混合雙寡頭Bertrand博弈模型的復(fù)雜動態(tài)性研究

摘 要 考慮國有企業(yè)和私營企業(yè)混合競爭的價格博弈模型，他們共同生產(chǎn)某種差異化商品，并且采用有限理性預(yù)期原則確定商品的未來價格. 建立二維離散動力系統(tǒng)，求解動力系統(tǒng)的邊界均衡點和納什均衡點，并研究它們的穩(wěn)定性.在數(shù)值分析中，通過分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)、奇異吸引子和對初始條件的敏感依賴展示系統(tǒng)的動態(tài)性質(zhì). 最后，利用反饋控制策略對系統(tǒng)進(jìn)行混沌控制，使系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定.

關(guān)鍵詞 混合競爭；Bertrand博弈；納什均衡點；穩(wěn)定性；混沌控制

中圖分類號 F224；O29 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

1 引 言

寡頭壟斷是介于壟斷和完全競爭之間的一種市場結(jié)構(gòu)，它的顯著特點是市場上只有少數(shù)幾家企業(yè)生產(chǎn)同質(zhì)或相似商品. 在這種市場結(jié)構(gòu)中，企業(yè)不僅要考慮消費者的行為，還要考慮競爭者的反應(yīng)，也就是要對競爭者將如何行動進(jìn)行預(yù)期. 雙寡頭壟斷是寡頭壟斷中的一種特殊情況，指的是某一行業(yè)所有或絕大多數(shù)的市場占有率由兩個企業(yè)操控. 寡頭壟斷市場中企業(yè)間的競爭行為一直是經(jīng)濟學(xué)研究的熱點，對寡頭行為多樣性和市場復(fù)雜性的研究具有重要意義.

文獻(xiàn)中對雙寡頭博弈的復(fù)雜動態(tài)行為進(jìn)行了大量研究. Agliari等研究了具有差異化商品的Cournot雙寡頭博弈模型，其中有限理性企業(yè)采用梯度學(xué)習(xí)機制調(diào)整市場產(chǎn)量[1]. Elsadany研究了具有差異化商品的Cournot雙寡頭博弈模型，其中每個參與者在有限理性的預(yù)期下最大化其相對利潤，得到了均衡點的穩(wěn)定性[2]. Sarafopoulos和Papadopoulos研究了一類具有差異化商品的非線性Bertrand雙寡頭博弈動力學(xué)問題[3]. Askar和Al-khedhairi研究了以相對利潤最大化為目標(biāo)函數(shù)的雙寡頭Bertrand模型的復(fù)雜動態(tài)性[4]. Xiao等研究了一類非線性雙寡頭產(chǎn)量競爭的Stackelberg模型[5]. Ma等建立了具有市場份額偏好的Cournot-Bertrand雙頭壟斷模型，其中一家企業(yè)以價格作為決策變量，另一家企業(yè)以產(chǎn)量作為決策變量，并且兩家企業(yè)都是有限理性的[6]. Askar研究了信息不對稱條件下的Cournot-Bertrand雙寡頭博弈模型[7].

上述文獻(xiàn)中的結(jié)果依賴于所有企業(yè)都是私營的并且以利潤最大化為企業(yè)目標(biāo)，這些研究不適用于日益流行的混合寡頭博弈，即國有企業(yè)和私營企業(yè)進(jìn)行競爭，這種混合競爭模式在航空、鋼鐵、保險等行業(yè)廣泛存在. Matsumura和Ogawa研究發(fā)現(xiàn)在混合雙寡頭競爭中，無論商品是替代品還是互補品，選擇價格契約都是兩個企業(yè)的優(yōu)勢策略[8]. Nakamura研究了四種混合競爭模式，即價格競爭、產(chǎn)量競爭、價格-產(chǎn)量競爭以及產(chǎn)量-價格競爭，分別計算了市場均衡時國有企業(yè)和私營企業(yè)的目標(biāo)函數(shù)并進(jìn)行了比較[9]. Askar研究了具有兩個不同目標(biāo)的Cournot雙寡頭博弈的非線性動態(tài)問題，兩個企業(yè)生產(chǎn)同質(zhì)商品，得到了納什均衡點的穩(wěn)定性[10].

本文研究混合Bertrand博弈模型，假設(shè)兩家企業(yè)生產(chǎn)具有差異化的商品，并且假設(shè)他們使用有限預(yù)期原則確定未來的產(chǎn)品價格，通過建立二維離散的動力系統(tǒng)研究均衡點的穩(wěn)定性，并作數(shù)值分析. 最后對系統(tǒng)進(jìn)行混沌控制.

2 模型構(gòu)建

考慮一個混合雙寡頭博弈模型，即市場上存在兩個競爭者生產(chǎn)某種具有差異化的商品，其中一個競爭者為國有企業(yè)（企業(yè)0），另一個競爭者為私營企業(yè)（企業(yè)1）. 商品的逆需求函數(shù)為

其中，pi表示企業(yè)i的價格，qi表示企業(yè)i的產(chǎn)量，α和β是正的常數(shù)，商品的差異化系數(shù)δ∈（0，1）. 令mi表示企業(yè)i的邊際成本且假定α＞m0≥m1.

企業(yè)0的目標(biāo)是最大化社會福利，即生產(chǎn)者的利潤與消費者剩余之和. 消費者剩余由下式確定

4 數(shù)值模擬

在本節(jié)中，我們對動態(tài)系統(tǒng)（8）的演化過程進(jìn)行數(shù)值分析，通過分岔圖，最大Lyapunov指數(shù)，奇異吸引子和對初始條件的敏感依賴來展示系統(tǒng)（8）的復(fù)雜動力學(xué)行為.

固定參數(shù)δ＝0.2，β＝0.5，k0＝3.5，k1＝3，m0＝0.12，m1＝0.11，圖2展示了系統(tǒng)（8）相關(guān)于參數(shù)α的分岔圖. 從圖2可以看出當(dāng)α＜0.24時，納什均衡點基本處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)α＝0.24時出現(xiàn)2個分岔；當(dāng)α＞0.24開始出現(xiàn)倍周期分岔行為，當(dāng)α＞0.365系統(tǒng)最終從倍周期進(jìn)入混沌狀態(tài). 最大Lyapunov指數(shù)是定量描述系統(tǒng)混沌狀態(tài)的重要指標(biāo)，從圖3中可以看出，最大Lyapunov指數(shù)和分岔圖是完全相對應(yīng)的.

奇異吸引子和對初始條件的敏感性是混沌的兩個重要特征. 圖4為α＝0.39時系統(tǒng)（8）的奇異吸引子，該圖在二維平面上繪制了完整選代后的系統(tǒng)軌跡，它反映了混沌狀態(tài)下復(fù)雜現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律. 圖5顯示了控制系統(tǒng)（8）對初始條件的敏感性，給出了p0分別取0.200 0和0.200 1時p0的時間歷程圖，雖然初始價格的兩個軌道在開始時是無法區(qū)分的，但經(jīng)過一系列選代后，差異會變得明顯.

5 混沌控制

數(shù)值模擬部分顯示了系統(tǒng)（8）的復(fù)雜動態(tài)性質(zhì)，但在實際的經(jīng)濟運行中，需要消除或控制混沌的不利影響. 本節(jié)采用系統(tǒng)變量的狀態(tài)反績控制策略[14]對系統(tǒng)（8）進(jìn)行混沌控制，則二維離散時間動態(tài)系統(tǒng)（8）變?yōu)?/p>

從圖6可以看出，隨著μ的增大，可以明顯地觀察到系統(tǒng)逐漸擺脫混沌行為且倍周期分岔消失，從而達(dá)到穩(wěn)定. 當(dāng)μ＞0.3時，系統(tǒng)（9）在納什均衡點E3附近達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

6 結(jié) 論

本文研究了混合雙寡頭Bertrand博弈模型，其中兩個競爭者分別為國有企業(yè)和私營企業(yè)，他們共同生產(chǎn)某種具有差異化的產(chǎn)品. 在兩個競爭者采用有限理性預(yù)期條件下建立離散動力系統(tǒng)，并對系統(tǒng)均衡點的穩(wěn)定性進(jìn)行分析. 在數(shù)值模擬中，通過選取合適參數(shù)，利用分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)、奇異吸引子以及初始值敏感性來展示系統(tǒng)的動態(tài)性質(zhì). 最后，通過選擇合適的控制參數(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行混沌控制，系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定狀態(tài).

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Complex Dynamics Analysis of a Mixed Duopoly

Bertrand Game Model

JIAO Linzhi1， BAO Zhenhua2*

（1. Basic Courses Teaching and Research Department， YingKou Institute of Technology， Yingkou 115100， Liaoning， China;

2. School of Mathematics， Liaoning Normal University， Dalian 116081， Liaoning， China）

Abstract" In this paper， a price game model is considered for mixed competition between state-owned enterprises and private enterprises， which produce a differentiated goods together， and determine the future price of the goods by using the principle of bounded rational expectation. A two-dimensional discrete dynamical system is established， and the boundary equilibrium point and Nash equilibrium point of the dynamical system are solved， and their stability is studied. In numerical analysis， the dynamics of the system are demonstrated through bifurcation diagram， maximum Lyapunov exponent， the strange attractor， and sensitive dependence on initial conditions. Finally， the state variables feedback and parameter variation can be used to control the chaos of the system， which makes the system ultimately stable.

Keywords" mixed competition; bertrand game; nash equilibrium point; stability; chaos control

收稿日期：2024 －04 －30

通信作者：包振華（1976—），男（漢族），遼寧大連人，遼寧師范大學(xué)教授，博士，研究方向：經(jīng)濟數(shù)學(xué).

E-mail：zhhbao@126.com

基金項目：遼寧省教育廳基本科研項目（JYTMS20231043）