基于教材的拓展課：一道例題的引申及應用

1 教學分析

本節課的教學目標：

（1）借助教材例題中的幾何模型引申出“三余弦定理”及求二面角的面積射影公式；

（2）引導學生觀察教材例題模型，探索過一點的三條線段構成三面角之間的關系，進而發現“三余弦定理”和求二面角的面積射影公式；

（3）通過對例題的引申、發散，培養學生利用現有資源發現問題、提出問題和解決問題的能力.

本節課的教學重難點：

重點：探究得出“三余弦定理”、最小角定理及求二面角大小的面積射影法.

難點：掌握“三余弦定理”、最小角定理、面積射影法在立體幾何中的靈活應用.

2 教學過程

2.1 例題導入

例題" （滬教版數學必修第三冊第10章的例7）如圖1，設l是平面α的一條斜線，與平面α交于點O，l′是l在平面α上的投影，l″是平面α上過點O的另一條直線，l與l′所成的角為θ，l與l″所成角為μ.求證：θlt;μ.

師：該例題是證明線面角是最小角時出現的，是通過構造直角三角形邊的大小關系建立角的正弦值從而確定角的大小關系.今天我們再仔細觀察這個圖形（模型），看看還能探究出哪些新的結論？同學們能否根據題干條件抽象出基本的幾何模型？

生：l是平面α的斜線，l′是l在平面α上的射影，l″是平面α的另一條直線，三條直線交于同一點O.

師：我們得到了本節課要研究的幾何模型，即從一點引出三條射線，其中兩條線確定平面α，另一條線是α的斜線，且斜線在α上的射影是確定α的兩條直線中的一條.如圖1，OB是OA在α的射影，若過點B作BC⊥OC于點C，則四面體OABC的四個側面都是直角三角形.

2.2 問題探究

問題" 如圖2，由點O引出三條射線OA，OC，OD，若∠COA=∠DOA=π3，∠DOC=π2，求OA與平面OCD所成的角的大小.

設計意圖：引導學生能在具體問題中判斷并構造出所需的幾何模型，加強學生對幾何模型的理解，從特殊到一般推導和論證“三余弦定理”.

師：本題同樣是由點O引出的三條射線，這是我們今天所要探究的幾何模型嗎？

生：不是.

師：為什么？

生：因為OD不是OA的射影.

師：你能確定OA在平面OCD上的射影的位置嗎？

生：OA在平面OCD上的射影OB落在∠COD的平分線上，如圖3.

設計意圖：引導學生探究由條件∠COA=∠DOA得出OA在平面OCD上的射影位置，延伸出教材第30頁求證的一般結論.

師：這道題目中出現了兩個對稱的幾何模型，只研究其中一個模型即可.問題轉化為已知OA與OC的夾角μ=π3，OB與OC的夾角α=π4，求OA與OB的夾角θ.構造直角三角形，利用邊角關系去轉化求解.

生：過點B作BH⊥OC，垂足為H，連接AH，AB，如圖4.設OH=a，∠BOH=α.

在Rt△AOH中，cos μ=OHOA，于是可得OA=2a.在Rt△BOH中，cos α=OHOB，則OB=2a.所以在Rt△AOB中，cos θ=OBOA=22，故OA與平面OCD的夾角大小為π4.

師：在這個過程中，我們發現cos μ=OHOA，cos α=OHOB，cos θ=OBOA，這三個等式之間存在何種關系？

生：cos μ=cos α＼5cos θ.

（注：上式中μ，α，θ均為銳角.）

師：其中OA與OC的夾角μ為斜線角，OA與OB的夾角θ為線面角，OB與OC的夾角α為射影角，這三個角的余弦值存在上述的等量關系可稱之為“三余弦定理”.

師：教材中是利用角的正弦值證明最小角定理，那現在能否利用這個余弦關系式進行證明呢？

生：因為cos α∈［－1，1］，所以cos μ≤cos θ，那么μ≥θ，最小角定理就得證了.

師：按照這個推理，不僅可以證出最小角定理，即μ≥θ，也可以得出斜線角與射影角的關系即μ≥α.

設計意圖：通過學生的自主探究得出“三余弦定理”，強化邏輯推理能力，發揮學生學習的主體作用.

師：可求圖1中二面角A-OC-B的余弦值嗎？

生：cos∠ACB=BCAC.

師：BC，AC同時是OC的垂線，即為△BOC和△AOC的高.由同底的三角形的高之比就是三角形的面積之比，可知cos∠ACB=S△BOCS△AOC，這兩個三角形有什么關系嗎？

生：△BOC是△OAC在平面α上的射影.

師：于是我們又得到了一種新的求二面角的余弦值的方法，本方法稱為“面積射影定理”.

2.3 知識應用

例1" 如圖5，已知AC是平面α內的一條直線，P為α外一點，且PA=2，P到α的距離PB為1.設∠PAC=θ，求cos θ的取值范圍.

生：cos θ=cos∠PABcos∠BAC，其中∠PAB=π6，cos∠BAC∈［－1，1］，那么cos θ∈－32，32.

變式" 在平面α內作AC的平行線A1C1，求異面直線PA與A1C1所成角的取值范圍.

生：將A1C1平移到AC處，那么異面直線PA與A1C1所成角為∠PAC或其補角.

師：那么角的范圍就是第一問的π6，5π6？

生：是的.

師：是否考慮到PA與A1C1是異面直線了？那么角的范圍應該是多少？

生：π6，π2.

設計意圖：學生能根據題意構造出“三余弦定理”的幾何模型，直接應用“三余弦定理”求解，加深對“三余弦定理”的理解.變式為求異面直線所成的角，需要利用直線平移構造幾何模型，為例2作鋪墊.

例2" 若異面直線a，b所成的角為80°，過空間一點P作直線l.若直線l與a，b所成的角都是60°，則這樣的直線l共有條.

變式1" 若異面直線a，b所成的角為80°，過空間一點P作直線l.若只能作出兩條直線l與a，b所成的角均為θ，求θ的取值范圍.

變式2" 若異面直線a，b所成的角為80°，過空間一點P作直線l.若直線l與a，b所成的角都是相等，則這樣的直線l有多少條？

師：對于異面直線所成角的問題，可以通過平移轉化為共面問題.

生：過空間一點P分別作a，b的平行線a1，b1，如圖6.

師：問題轉化為在點P處找直線l，使它和a1，b1的夾角為60°，那應該怎么求解呢？

生：先作直線l在α上

的投影，它在直線a1與b1夾角的平分線上.

師：因為知道射影角的大小，從而確定斜線角為60°的直線條數，根據“三余弦定理”可知，斜線角大于等于投影角即可，那么會有幾條呢？

生：2條.

師：只有兩條嗎？你現在只考慮到了80°，其補角能不能滿足？

生：可以的，那就有4條.

師：由此可知，對于變式1，只能是80°的情況，此時θ的范圍是多少呢？

生：40°lt;θlt;50°.

師：對于變式2的一般情況，先考慮80°方向上，再考慮100°方向上滿足的直線，則結果是什么？

生：θ=40°時，1條；40°lt;θlt;50°時，2條；θ=50°時，3條；50°lt;θlt;90°時，4條；

θ=90°時，1條.

設計意圖：利用“三余弦定理”解決異面直線所成角的問題，加深學生對于定理中“平面內的任意一條直線”的理解.解答本例及變式，要靈活構建例題中的模型，從特殊到一般，引導學生探究出一般性的結論.

例3" 如圖7，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M，N，分別為棱AB，BC的中點.

（1）求二面角M-B1N-B的余弦值；

（2）求平面B1MN與平面B1A1C1所成銳二面角的大小.

生：對于第（1）問，過點M作B1N的垂線MH，垂足為H，連接BH，利用三垂線定理找出二面角的平面角即可求解.

師：如果第（1）問是一道填空題，可以利用面積射影法求解.對于第（2）問的無棱問題如果是填空題也可直接利用面積射影法求解，如果是解答題則通過平移平面找公共棱求解.

設計意圖：這道例題是求解在不同情況下二面角的大小，利用這道例題歸納常見的二面角的求解方法.

解析：（1）（法一）過點M作B1N的垂線MH，垂足為H，連接BH，如圖8，由三垂線定理可知BH⊥B1N，則∠BHM為所求二面角的平面角.

在Rt△MBH中，BH=255，BM=1，MH=355.

所以cos∠BHM=BHMH=23.

法二：△MB1N在平面BB1C1C上的射影為△B1NB，設所求二面角為θ，則cos θ=S△B1NBS△MB1N=23.

（2）法一：因為平面ABCD∥平面B1A1C1，所以平面B1MN與平面B1A1C1所成銳二面角為平面B1MN與平面ABCD所成銳二面角.過點B作MN的垂線BE，垂足為E，連接B1E，如圖9.由三垂線定理可知B1E⊥MN，所以∠BEB1為所求二面角的平面角.

在Rt△BEB1中，易得BE=22，B1E=322，所以cos∠BEB1=BEB1E=13.

法二：因為平面ABCD∥平面B1A1C1，所以平面B1MN與平面B1A1C1所成銳二面角為平面B1MN與平面ABCD所成銳二面角.

因為△B1MN在平面ABCD上的射影為△BMN，設所求二面角為θ，則cos θ=S△MNBS△MB1N=13.

2.4 課堂小結

本節課從教材例題入手，抽象出幾何模型并對它進行了探究，我們主要得到了哪些結論呢？

生：角平分線定理、“三余弦定理”、最小角定理、面積射影法求二面角.

師：在這些結論的探究過程中，我們主要是借助抽象出的幾何模型；在結論的推導中，主要是把空間問題平面化，這也是解決空間問題的重要方法.本節課從一道教材的例題入手，通過探究挖掘出幾個重要結論，這些結論的應用在教材中也是有跡可循的.這提醒我們要重視對教材內容的鉆研，對于“簡單題”也要有探究精神，將簡單的事做好做透，同樣是不簡單的.

設計意圖：從知識層面、數學思想方法層面以及育人價值層面對本節課進行總結，也增強了教材的主體地位，達到了本節課的學習目標.

2.5 課后作業

（1）如圖10所示，在側棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的動點.記直線A1P與平面ABC所成的角為θ1，與直線BC所成的角為θ2，則θ1，θ2的大小關系是（" ）.

A.θ1=θ2

B.θ1gt;θ2

C.θ1lt;θ2

D.不能確定

答案：C.

（2）已知二面角α-l-β是直二面角，A∈α，B∈β，設直線AB與平面α，β所成角分別為θ1，θ2，則（" ）.

A.θ1+θ2=90°

B.θ1+θ2≥90°

C.θ1+θ2≤90°

D.θ1+θ2lt;90°

答案：C.

（3）如圖11所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長均等于2，M為線段BB1上的動點，則平面ABC與平面AMC1所成的銳二面角余弦值的最大值為.

答案：22.

（4）如圖12，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，求平面SCD與平面SBA所成的二面角的正切值.

答案：22.

課堂視頻

（5）題設如前文中的例題（即教材例7），求證：sin∠ACB=sin∠AOBsin∠AOC或tan∠ACB=tan∠AOBsin∠BOC.

（6）（選做）給出例2變式2的規范解答.