基于多元表征理論的高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

摘要：數(shù)學(xué)多元表征是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的多種表征形式.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，單一的文字語言已經(jīng)不能滿足定義闡述的需要，因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)多元表征理論指導(dǎo)教學(xué)是提升教學(xué)質(zhì)量的必經(jīng)之路.本文中深入剖析一節(jié)融入了數(shù)學(xué)多元表征理論的“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)案例，體會(huì)數(shù)學(xué)多元表征理論在教學(xué)中的靈活應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)多元表征；單調(diào)性；教學(xué)過程

項(xiàng)目信息：哈爾濱師范大學(xué)高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)師范生教學(xué)設(shè)計(jì)能力提升策略研究與實(shí)踐”，項(xiàng)目編號(hào)為XJGY2023020.

數(shù)學(xué)多元表征理論是一種在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛的理論框架，旨在通過多種表征形式來深化對(duì)數(shù)學(xué)概念和問題的理解與解決.

數(shù)學(xué)多元表征理論的核心在于使用多種形式來表現(xiàn)和解決問題，這些形式包括口頭語言、文字符號(hào)、圖形圖表、物理模型、情境表征和操作性表征等.這種多維度的表征方式有助于從不同角度理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，從而促進(jìn)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知發(fā)展和思維能力的提升.因此，該理論具備良好的應(yīng)用價(jià)值.

1 數(shù)學(xué)多元表征理論的應(yīng)用價(jià)值

1.1 幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念

借助多元表征的學(xué)習(xí)方法探究數(shù)學(xué)概念，能有效深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，通過激發(fā)學(xué)生的多元化感知體驗(yàn)，使數(shù)學(xué)教育過程更富活力與實(shí)踐性.此方法蘊(yùn)含科學(xué)原理，不僅拓寬了數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知范疇，還增強(qiáng)了理解的深入性，從而推動(dòng)學(xué)生全面而深入地掌握數(shù)學(xué)概念.

1.2 幫助學(xué)生建構(gòu)良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)

教育者在授課過程中采用描述性和敘述性等多種表征方法，能夠彰顯數(shù)學(xué)概念的多維度的特性，并強(qiáng)化不同表征形式間的內(nèi)在聯(lián)系.通過多元視角的切入，有助于學(xué)生構(gòu)筑穩(wěn)固的知識(shí)架構(gòu)，搭建起新舊數(shù)學(xué)概念的溝通橋梁，進(jìn)而促進(jìn)系統(tǒng)化數(shù)學(xué)概念認(rèn)知框架的生成.

1.3 幫助學(xué)生提高解決問題的能力

借助數(shù)學(xué)概念的多元表征思路進(jìn)行學(xué)習(xí)，在深刻掌握數(shù)學(xué)概念的前提下，對(duì)數(shù)學(xué)問題實(shí)施多元化解讀，全面深入地剖析、揭示問題本質(zhì)，探索解題路徑，能夠有效提升學(xué)生的解題能力.

2 “函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)案例

2.1 內(nèi)容與教材分析

本課題選自普通高中教科書數(shù)學(xué)A版（人民教育出版社）必修第一冊(cè)第三章第二節(jié).

函數(shù)的單調(diào)性是高中階段學(xué)生接觸并研究的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，也是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫的性質(zhì).

學(xué)生借助對(duì)函數(shù)圖象的觀察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象“上升”“下降”變化的直觀特征，用文字語言描述為“隨著橫坐標(biāo)的增大，縱坐標(biāo)增大（減小）”，進(jìn)一步量化，發(fā)現(xiàn)“隨著橫坐標(biāo)的增大，縱坐標(biāo)增大（減小）”的數(shù)學(xué)特征，獲得數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)，完成對(duì)數(shù)學(xué)概念的形式化、符號(hào)化抽象.通過函數(shù)單調(diào)遞增（減）、增（減）區(qū)間以及增（減）函數(shù)概念的生成，逐步完善函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)體系.

2.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過具體實(shí)例，經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念的抽象過程，能說出單調(diào)遞增（增函數(shù)）、單調(diào)遞減（減函數(shù)）定義及其圖象特征；能用例子說明“任意”等關(guān)鍵詞的含義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（2）能利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性；能說出用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟，能利用定義對(duì)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性給出形式化的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

（3）通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透符號(hào)化與形式化、數(shù)形結(jié)合思想方法，總結(jié)從圖形、文字到符號(hào)語言等價(jià)轉(zhuǎn)化的研究思路，培養(yǎng)學(xué)生觀察、判斷、抽象、概括能力.

2.3 教學(xué)重難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)

函數(shù)單調(diào)性的定義；運(yùn)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.

（2）教學(xué)難點(diǎn)

基于單調(diào)遞增（減）的函數(shù)圖象逐步抽象函數(shù)單調(diào)性的定義.

2.4 教學(xué)理念

數(shù)學(xué)多元表征理論指出，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，相對(duì)單一表征而言，多元表征具有無可比擬的優(yōu)勢(shì)，且這種表征可以直接表現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合的思想方法中.“單調(diào)性”的學(xué)習(xí)是學(xué)生首次接觸到使用多元語言描述同一數(shù)學(xué)對(duì)象，這是數(shù)形結(jié)合的深化抽象初體驗(yàn)，也是數(shù)學(xué)多元表征理論呈現(xiàn)的優(yōu)良載體.因此，本節(jié)課依照“數(shù)學(xué)多元表征”理念來設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)活動(dòng).

2.5 教學(xué)過程

（1）視覺化表征的形成

利用艾賓浩斯遺忘曲線舉例，說明函數(shù)圖象的升降可以體現(xiàn)變化趨勢(shì)，回顧發(fā)現(xiàn)許多函數(shù)圖象都具備這種“上升”“下降”的現(xiàn)象，請(qǐng)學(xué)生舉例.

問題1" 哪些函數(shù)圖象具備“上升”或“下降”的現(xiàn)象？

學(xué)生活動(dòng)：能舉出一次函數(shù)、二次函數(shù)等例子.

在高中階段，把函數(shù)圖象從左到右上升叫做單調(diào)遞增，從左到右下降叫做單調(diào)遞減.不難發(fā)現(xiàn)，有的函數(shù)圖象同時(shí)包括單調(diào)遞增、單調(diào)遞減部分.

問題2" 這說明描述圖象的單調(diào)遞增（減）需要確定好什么要素？

學(xué)生活動(dòng)：描述單調(diào)遞增（減）要明確圖象對(duì)應(yīng)的區(qū)間.

若在某區(qū)間上，函數(shù)圖象是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的，就稱函數(shù)在該區(qū)間上具備單調(diào)性.

點(diǎn)評(píng)：經(jīng)過兩個(gè)問題的引導(dǎo)，完善學(xué)生對(duì)單調(diào)遞增（減）定義的視覺化表征.

（2）言語化表征的形成

問題3" 能將單調(diào)性的圖形語言等價(jià)轉(zhuǎn)化為文字語言嗎？

以熟悉的函數(shù)y=x2圖象為例，從宏觀上觀察圖象，總結(jié)其變化特征.

追問1：如圖1，函數(shù)y=x2圖象的變化特征是什么？

追問2：從微觀上看，函數(shù)圖象是由什么構(gòu)成的？

每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)有坐標(biāo)，所以圖象的變化就意味著坐標(biāo)的變化.

追問3：比如y=x2的圖象從左到右先下降后上升，意味著坐標(biāo)是怎樣變化的？

學(xué)生活動(dòng)：通過觀察幾何畫板繪制的圖象上點(diǎn)的變化，結(jié)合三個(gè)追問的引導(dǎo)，逐步抽象出單調(diào)增（減）的文字語言為“隨著橫坐標(biāo)的增大，縱坐標(biāo)先減小后增大”.

點(diǎn)評(píng)：此時(shí)已完成言語化表征中的口頭語言、數(shù)學(xué)書面語言轉(zhuǎn)化，可進(jìn)一步對(duì)表征進(jìn)行形式化的符號(hào)語言轉(zhuǎn)化，這有利于學(xué)生形成良好的感覺記憶.

問題4" 如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述單調(diào)性？

首先研究函數(shù)y=x2在y軸右側(cè)的變化趨勢(shì)，即“隨著橫坐標(biāo)的增大，縱坐標(biāo)增大”.

注意到這里兩次提到增大，思考下列問題.

追問1：至少需要研究幾個(gè)對(duì)象，才能體現(xiàn)出增大的過程？

學(xué)生活動(dòng)：回答兩個(gè)、三個(gè)甚至更多，最后確定為至少兩個(gè)點(diǎn)才能體現(xiàn)出增大.

追問2：如何用符號(hào)語言表述點(diǎn)在y軸右側(cè)、橫縱坐標(biāo)的增大？

追問3：如何用符號(hào)語言體現(xiàn)“隨著”？

學(xué)生活動(dòng)：逐步嘗試、修正，最后得到形式化的符號(hào)語言表述.

顯然，由文字語言可得到符號(hào)語言，但要求進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

追問4：滿足該符號(hào)語言，圖象能否一定遞增？

追問5：不妨設(shè)無限個(gè)點(diǎn)滿足條件，此時(shí)結(jié)論是否成立？

學(xué)生活動(dòng)：思考后學(xué)生可以舉出反例，如圖2.

追問6：需要多少個(gè)點(diǎn)滿足條件，才可以滿足單調(diào)遞增？

追問7：哪個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)能體現(xiàn)出這樣的含義？

學(xué)生活動(dòng)：結(jié)合所學(xué)，得出某區(qū)間上的所有點(diǎn)滿足條件才可說明圖象在該區(qū)間上單調(diào)遞增，并結(jié)合所學(xué)使用全稱量詞進(jìn)行符號(hào)語言表述.

點(diǎn)評(píng)：通過問題串引導(dǎo)，學(xué)生將表征“隨著橫坐標(biāo)的增大，縱坐標(biāo)增大”深化到形式化的符號(hào)語言表征.至此，關(guān)于單調(diào)遞增（減）的言語化、視覺化表征已經(jīng)完成，意味著學(xué)生能更好地形成對(duì)知識(shí)的感覺記憶，進(jìn)而有利于工作記憶中各類編碼的生成.

問題5" 你能類似地描述該函數(shù)在區(qū)間（－∞，0）上的變化規(guī)律嗎？可借助表1梳理思路.

結(jié)論函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增

追問：這樣的符號(hào)語言是否可以用于描述其他函數(shù)圖象單調(diào)遞增（減）？

師生活動(dòng)：得到一般的單調(diào)遞增（減）函數(shù)圖象的符號(hào)語言表述.教師板書總結(jié)單調(diào)性的定義.

點(diǎn)評(píng)：由特殊到一般，學(xué)生歸納出函數(shù)單調(diào)性的定義，體會(huì)類比表征的過程，思維得到升華；在數(shù)形結(jié)合中體會(huì)數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)圖象的一致性，也是數(shù)學(xué)多元表征理論在教學(xué)中的直接體現(xiàn).

（3）例題精講，促進(jìn)表征內(nèi)化

利用定義，不僅可以對(duì)具備單調(diào)性的函數(shù)進(jìn)行符號(hào)化的描述，而且還能判定和證明函數(shù)的單調(diào)性，以下面例題的解題過程進(jìn)行示范.

例題" 根據(jù)定義研究函數(shù)y=x+1x在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性.

類比單調(diào)性定義推進(jìn)例題的解決，明確需要使用作差法.

學(xué)生活動(dòng)：自主完成后續(xù)證明過程.

根據(jù)例題總結(jié)用定義法判定函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，歸納判定單調(diào)性的兩種方法，即定義法、圖象法.

變式" 類比上述流程，你能判斷函數(shù)y=x+1x在（－∞，－1）上的單調(diào)性嗎？

追問：根據(jù)單調(diào)性的結(jié)論，能否說函數(shù)y=x+1x在（－∞，－1）∪（1，+∞）上單調(diào)遞增？

點(diǎn)評(píng)：利用定義法解決單調(diào)性的判定問題，并在此總結(jié)判定步驟，方便學(xué)生后續(xù)使用此方法.同時(shí)深化學(xué)生的感覺記憶，促進(jìn)工作記憶中各類編碼的生成.

（4）練習(xí)鞏固，自主探索

練習(xí)1" 根據(jù)定義，研究函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的單調(diào)性.

練習(xí)2" 物理學(xué)中的玻意耳定律p=kV（k為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大，試用函數(shù)的單調(diào)性證明.

點(diǎn)評(píng)：通過自主練習(xí)，進(jìn)一步鞏固定義法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、化歸、分類討論等思想方法，借單調(diào)性解釋物理學(xué)中的定律，養(yǎng)成數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和理性思維，促進(jìn)學(xué)科融合.

（5）總結(jié)提升，明晰思路

問題6" 本節(jié)課是如何抽象出函數(shù)單調(diào)性定義的？

學(xué)生活動(dòng)：結(jié)合本節(jié)課內(nèi)容總結(jié)研究思路，回顧定義得出的過程.

點(diǎn)評(píng)：通過研究思路的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維習(xí)慣，內(nèi)化多元表征的一般路徑，并積累函數(shù)問題的研究思路，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性作先導(dǎo)鋪墊.

（6）布置作業(yè)，深化提升

①教材第79頁練習(xí)1～4題；

②思考題：若函數(shù)f（x）對(duì)x1，x2∈D，都有f（x2）－f（x1）x2－x1gt;0，判斷f（x）在D上的單調(diào)性.

點(diǎn)評(píng)：設(shè)置不同類型作業(yè)任務(wù)，作業(yè)①鞏固所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，提高學(xué)生的探究意識(shí)和實(shí)踐能力，思考題則是為單調(diào)性等價(jià)定義的出現(xiàn)作鋪墊，深化學(xué)生對(duì)單調(diào)性的感覺記憶，有利于工作記憶的編碼生成.

在本案例中，學(xué)生經(jīng)歷圖形語言、文字語言到符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化，形成了言語化表征和視覺化表征，有利于感覺記憶的獲取.有了結(jié)構(gòu)良好的感覺記憶，學(xué)生更易理解定義本身，同時(shí)方便對(duì)記憶進(jìn)行編碼，促進(jìn)工作記憶的形成和向長(zhǎng)時(shí)記憶的轉(zhuǎn)化.