高中物理近似運算中的困惑與解決策略

摘" "要：由于高中生對近似運算相關知識的缺失和混沌現象的存在，使其對高中物理教科書中的近似運算過程產生困惑。給出了結合高中數學知識先推導精確結果再進行近似運算的解決策略，建議教科書編寫與教學設計要切合學生的數學基礎與認知能力。

關鍵詞：高中物理；近似運算；雙縫干涉；條紋間距公式

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2025）1-0072-3

1" " 高中物理近似運算中的困惑

現行人教版高中物理教科書中有不少問題涉及近似運算，但近似運算只停留在告訴學生可以那樣運算，卻沒有很好地提供可以那樣運算的理由，這就形成了典型的灌輸式教學。學生憑借死記硬背來掌握相關知識點，無疑在增加學習負擔的同時也使學生失去了學習的興趣。加上高中物理教師對近似運算知識的缺乏，不能給學生足夠的指導，近似運算在學生心中變得神秘莫測，產生了諸如“反正書上是這樣寫的，這樣寫就是對的”等主動放棄批判性思維的認識，“小了就都近似相等了（比如當θ角很小時，有θ=sinθ=tanθ）”等錯誤認識。此外，很多學生都了解作為一種混沌現象的蝴蝶效應——一只南美洲的蝴蝶扇動翅膀，結果可能引發美國德克薩斯州的一場龍卷風。20世紀60年代初，美國氣象學家洛倫茲將僅僅相差0.0001的兩個初始條件輸入一個數學方程，計算得出的兩條曲線不久就分道揚鑣、南轅北轍，真是“差之毫厘，謬以千里”［1］。這就進一步加劇了近似運算對學生的神秘感。因為高中物理教科書上的近似運算從一開始便采用近似處理，這些近似處理會不會像洛倫茲所面對的問題一樣在計算的過程中產生“混沌現象”使結果嚴重偏離真實值呢？學生對此毫不知情。綜上，有兩個原因使學生在學習近似運算相關的問題時遇到巨大的困難，以至于產生不良的學習效果，挫傷學生學習的自信心，阻礙核心素養的發展：

（1）近似運算相關知識的缺失；

（2）混沌現象的存在（微小的初值差別，使結果差異巨大）。

下面以雙縫干涉條紋間距公式的推導為例，進行具體說明。人教版高中物理教科書中的推導如下：如圖1所示，在線段P1S2上作P1M=P1S1，由于兩縫之間的距離d遠遠小于縫到屏幕的距離l，所以能夠認為三角形S1S2M是直角三角形。根據三角函數關系，有r2-r1=dsinθ，另一方面x=ltanθ≈lsinθ，消去sinθ，有r2-r1=d。當r2-r1=nλ時，出現亮條紋，因此亮紋中心的位置為x=nλ。相鄰兩條亮條紋或暗條紋的中心間距是Δx=λ。

教科書中的證明初看并不復雜，但高中生卻不容易理解。一是為什么在θ很小的情況下，用弧度制表示的θ與sinθ、tanθ近似相等；二是為什么兩縫之間的距離d遠遠小于縫到屏幕的距離l，就可以認為三角形S1S2M是直角三角形［2］；三是開始運算時物理量的近似會不會導致最后結果偏差較大。很明顯，前兩點是由于近似運算知識的缺失而帶來的疑惑，第三點是由于混沌現象而帶來的疑惑。但是，近似運算知識需要運用高等數學進行解釋，高中生不具備這個知識基礎，因而無法理解近似運算知識，對混沌現象也只是了解其大概。至于在推導中會不會對結果產生大幅度的影響，學生也無從得知。可見，教科書中公式的推導方法遠遠超出了學生的認知，高中階段的學生不能把握，更不能很好地理解和運用，需要探求新的方法。

2" " 高中物理近似運算的解決策略

為了解決學生近似運算知識不足的問題，可以使用高中數學知識進行推導。為了避免混沌現象的出現，可以先進行精確的推導，最后再進行近似（如果有必要的話），避免在推導開始的時候就進行近似。總之，選擇的推導方式應該符合學生的知識基礎和認知能力，使學生真正理解推導的過程，做到舉一反三、靈活運用，進而提升分析問題和解決問題的能力，最終實現物理學科核心素養的提升。

為了推導雙縫干涉條紋間距公式，可以在圖1中建立平面直角坐標系，坐標系的原點置于圖中的O點，x軸與S1S2重合，y軸與OP0重合（圖中未畫出）。容易得到，兩縫S1、S2距離之差等于nλ的點的軌跡是一對雙曲線。雙曲線的標準方程是-=1。相當于標準方程中的a，相當于半焦距c，標準方程中的b2=c2-a2=（）2-（）2，代入雙曲線的標準方程可得

上式是精確的x的表達式，但比較復雜，物理學中常用抓住主要因素、忽略次要因素的方法對復雜的結果進行簡化，在不失科學性的同時得到簡單的物理規律。通過分析精確表達式中各個物理量的數量級，可以有效把握近似計算過程中產生的誤差是否為次要的、可忽略的。學生也可以在這個過程中明確何謂“次要”，何謂“主要”，哪些可以忽略，哪些不可以忽略。這樣做可以增加學生對具體數字的敏感度，在數字的意義上明確“抓住主要，忽略次要”的意義，從根本上提升學生的認知。

d的數量級為10-4 m，λ的數量級為10-7 m，故d2-n2λ2≈d2，x的表達式簡化為

x=nλ

上式中l的數量級為100 m，d的數量級為 10-4 m。故≈104，+≈，x的表達式簡化為

x=nλ=nλ

當上式中的n分別取0、1、2、3時，代表x處到雙縫的距離之差從0到λ、2λ、3λ…不同的x值構成一個等差數列，公差為λ，這說明：

（1）條紋是等間距的；

（2）相鄰兩明或暗條紋的間距為λ。

至此，找到了條紋間距公式Δx=λ。雙縫干涉實驗中亮條紋或暗條紋等間距的事實是對該公式正確性的一種肯定。

3" " 啟" 示

利用高中數學，先將精確公式推導出來，再對結果進行近似的方法，避免了近似運算相關知識的缺失和混沌現象的存在而給學生帶來的困惑。高中物理教科書中除條紋間距公式推導外，還有單擺周期公式的推導、回旋加速器中運動時間計算等諸多需要進行近似計算的問題。雖然本文僅討論了雙縫干涉條紋間距公式的推導，但其原則與方法可以用到其他情境中去。

以學生為中心，并不簡單地只是讓學生學、讓學生交流、讓學生展示，還應該在教科書編寫和教學設計的過程中考慮學生的知識基礎和認識能力。人教版高中物理教科書關于雙縫干涉條紋間距公式的推導采用了看似簡單、實則是以復雜的數學為基礎、以學生未知的混沌現象為未知風險的推導方式，顯然未充分考慮學生的基礎和認知能力。教科書中的這種推導方式超出了學生的最近發展區，使學生跳幾跳也夠不著，最后在教科書的權威下產生困惑和無奈的情感，進而失去批判的信心，喪失奮斗的精神，最終形成習得性無助，對后續學習造成損害的同時，也損害了學生的身心健康。人的發展既有連續性，又有階段性［3］。跨躍了學生的認識階段，超出了學生認知范疇的教科書編寫和教學設計，不但收不到好的效果，還會帶來不利的影響。

教科書編寫與教學設計也不能明顯低于學生的基礎與認知。同時，教師在教學中要努力提高自己對學生的認識，了解學生的基礎，尤其是學生的數學基礎。現階段，由于各種原因，高中物理解決問題時幾乎局限和僵化在了用方程解決物理問題這一條思路上，高中數學中的向量、函數、數列、解析幾何、立體幾何等數學知識和方法并沒有得到廣泛的應用。如果是高中物理問題都用初中數學知識解答，而初中物理都用小學數學知識解答，就不利于數學與物理兩個學科的融合，也不利于學生綜合素質的提高，更不利于拔尖創新人才的培養。

參考文獻：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書物理必修1［M］.北京：人民教育出版社，2006：5.

［2］江立坤，陳紫鵬.雙縫干涉中相鄰亮條紋間距公式的巧證［J］.湖南中學物理，2012，27（10）：45，26.

［3］劉獻君.論“以學生為中心”［J］.高等教育研究，2012，33（8）：1-6.

（欄目編輯" " 蔣小平）