試觸法判斷電流表內外接的物理依據

摘" "要：待測電阻未知時，試觸法是判斷電流表采用內接或外接的重要方法，通過比較電壓相對變化量和電流相對變化量的大小判斷電流表采用內接或外接。利用比較內接法和外接法的相對誤差為這一判斷方法找到理論依據，論證了電壓相對變化量大于電流相對變化量等價于外接相對誤差小于內接相對誤差。

關鍵詞：試觸法；內接法；外接法；相對誤差；電表內阻

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2025）1-0075-3

伏安法是測量電阻的重要方法，由于電壓表和電流表均有內阻，測量值不等于電阻的真實值，測量存在誤差。電流表有內接和外接兩種方式，電流表的接法是電學實驗的重點考查內容。當待測阻值未知時，常采用試觸法決定電流表的連接方式。各種教輔資料對試觸法均有詳細的解釋，但缺少對試觸法可行性的定量分析。以下從比較相對誤差的角度說明試觸法的物理原理，為試觸法的使用找尋物理依據。

1" " 判斷內、外接的方法

電壓表內阻為RV，電流表內阻為RA，待測電阻阻值為Rx。若知道待測電阻Rx的估計值，Rxgt;，使用電流表內接法；Rxlt;，使用電流表外接法。比較電流表內接和外接的相對誤差大小，并應用RAlt;lt;RV（對于磁電式電表，該條件成立），可以得到上述判斷公式［1-2］。

若待測電阻估計值未知，采用試觸法選擇電流表的連接方式，如圖 1所示。將電壓表一端的導線空出，接在a點時，電壓表示數為U1，電流表示數為I1；接在b點時，電壓表示數為U2，電流表示數為I2。電壓表示數變化明顯，選擇外接法；電流表示數變化明顯，選擇內接法。電壓表示數變化明顯，即電流表的分壓作用明顯，表明電流表內阻RA較大，因此選擇外接法。電流表示數變化明顯，即電壓表的分流作用顯著，表明電壓表內阻不是足夠大，故選擇內接法［3］。如何判斷哪一個電表的示數變化更顯著？比較電壓和電流的相對變化，即比較和。若gt;，采用外接法；若lt;，采用內接法［4］。比較電表示數的相對變化定量解決了變化顯著的問題，但需要注意分母中的U和I是內接還是外接時的電壓值和電流值。文獻［5］從內外接絕對誤差相等推理得到R=R（R+R），讓gt;且分母中的U和I取內接時的電壓值和電流值，也推理得到R=R（R+R）。但如果分母取的是外接時的電壓值和電流值，無法得到R=R（R+R），認為分母應取內接時的電壓值和電流值［5］。

筆者認為，計算電壓和電流的相對變化量時，分母取內接對應的電壓值和電流值或者取外接對應的電壓值和電流值均可。取不同的電壓值和電流值，電壓或電流的相對變化量數值略有差異，但電壓相對變化量和電流相對變化量的大小關系是相同的，對于判斷電流表采用哪種接法沒有影響。下文通過具體計算論證這一點。

2" " 試觸法的物理依據

上述對比較相對變化量判斷電流表的內外接的解釋是一種定性分析的方法，定性分析不如定量分析嚴謹、深入。電流表采用內接法或外接法的判斷依據是：哪種接法測量值更接近真實值，即相對誤差越小，就應選擇對應的連接方式。若從gt;能證明外接的相對誤差δ小于內接的相對誤差δ，就選用外接法。接下來，推理論證上述判斷的正確性。

電流表內接時的電阻測量值R=R+R，內接的相對誤差為δ==。電流表外接時的電阻測量值R=，外接的相對誤差為δ==。由δlt;δ得到

R-RR-RRlt;0（1）

不等式的解為

0lt;Rlt;≈（2）

最后的約等于號用到近似條件RAlt;lt;RV，忽略根號外面的RA和根號里的R。只要（1）式成立，可以逆向推理得到δlt;δ，即δlt;δ??" "R-RR-RRlt;0，應選擇電流表外接法。

下面證明從gt;可以得到（1）式。

參見圖 1電路，將電路接在輸出電壓為U的恒壓源上。電流表內接時，電壓表示數為U1=U，電流表示數為I1，U1=I1（R+R）。電流表外接時，電壓表示數為U2，電流表示數為I2。由串、并聯規律，有U=U=U和=。

電壓滿足U1gt;U2，電流滿足I1lt;I2。

電壓相對變化量==1-，電流相對變化量==-1。利用I=和=，得=·

電流相對變化量為=-1=·-1（3）

由gt;，將=1-和（3）式代入，化簡得+·lt;2（4）

利用U=U和U=U，得=，代入（4）式，得+=

gt;，即從電壓相對變化量大于電流相對變化量可以推理得到外接時電阻的相對誤差小于內接時的相對誤差。

上述計算中和的分母U和I取的是內接時的電壓值和電流值。如果取外接時的電壓值和電流值，將得到相同的結果，計算如下。

（6）式左邊是關于R的一元三次方程，利用一元三次方程的求根公式判斷出有三個實根，并且為兩個負根，一個正根。通過一個具體實例說明，取RA=0.1 Ω，RV=160 Ω，用幾何畫板繪制關于Rx的一元三次函數圖像，如圖2所示。

圖 2中的A、B和C為三個零點，可以看出xBlt;0，xClt;0，xAgt;0。保持RA值不變，增大RV，發現C點向左移動，A點向右移動。利用幾何畫板的度量功能得到xA=4.15，即0lt;Rxlt;4.15 Ω時，（6）式成立，gt;成立。取RA=0.1 Ω，RV=160 Ω，計算得=4.05 Ωlt;4.15 Ω，二者很接近。將和中的U和I取為電流表內接時的電壓值和電流值，根據gt;求解得到的Rx一定滿足gt;。無論分母取內接時的電壓值和電流值或者取外接時的電壓值和電流值，和的大小關系是相同的。

對不等式（6）左邊方程做近似處理。利用RAlt;lt;RV，可以認為RV-RA≈RV，R+2RR≈2RR，2RR+RR≈RR。每一項除以RV，（6）式變為

R-2RR-RRRx-RRlt;0（7）

RRV是RA的二階小量，忽略不計，約去一個Rx，得到

R-2RRx-RRlt;0（8）

（8）式的解為

0lt;Rxlt;R+≈（9）

（9）式最后的約等于號利用了RAlt;lt;RV，R+≈。由gt;和gt;求解得到的Rx的取值范圍近似是相同的。因此，在計算電壓相對變化量和電流相對變化量時，分母取內接或外接時的電壓值和電流值均可。

3" " 結" 論

從比較內外接相對誤差的角度定量分析試觸法判斷電流表內外接的物理依據，證明了電壓相對變化量大于電流相對變化量等價于外接的相對誤差小于內接的相對誤差。在計算電壓相對變化量和電流相對變化量時，分母取內接或外接對應的電壓值和電流值均可，判斷出的電流表連接方式相同。

參考文獻：

［1］郭雪鵬.一個常用電流表內外接判斷公式的理論依據探討［J］.物理教學，2018，40（3）：35-36.

［2］李茜.電流表內外接法兩種選擇的理論依據及等價性探析［J］.中學物理（高中版），2014，32（15）：53-54.

［3］陳清梅，邢紅軍，朱南.也談伏安法測電阻時電流表內、外接法的判定條件［J］.大學物理，2007，26（8）：42-43.

［4］何崇榮.用試觸法判斷電流表內接和外接的依據［J］.中學物理，2011，29（13）：34-36.

［5］譚一偉.電流表內接還是外接——“試觸法”釋疑［J］.物理通報，2015（8）：38-39.

（欄目編輯" " 蔣小平）