由“動生電動勢公式E=Blv的推導過程”引發的思考

摘" "要：從動生電動勢產生的微觀機理出發，通過界定“掃過的面積”和“回路的面積”，對動生電動勢的產生條件以及動生電動勢和感應電動勢的關系進行再梳理，明確了動生電動勢公式E=Blv是感應電動勢公式E=的一個特例，從而幫助學生對相關內容實現再認識。

關鍵詞：動生電動勢；感應電動勢；閉合導線；回路的面積

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2025）1-0067-3

高中課本上動生電動勢公式推導選用的是一個特殊的情境，學生由此推導過程會衍生出一些認識并造成認知沖突，用這些認識處理實際問題就會遇到困難。下面從這些“沖突”和“困難”出發去推理論證，讓“認識”更加明晰、透徹。

1" " 課本上動生電動勢公式的推導過程

人教版高中物理選擇性必修第二冊中“法拉第電磁感應定律”一節根據法拉第電磁感應定律推導出動生電動勢的表達式，其推導過程如下。

如圖1所示，已知磁感應強度為B，線框平面跟磁感線垂直［1］。設線框可動部分導體棒MN的長度為l，它以速度v向右運動，在Δt時間內，由原來位置MN移到M1N1。這個過程線框面積變化量為

ΔS=lvΔt

故穿過閉合電路的磁通量的變化量為

ΔΦ=BΔS=BlvΔt

根據法拉第電磁感應定律E=-，可得感應電動勢E=Blv。

由上述推導過程可以得出三點認識：

（1）動生電動勢公式E=Blv適用于閉合電路中部分導體做切割磁感線運動的情形；

（2）動生電動勢的產生原因是閉合電路“回路的面積”的磁通量發生變化；

（3）動生電動勢公式E=Blv是感應電動勢公式E=的一個特例，故動生電動勢也可以用公式E=計算。

2" " 非閉合回路切割磁感線能產生動生電動勢

對于認識（1），動生電動勢公式E=Blv適用于閉合電路的部分導體做切割磁感線運動的情形。但是，圖2中導體棒沒有連接成閉合回路或者說不是閉合導線，沒有閉合回路談磁通量以及磁通量變化也就無意義，那么如何能產生感應電動勢，又如何能夠用公式E=Blv計算呢？

要弄清上述問題，還必須從產生動生電動勢的微觀機理去推導其表達式。

如圖3所示，當導體棒MN以速度v向右平移時，它里面的電子也隨之向右運動。由左手定則知電子受到的洛倫茲力向下并促使自由電子向下運動。所以，電子同時參與兩個方向的運動，一邊隨導體棒向右運動，一邊沿導體棒向下運動［2］。隨著導體棒向右運動的速度為vx=v，對應的洛倫茲力為fy=evx B=evB；沿著導體棒向下運動的速度為vy，對應的洛倫茲力為fx=evy B。

在導體棒內通過洛倫茲力fy=evB克服靜電力不斷把電子從M端搬運到N端，從而產生感應電動勢。可見，洛倫茲力fy=evB充當了產生動生電動勢的非靜電力，即F=fy=evB，則單位電荷所受的非靜電力= =vB。

由電動勢定義E=知，電動勢在數值上等于單位電荷受到的非靜電力所做的功，即

E=vBdl=vBl=Blv

而所有電子受到fx=eBvy的合力，宏觀上即為導體棒受到的安培阻力。從能量的轉化和守恒角度來看，產生動生電動勢的過程就是通過外力克服安培阻力做功把其他形式的能轉化為電能的過程。

由上述推導過程可以明確，非閉合回路的導線切割磁感線運動可以產生動生電動勢，即動生電動勢的產生不依賴于電路的閉合，只要導線切割磁感線即可。

那么，又如何理解認識（2）中產生動生電動勢時的磁通量變化呢？

3" " 產生動生電動勢的原因是導體“掃過的面積”磁通量發生變化

在第二種推導中，l是導體棒MN的長度，v是MN在單位時間內移過的距離，故vl是MN在單位時間里“掃過的面積”（圖4），亦是單位時間里“掃過的面積”的增加量。于是，Blv便是“掃過的面積”的磁通量在單位時間內的變化量，即磁通量變化率，這與法拉第電磁感應定律一致。

回看第一種推導，“回路的面積”的磁通量變化也等于“掃過的面積”的磁通量變化，它產生動生電動勢的條件應理解成：切割磁感線的導體“掃過的面積”的磁通量發生變化。

再從另一方面來說明產生動生電動勢的這一條件。如圖5所示，閉合線框abcd整體在勻強磁場中向右做切割磁感線運動。

因“回路的面積”的磁通量不變化，所以閉合回路沒有感應電動勢。若從“掃過的面積”來看，邊ab、cd都掃過一定的面積，所以ab、cd兩邊都產生動生電動勢Bl1v，因兩電動勢反向串聯，所以對整個回路來說電動勢還是為零。

4" " 動生電動勢公式E=Blv是感應電動勢公式E=的一個特例

綜上，可以把動生電動勢公式E=Blv納入到法拉第電磁感應定律E=的體系中，即動生電動勢E=Blv是感應電動勢E=的一個特例，動生電動勢大小也可以用公式E=計算。

產生動生電動勢時磁通量的變化可理解成導體切割磁感線運動“掃過的面積”的磁通量變化，而不一定是“回路的面積”的磁通量變化。只要閉合電路的部分導體或非閉合回路的導線切割磁感線運動“掃過的面積”的磁通量發生改變，無論是平動還是轉動，無論電路是否閉合，都會產生動生電動勢，都能用公式E=Blv計算，也都一定能用公式E=計算。至此，我們肯定了認識（3）。下面再以實例加以說明。

5" " 用公式E=計算動生電動勢實例分析

高中物理中一些用“回路的面積”的磁通量不好解決的問題，用“掃過的面積”的磁通量就很好解決了。

如圖6中導體棒轉動切割磁感線產生的動生電動勢，就可以用導體棒轉動過程中“掃過的面積”的磁通量變化率來推導。

導體棒M端的速度

v=ωl

Δt時間導體棒轉動掃過的面積

ΔS=vΔtl=ωl2Δt

磁通量的變化量

ΔΦ=BΔS=B·ωl2Δt

由法拉第電磁感應定律有

E==Bωl2

這個推導過程不依賴于“閉合回路”，也沒有用動生電動勢公式，而是直接用感應電動勢公式即可。

再如圖7所示，導體棒MN以速度v向右勻速切割磁感線運動。

上述情形用動生電動勢公式E=Blv求解很容易理解，用法拉第電磁感應定律E=求解學生就會有疑惑，左邊回路磁通量變大，右邊回路磁通量變小，怎么理解和列式。但若理解成導體棒MN“掃過的面積”的磁通量變化率問題就迎刃而解了，則E====Blv。

參考文獻：

［1］梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學［M］.北京：高等教育出版社，1980：363-365.

［2］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書物理必修第三冊［M］.北京：人民教育出版社，2020：31-32.

（欄目編輯" " 蔣小平）