內容自然 學得自然 教得自然

摘要：數學是自然的，數學概念的產生與發展也具有自然性.基于章建躍博士提出的理解數學、理解學生、理解教學的理論，本文中以“二面角的概念”教學為例，進行了體現概念教學自然性的教學設計與實踐，試圖探索一種內容自然、學得自然、教得自然的概念課教學模式.

關鍵詞：概念;教學;自然

課題信息：2021年度重慶市教學科學“十四五”立項一般課題“基于深度學習的高中新教材概

念教學實踐研究”，課題批準號為2021-16-615.

數學概念是反映一類事物在數量關系與空間形式方面本質特征的思維形式，是數學邏輯思維的起點.正如劉紹學教授指出的，數學是自然的，數學概念的產生與發展也具有自然性.但受到重練習輕概念思想的影響，教學中經常出現直接給出概念，忽略概念生成過程的現象，使得概念的生成十分生硬，失去了其自然性.這不利于學生真正理解概念，不利于學生數學思維的培養與核心素養的發展.因此，教師應通過合理的教學設計體現概念教學的自然性，讓學生真正感受數學是自然的［1］.本文中以“二面角的概念”教學為例進行教學設計與實踐，試圖探索一種內容自然、學得自然、教得自然的概念課教學模式.

1 教學過程

教育家夸美紐斯指出，教育要遵循自然秩序與學生認知規律.本文以建構主義學習理論為指導，以發展學生學科核心素養為導向，以促進學生深度學習為目標，引導學生體會概念本身邏輯結構的自然，感受概念生成過程中思維的自然.

1.1 創設情境，讓概念自然抽象

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課程標準”）中指出，在教學活動中，應創設適合的情境與問題，引導學生從情境中抽象出數學概念，累積從具體到抽象的活動經驗，養成在日常生活與實踐中一般性思考問題的習慣，讓數學素養自然發展［2］.

情境：2023年2月22日，重慶最大裝機容量屋頂光伏項目在兩江新區完成并網及試運行.該項目光伏面板總面積25萬余平方米，預計年發電量可達2 600萬千瓦時，減少碳排放2萬余噸.

問題1" 圖1中蘊含了哪些幾何圖形，它們具有怎樣的位置關系？

生1：光伏板所在平面與地面相交，即平面與平面相交.

問題2" 當光伏板繞著與地面的交線轉動時，兩個平面間的什么量發生了改變？

生2：角度.

師：這就是我們今天要討論的問題——二面角.

設計意圖：通過創設現實情境，學生能夠自然抽象出二面角的圖形，體會二面角學習的必要性.培養學生民族自豪感，體現數學育人.

1.2 類比舊知，讓概念自然遷移

著名教育家波利亞說過：“類比是一個偉大的引路人.”類比就是通過比較已有知識與新知識之間的相似之處，建立新舊知識間的聯系，讓知識自然遷移，方法自然延伸.

問題3" 類比平面中角的概念，能否給出空間中二面角的概念？

類比平面中角的概念，學生自然得到二面角的概念、要素、表示等，如表1所示.

設計意圖：通過類比，促使學生體會二面角與平面角之間的聯系，感受二面角概念遷移的自然發生，發展學生數學抽象、邏輯推理核心素養.

1.3 問題串聯，讓概念自然辨析

心理學家布魯納指出，教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動.問題串是在解決思維跨度較大的問題時，設計的具有層次性、啟發性、驅動性的多個問題，啟發學生思維，激發學生思考，讓學生由淺入深地理解知識本質，體會研究思路［3］.

問題4" 隨著半平面繞著棱旋轉，二面角的大小隨之改變，那如何度量二面角呢？

生3：可以類比線面角.如圖2，直線與平面α所成的

角是過直線l上任一點P（非點A）作平面α的垂線構造Rt△PAB，用∠PAB表示線面角，其本質是用平面角度量線面角的大小，所以我認為也應該找一個平面角來度量二面角的大小.

問題5" 如圖3，在二面角

α-MN-β中，怎樣構造平面角？

生4：可以在平面β內找一條直線PA與棱MN交于點P，就構造出了平面角∠APN.

生5：我認為∠APN不行，因為半平面β繞著棱MN旋轉時，二面角大小變了，而∠APN的大小卻不變.我覺得應該在平面α內找一條直線PB，取∠APB，如圖4.此時∠APB就會隨著二面角的變化而變化.

問題6" 這樣的∠APB唯一嗎？

生6：不唯一.當直線PB繞著點P在平面α內旋轉時，∠APB也在改變，那到底取哪個角呢？

生7：我們可以類比線面角的取法，如圖5所示，過點A向平面α引垂線，垂足為Q，連接PQ，這樣就可以唯一確定線面角∠APQ，就可以用它來度量二面角.

生8：這個∠APQ也不唯一呀！當點P在棱上移動時，線面角∠APQ也在發生改變，還是不知道取哪個線面角來度量二面角.

（此時，學生陷入了沉思.）

問題7" 既然這樣，那我們來研究一下點P在棱上移動時，∠APQ是怎樣變化的吧？

生9：我從直觀感覺，不知道對不對.如圖6，當點P移動到點O，使得OQ⊥MN時，顯然OA⊥MN，此時∠AOQ應該是最大角，當點P向棱的兩端移動時，∠APQ會越來越小.

（學生紛紛點頭表示贊同.）

此時，教師利用動態數學軟件GeoGebra直觀展示在點P移動過程中∠APQ的變化情況，驗證了學生的猜想，如圖7所示.

問題8" 剛才我們利用信息技術直觀感受了猜想是正確的，那該如何證明呢？

生10：在Rt△AQP，Rt△AQO中，sin∠APQ=AQAP，sin∠AOQ=AQAO，因為AO⊥MN，則有AP≥AO，所以sin∠AOQ≥sin∠APQ，進而得到∠AOQ≥∠APQ.

問題9" 現在你會選擇哪個角來度量二面角？為什么？

生11：現在會選擇∠AOQ，因為它具有唯一性與最大性.

師：非常好！數學上常常用研究對象所能取到的最值來定義概念.例如，異面直線的距離就是用兩異面直線上兩點距離的最小值來定義的.那我們就得到了二面角的平面角的概念——在二面角α-MN-β的棱MN上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱MN的射線OA和OQ，則射線OA和OQ構成的∠AOQ叫做二面角

α-MN-β

的平面角［4］.

問題10" 二面角的平面角概念中有哪些關鍵詞？

生12：“垂直”，當點O確定時，它可以保證∠AOQ的唯一性與最大性.

生13：“任取”，點O在棱MN上取不同位置時，由于等角定理，得到的角其大小都一樣，進一步說明了其唯一性.

（此時一個學生舉手發言.）

生14：我有一個問題，當二面角α-MN-β為鈍二面角時，二面角的平面角還是最大的線面角嗎？

（問題一出，學生從最開始的竊竊私語，漸漸演變成激烈討論，最后討論聲慢慢變小，最終歸于安靜.）

問題11" 現在你知道鈍二面角的平面角是哪個角了嗎？

生14：知道了，應該是最大線面角的補角.

思考：請同學們對比直線與平面所成的角概念和二面角的平面角概念的生成過程，有哪些相同（或相似）的方法與思路.

設計意圖：通過問題串，促使學生自然經歷二面角的平面角概念的提出、修正，再提出、再修正過程，并從直觀感知逐步提升到理性分析，在發現唯一性與最大性的同時體會其合理性，進而理解概念本質.培養學生嚴謹的思維品質，發展學生直觀想象、邏輯推理核心素養.

1.4 實踐評價，讓概念自然運用

新課程標準中指出，教學評價是數學教學活動的重要組成部分.教學過程中，教師應及時自然地采取課堂實踐活動、課內作業等方式了解學生課堂學習目標與學科核心素養的達成情況，為改進學生學習行為與教師教學行為提供依據.

練習" 已知某時刻兩江新區屋頂光伏項目基地的太陽高度角（指太陽光線與水平面所成角）是60°，假設光伏板會隨著太陽的移動而轉動并始終保持與太陽光線垂直.此時光伏板與水平面所成的二面角的大小是多少？

設計意圖：通過設計與課堂引入相呼應的實踐應用，考查學生學習成效的同時，加深學生對概念的理解，讓學生感受數學來源于生活，運用于生活，引導學生認識學科價值，發展學生數學建模素養.

2 總結與反思

章建躍博士指出，教好一堂課要理解三個方面，即理解數學、理解學生、理解教學.那么一堂自然的好課就必須滿足：內容顯得自然，學生學得自然，教師教得自然.

2.1 內容自然——把握概念本質，讓概念生成更自然

數學概念的本質是指一個數學對象，在一定的范圍內所保持的不變性質.概念教學是否把握了其本質，關鍵在于是否抓住了概念的不變性質［5］.

教學中，不能用感性認同代替對概念不變性的挖掘.例如，在二面角的平面角概念教學中，部分學生通過直觀感知認為一個角的兩邊，只要分別在兩半平面上就可以作為二面角的平面角，這并未觸及概念本質，所以教師繼續提問引發學生質疑，提出作線面垂直以及找棱的垂線構造平面角，并利用信息技術動態展示與幾何證明發現其具有唯一性與最大性，進而定義概念，體現概念本質.最后提出思考：對比直線與平面所成的角概念和二面角的平面角概念生成過程，有哪些相同（或相似）的方法與思路.引導學生探尋數學概念間的內在聯系，建構概念體系，在體系中掌握概念，讓概念生成更自然.

2.2 學得自然——遵從概念認知規律，讓學習過程更自然

數學概念教學應注重學生認知水平，結合概念自身特點，設計遵從學生認知規律的教學，讓學習自然發生.概念的生成常常要經歷情境引入、共性歸納、概念生成與辨析、實踐應用這幾個過程，本文中設計了創設情境、類比舊知、問題串聯、實踐評價四個環節，讓學生在抽象、遷移、辨析、運用中體驗概念自然生成.特別是在概念辨析過程中，充分發揮學生主體地位，鼓勵學生大膽猜想，自主驗證，讓學生在提出猜想、修正猜想，再提出、再修正的過程中逐步挖掘概念本質，體會概念認知規律，進而培養學生探究意識，發展學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養.

2.3 教得自然——抓住教學“兩條線”，讓教學過程更自然

教育家顧明遠指出，教育的本質是培養學生的思維，而課堂是培養學生思維的最好場所.課堂上不僅要抓住基本知識、方法等顯性內容的教學，還要抓住數學思維、核心素養等隱性內容的培養，我們稱其為明線與暗線.本節課的明線是二面角概念、二面角的平面角概念生成過程；暗線則是培養學生概念生成的一般性思維，激發學生探究意識，發展學生核心素養.教學過程中要處理好明線與暗線的關系，在顯性內容教學中滲透數學思維與素養，讓思維與素養引導顯性內容的學習，做到明中透暗，暗中引明.

參考文獻：

［1］劉飚，王克亮.還原數學概念自然性的教學策略初探［J］.數學通報，2016，55（10）：4-8.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］汪小蓮.問題串：概念學習的支架［J］.中學數學，2022（8）：27-29.

［4］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書數學必修第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［5］徐德同，黃金松.關于“理解數學把握本質”的幾點思考［J］.數學通報，2022，61（3）：37-40.