是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=的一個(gè)特例，故動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)也可以用公式E=計(jì)算。

2" " 非閉合回路切割磁感線(xiàn)能產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

對(duì)于認(rèn)識(shí)（1），動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式E=Blv適用于閉合電路的部分導(dǎo)體做切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的情形。但是，圖2中導(dǎo)體棒沒(méi)有連接成閉合回路或者說(shuō)不是閉合導(dǎo)線(xiàn)，沒(méi)有閉合回路談磁通量以及磁通量變化也就無(wú)意義，那么如何能產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，又如何能夠用公式E=Blv計(jì)算呢？

要弄清上述問(wèn)題，還必須從產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的微觀(guān)機(jī)理去推導(dǎo)其表達(dá)式。

如圖3所示，當(dāng)導(dǎo)體棒MN以速度v向右平移時(shí)，它里面的電子也隨之向右運(yùn)動(dòng)。由左手定則知電子受到的洛倫茲力向下并促使自由電子向下運(yùn)動(dòng)。所以，電子同時(shí)參與兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，一邊隨導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)，一邊沿導(dǎo)體棒向下運(yùn)動(dòng)［2］。隨著導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)的速度為vx=v，對(duì)應(yīng)的洛倫茲力為fy=evx B=evB；沿著導(dǎo)體棒向下運(yùn)動(dòng)的速度為vy，對(duì)應(yīng)的洛倫茲力為fx=evy B。

在導(dǎo)體棒內(nèi)通過(guò)洛倫茲力fy=evB克服靜電力不斷把電子從M端搬運(yùn)到N端，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。可見(jiàn)，洛倫茲力fy=evB充當(dāng)了產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力，即F=fy=evB，則單位電荷所受的非靜電力= =vB。

由電動(dòng)勢(shì)定義E=知，電動(dòng)勢(shì)在數(shù)值上等于單位電荷受到的非靜電力所做的功，即

E=vBdl=vBl=Blv

而所有電子受到fx=eBvy的合力，宏觀(guān)上即為導(dǎo)體棒受到的安培阻力。從能量的轉(zhuǎn)化和守恒角度來(lái)看，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的過(guò)程就是通過(guò)外力克服安培阻力做功把其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能的過(guò)程。

由上述推導(dǎo)過(guò)程可以明確，非閉合回路的導(dǎo)線(xiàn)切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)可以產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，即動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生不依賴(lài)于電路的閉合，只要導(dǎo)線(xiàn)切割磁感線(xiàn)即可。

那么，又如何理解認(rèn)識(shí)（2）中產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)時(shí)的磁通量變化呢？

3" " 產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的原因是導(dǎo)體“掃過(guò)的面積”磁通量發(fā)生變化

在第二種推導(dǎo)中，l是導(dǎo)體棒MN的長(zhǎng)度，v是MN在單位時(shí)間內(nèi)移過(guò)的距離，故vl是MN在單位時(shí)間里“掃過(guò)的面積”（圖4），亦是單位時(shí)間里“掃過(guò)的面積”的增加量。于是，Blv便是“掃過(guò)的面積”的磁通量在單位時(shí)間內(nèi)的變化量，即磁通量變化率，這與法拉第電磁感應(yīng)定律一致。

回看第一種推導(dǎo)，“回路的面積”的磁通量變化也等于“掃過(guò)的面積”的磁通量變化，它產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的條件應(yīng)理解成：切割磁感線(xiàn)的導(dǎo)體“掃過(guò)的面積”的磁通量發(fā)生變化。

再?gòu)牧硪环矫鎭?lái)說(shuō)明產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的這一條件。如圖5所示，閉合線(xiàn)框abcd整體在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中向右做切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

因“回路的面積”的磁通量不變化，所以閉合回路沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。若從“掃過(guò)的面積”來(lái)看，邊ab、cd都掃過(guò)一定的面積，所以ab、cd兩邊都產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)Bl1v，因兩電動(dòng)勢(shì)反向串聯(lián)，所以對(duì)整個(gè)回路來(lái)說(shuō)電動(dòng)勢(shì)還是為零。

4" " 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式E=Blv是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=的一個(gè)特例

綜上，可以把動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式E=Blv納入到法拉第電磁感應(yīng)定律E=的體系中，即動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=Blv是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=的一個(gè)特例，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)大小也可以用公式E=計(jì)算。

產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)時(shí)磁通量的變化可理解成導(dǎo)體切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)“掃過(guò)的面積”的磁通量變化，而不一定是“回路的面積”的磁通量變化。只要閉合電路的部分導(dǎo)體或非閉合回路的導(dǎo)線(xiàn)切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)“掃過(guò)的面積”的磁通量發(fā)生改變，無(wú)論是平動(dòng)還是轉(zhuǎn)動(dòng)，無(wú)論電路是否閉合，都會(huì)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，都能用公式E=Blv計(jì)算，也都一定能用公式E=計(jì)算。至此，我們肯定了認(rèn)識(shí)（3）。下面再以實(shí)例加以說(shuō)明。

5" " 用公式E=計(jì)算動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)實(shí)例分析

高中物理中一些用“回路的面積”的磁通量不好解決的問(wèn)題，用“掃過(guò)的面積”的磁通量就很好解決了。

如圖6中導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，就可以用導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中“掃過(guò)的面積”的磁通量變化率來(lái)推導(dǎo)。

導(dǎo)體棒M端的速度

v=ωl

Δt時(shí)間導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動(dòng)掃過(guò)的面積

ΔS=vΔtl=ωl2Δt

磁通量的變化量

ΔΦ=BΔS=B·ωl2Δt

由法拉第電磁感應(yīng)定律有

E==Bωl2

這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程不依賴(lài)于“閉合回路”，也沒(méi)有用動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式，而是直接用感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式即可。

再如圖7所示，導(dǎo)體棒MN以速度v向右勻速切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

上述情形用動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式E=Blv求解很容易理解，用法拉第電磁感應(yīng)定律E=求解學(xué)生就會(huì)有疑惑，左邊回路磁通量變大，右邊回路磁通量變小，怎么理解和列式。但若理解成導(dǎo)體棒MN“掃過(guò)的面積”的磁通量變化率問(wèn)題就迎刃而解了，則E====Blv。

參考文獻(xiàn)：

［1］梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1980：363-365.

［2］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中教科書(shū)物理必修第三冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2020：31-32.

（欄目編輯" " 蔣小平）