中國傳統音律情境下的初中物理實驗探究

摘" "要：利用Phyphox軟件可以研究中國古代音律，尋找十二音律，深入探討影響音調高低的因素。基于初中物理教材的實驗，進行跨學科拓展。在融入信息技術的同時，將中國傳統文化元素有效融入中學物理教學中。

關鍵詞：古代音律；實驗探究；Phyphox軟件；核心素養

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2025）1-0078-6

《義務教育物理課程標準（2022年版）》提出，要將社會主義先進文化和中華優秀傳統文化等重大主題教育有機融入課程教學［1］。李春密等人指出，中華優秀傳統文化為物理教學提供了重要的教育資源，有利于營造文化浸潤的課堂氛圍，是踐行核心素養培育的關鍵載體［2］。因此，需要積極開發適合的物理實驗教學資源，以提升中華優秀傳統文化的承載力。

各版本初中物理教科書中均采用“鋼尺振動”實驗來探究影響音調高低的因素。實驗過程大致如下：將鋼尺放在桌面上，一端伸出桌邊，然后撥動鋼尺，學生聽聲音并觀察振動的快慢；接著改變鋼尺伸出桌面的長度，確保振動幅度相同，再進行幾次實驗。該實驗簡單直觀地說明了振動頻率決定音調，但探究過程顯得過于粗糙，趣味性和應用性也不強。

在物理實驗中融入現代信息技術，可以彌補傳統實驗的不足，同時提升學生的科學素養和技術素養［3］。本文利用Phyphox軟件研究中國古代音律，利用傳感器測量樂音的頻率變化，變“學生聽”為“學生測”，并將定性分析變為定量探究。本實驗注重教學活動的跨學科性，適合作為初中物理的跨學科實踐項目。在具體實施時，需要基于“創設情境—解析情境—情境驅動—再情境化”的教學流程，引導學生在傳統文化氛圍中建構并應用知識。

1" " 創設情境——古代音律的歷史背景

據《考工記·磬氏》記載，人們最初采用“聽音”來調整石磬的厚薄，這樣的調音方法精度太低，需要更加科學的方法來確定樂器的音律［4］。《管子·地員》中的“三分損益法”是我國有記載的最早的定律方法。管子及其學派用“三分損益法”求得五聲音階，后世又增添了“變徵”和“變宮”，拓展到七聲音階。殷商時期出土的五音孔陶塤已能發出11個不同音調的標準音，這證明早在公元前13世紀，我國就能確定半音和標準音，并建立了七聲音階［5］。《呂氏春秋·音律篇》詳細描述了“三分損益法”，并提出了十二音律。然而，基于“三分損益法”的十二音律無法實現回宮轉調，因為它是一種不平均的律制［5］。“清黃”音的頻率并不是精確地比“黃鐘”音高兩倍，這兩個音律對應的琴弦長度也無法精確滿足兩倍關系。直到明朝，朱載堉發明了十二平均律，求得音律間的等比關系，首次解決了十二音律無法回宮轉調的問題［4］。西方古代采用的定律方法與“三分損益法”在數理上是相通的，統稱為“五度相生法”。以C音為宮音，現代國際上通用的音名與我國古代“五聲”“十二律”的對應關系如圖1所示。

2" " 解析情境——劃分音律的數理原理

2.1" " 中國古代劃分音律的數學方法

“三分損益法”包含了“三分損一”和“三分益一”兩種計算，前者通過將弦長乘以得到新的弦長，后者通過將弦長乘以來計算。“三分損益法”最早用于古代五聲音階的弦長比例計算。《史記·律書》記載了具體的計算方法：“九九八十一以為宮，三分去一，五十四為徵，三分益一，七十二以為商，三分去一，四十八以為羽，三分益一，六十四以為角”［6］。古人以宮音為最低音，對應的弦長也是最長，記為81；先三分損一得到徵音，它的弦長為81×=54；再在前者基礎上三分益一得到商音，其弦長為54×=72；接著，三分損一得到羽音，其弦長為72×=48；最后，三分益一得到角音，其弦長為48×=64。按弦長由長到短排列，便得到了宮、商、角、徵、羽五聲音階，它們的弦長之比為81：72：64：54：48。我們仍然可以在五聲音階的基礎上繼續應用“三分損益法”，交替計算得到比例為81：72：64：54：48：42：57。弦長比例為57所對應的音律本應當使用三分損一得到下個音律，但為了控制所衍生出的音律都在一個八度音之內，需要重復使用一次三分益一。此后，通過損益交替計算。按弦長由長到短排列，可得古代十二音律所對應的弦長之比，如表1所示。

對比表中的“黃鐘”和“清黃”兩個音可知，用“三分損益法”得到的十二音律是一種不平均的律制，“清黃”音不能恰好比“黃鐘”音高八個音，對應的弦長也無法滿足2：1的關系。明代朱載堉發明的“十二平均律”解決了這個問題，他以作為每兩個相鄰音律對應的弦長之比［4］。數學上可表述為Ln+1= 。“十二平均律”使得定律可以從任何一個音開始，解決了音差和不能回宮轉調的問題。在計算各弦長的精確比例后，發現用“十二平均律”和“三分損益法”得到的兩組數據有驚人的巧合，但“十二平均律”更為精確。

2.2" " 弦樂器發出不同音律的物理依據

古希臘哲學家畢達哥拉斯最早通過實驗得出了琴弦定律：在固定弦的張力一定的情況下，弦的有效長度與其振動頻率成反比。公元17世紀，數學家梅森在前人的基礎上總結了琴弦振動的規律：琴弦振動的頻率與線密度成反比，與張力成正比，與琴弦的半徑成反比［7］。因此，理想情況下，琴弦振動的各次諧波頻率滿足公式fn=。其中， fn表示各次諧音的頻率，n為諧音序數，L為琴弦的有效長度，T為琴弦的張力，ρ為琴弦的線密度。

撥動琴弦后，琴弦會發生橫振動、縱振動、倍頻振動和扭轉振動等幾種振動。其中，縱振動、倍頻振動和扭轉振動的能量相較于橫振動要小得多，產生的諧波僅對聲音的音色產生影響［7］。在琴弦的橫振動過程中，占總弦長的各個分段琴弦也會進行橫振動，分別產生 n 次諧音。然而，這些諧音對音色的影響較大，真正決定聲音頻率高低的則是有效琴弦橫振動的頻率。

2.3" " 問題的提出與猜想

為什么古人通過改變弦長比例能夠發出十二個不同的音律？“天將雨，琴弦緩”“風雨之變可以知音律”，古人發現天氣會影響樂器的發聲。這可能是由于空氣濕度改變了弦上的張力，從而導致音調發生變化。因此，我們需要探究古代琴弦樂器發出不同音律的物理原因，這實際上是研究不同比例、長度、粗細和張力的弦在進行橫振動時頻率之間的關系。這可以通過測量對應于十二個音律的十二個比例的弦所發出的聲音頻率來實現。

有效琴弦的橫振動頻率決定了聲音的頻率高低，而高次諧音并不影響最終聲音頻率的高低。因此，可以將琴弦振動的各次諧波頻率公式中的n賦值為1，從而得到理論頻率公式

f=（1）

當弦長L為自變量且不改變弦的張力和線密度時，弦的振動頻率應與弦長成反比關系；當取為自變量時，弦的振動頻率應與其成正比關系。此時， f與的函數圖像的斜率會隨著張力的增大而增大，隨著線密度的減小而減小。

3" " 情境驅動——物理實驗探究

在“解析情境”階段，學生對劃分音律的數理原理已有初步認知，自然會思考古代琴弦樂器發出不同音律的物理學原理。在學生提出問題并進行猜想后，教師應引導學生將物理知識從傳統文化情境中抽象出來。在實驗探究過程中，學生能夠有效地建構知識。

3.1" " 設計實驗目的

（1）了解古代音律學中的“三分損益法”和“十二平均律”，探究其與現代音律之間的關系。

（2）應用“三分損益法”和“十二平均律”劃分弦長，利用Phyphox軟件測量聲音頻率，控制張力和線密度不變，探究弦長與橫振動頻率之間的關系。

（3）控制琴弦的線密度不變，改變張力，探究弦上張力與橫振動頻率之間的關系。

3.2" " 設計實驗方案

方案一：如圖2所示，將橡皮筋套在空心的塑料立方體盒子上。用記號筆在橡皮筋上分別標記“宮商角徵羽”對應的弦長。用鑷子夾住標記處以控制有效弦長，然后用手撥動橡皮筋。接著，使用手機中Phyphox軟件的“歷史頻率”功能測量聲音頻率，如圖3所示。

方案二：如圖4所示，將尤克里里作為實驗工具。其左側有四個可調轉軸，能夠對應琴弦上的張力。四根琴弦由不同粗細的尼龍材料制成。從圖4的側視圖中可以看到，尤克里里頸部的琴弦下貼合著十二條凸出的白色條紋。用卡尺向下輕按頸部的琴弦，使其緊貼條紋即可改變有效弦長。這樣的設計確保琴弦在按壓過程中形變量極小。與用鑷子改變弦長并測得的數據對比，這種按壓方式因增大張力引起的頻率測量誤差可控制在2 Hz以內。

首先，標記十二個音律對應的弦長位置，每次按壓標記位置以改變弦長。接著，用撥片在空腔位置輕撥琴弦，使用手機中的Phyphox軟件測量聲音頻率，然后對其他琴弦進行多次實驗。同樣，也可以改變同一根琴弦的張力，記錄不同弦長與聲音頻率的數據，作為對比實驗。

方案一的具體實驗數據如表2所示。經分析發現數據點過少且誤差較大，原因在于所用橡皮筋過短，無法準確刻畫出十二個音律對應的弦長，僅能對五聲音階的頻率進行初步測量。尤克里里模型作為實驗工具，更加便于改變弦長和張力的大小。因此，下面將采用方案二進行深入探究。

3.3" " 選取實驗器材

方案二的實驗器材簡單易得，包括尤克里里、刻度尺、安裝Phyphox軟件的智能手機、撥片和螺絲刀。

3.4" " 探究弦長與頻率的關系

尤克里里頸部琴弦下有十二條凸出的白色條紋，通過刻度尺測量頭部固定端與每一條白色條紋到尾部固定端的距離。根據上文提到的“三分損益法”和“十二平均律”的數學規律，計算得到對應音律的理論弦長，如表3所示。經對比發現，測得的按板弦長與基于“三分損益法”的弦長理論值以及基于“十二平均律”的弦長理論值高度近似，這體現了西方音律與我國傳統音律之間的相通之處。

確保實驗在安靜的環境中進行，打開手機中Phyphox軟件的“歷史頻率”功能，平放尤克里里。左手固定樂器，右手用撥片輕輕撥動空腔上方的一號琴弦，確保手機采集到的數據點聚集成一條清晰的直線。導出數據即可獲得初始弦長振動的發聲頻率。在接下來的實驗中，左手使用卡尺等工具按壓琴弦至緊貼下方的凸出白色條紋，從而改變一號琴弦的有效弦長。右手撥動琴弦并記錄實驗數據。通過這種方法，可以依次測得十二條凸出白色條紋所對應的有效弦長的發聲頻率，以用于探究十二音律對應的音調關系。

對一號弦的實驗數據進行歸類，隨后更換為二、三、四號弦作為實驗對象，重復步驟實驗操作。

3.5" " 探究張力與頻率的關系

選擇同一根弦作為實驗對象，比如只使用一號弦做實驗，用螺絲刀松開樂器頭部旋鈕的螺絲，適當轉動一號弦對應的旋鈕，調節弦上張力，再用螺絲刀固定螺絲，記此時旋鈕的位置為初始狀態，重復“探究弦長與頻率的關系”中的實驗操作，記錄實驗數據。

將位于初始狀態的一號弦對應的旋鈕分別擰緊0.125圈、0.25圈、0.375圈以增大一號弦上的張力，分別重復“探究弦長與頻率的關系”中的實驗操作，記錄實驗數據。

3.6" " 數據分析與實驗結論

3.6.1" " “探究弦長與頻率的關系”數據分析

實驗以尤克里里不同粗細的四根弦作為研究對象，探究了其弦長與頻率之間的關系。為方便分析圖像，以弦長的倒數作為自變量，以振動發聲頻率作為因變量。四根弦實驗數據的線性擬合結果如圖5所示。

實驗中用四根弦獲得的數據均能較好地進行線性擬合，這一結果成功驗證了公式（1）：當弦長L為自變量，且不改變弦的張力和線密度時，弦的振動頻率應與弦長成反比關系。此外，我們發現四個線性擬合圖像的斜率差異顯著，這說明弦的粗細和松緊程度也是影響弦振動發聲頻率的重要因素。

3.6.2" " “探究張力與頻率的關系”數據分析

弦的松緊程度反映了弦上張力的大小。本實驗僅以一號弦作為對象，成功控制了弦的線密度不變。如圖6所示，分別將一號弦對應的旋鈕旋轉0.125圈、0.25圈和0.375圈后，所測得的增大弦上張力的情況下，十二條凸出的白色條紋所對應的有效弦長的發聲頻率。在弦長相同的條件下，弦上張力的增大導致發聲頻率升高。經過線性擬合后發現，對于同一根弦，增大張力使得函數圖像的斜率變大。這一現象符合理論頻率公式（1）所預測的結果：在控制弦的線密度不變的情況下，線性擬合函數圖像的斜率會隨著張力的增大而增大。

3.6.3" " 實驗誤差分析

從理論上講，當弦長縮短為原長的一半時，頻率應恰好增加至原頻率的兩倍。然而，由于尤克里里本身的弦長誤差以及Phyphox軟件的測量誤差，一號弦的原弦長發出340.01 Hz的聲音，而最短的弦發出682.44 Hz的聲音，誤差為2.42 Hz，屬于合理的系統誤差。

根據理想弦頻率公式（1），當以為自變量時，弦的振動頻率應與其成正比關系且截距應為0。然而，通過擬合圖像可知，四根弦對應數據的線性擬合函數的截距并不為0，且各自不同。造成這一誤差的原因是多方面的：四根弦本身的粗細和張力各不相同，實驗過程中撥動弦的手法和力度也不盡相同，最終導致數據處理結果存在較大的誤差。

4" " 再情境化——傳統文化的延伸與拓展

在這一階段中，教師可以選用其他關于音律的傳統文化情境來豐富學生的認知，同時可以補充現代科學對音律的一些新研究成果。“黃鐘”音是十二音律的標準基音，歷朝歷代的“黃鐘”音由皇室規定且各不相同。目前，國際上設定的標準音 A 為 440 Hz。確定標準基音后，其他音律則根據一定的律制生成。人們普遍認為，正是這些簡單的數學比率使和弦聽起來悅耳。然而，一項新發表于《自然·通訊》雜志的研究表明，人們實際上并不喜歡完美符合特定數學比率的和弦，而是更傾向于有輕微偏差的和弦［8］。

5" " 結" 語

現代信息技術為開發傳統文化教學資源提供了新的渠道。本文通過實驗，利用信息化手段描述了古代音律劃分的物理原理，將課程標準中強調的科學探究、科學論證能力與中國傳統文化的人文底蘊有機結合。這不僅增強了學生的文化自信，也促進了學生核心素養的全面培養。

在教學前，教師應從核心素養出發，設計融入傳統文化的教學目標。例如，通過分析古人劃分十二音律的原理，基于Phyphox軟件探究琴弦的弦長、張力與頻率之間的關系，提升學生的科學探究能力。為營造文化浸潤的課堂氛圍，教師還需采用情境教學模式，通過多種表現形式，如聽樂曲、看視頻、讀故事等，來創設情境。隨后，從傳統文化中的音律規律和物理學中的弦振動原理兩個角度解析情境，使學生能夠發現問題的本質。在情境驅動下，引導學生完成探究實驗，讓知識在情境中呈現。最后，教師應引導學生在新情境中應用所建構的知識，實現對傳統文化的延伸與拓展。

參考文獻：

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［2］李春密，劉佳琪，王艷芳.中華優秀傳統文化有機融入中學物理教學的關鍵問題及實施路徑［J］.物理教學探討，2024，42（4）：1-6.

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［4］馮建輝，王明紅，祝家清.中國古代聲學思想及其應用［J］.高等函授學報（自然科學版），1996（4）：12-15.

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［7］袁威.不同彈撥力度下琵琶琴弦振動特性及聲學品質的研究［D］.濟南：山東建筑大學，2022.

［8］Marjieh R， Harrison P M C，Lee，H，et al. Timbral effects on consonance disentangle psychoacoustic mechanisms and suggest perceptual origins for musical scales［J］.Nature Communications，2024，15（1）：1482.

（欄目編輯" " 賈偉堯）