關于“橢圓的幾何性質”研究課教學設計的再思考

摘要：橢圓是高中解析幾何中最重要的圓錐曲線.橢圓的學習為雙曲線和拋物線的學習起到示范作用，同時橢圓也是學生面臨的第一條用解析方法研究的圓錐曲線，因此教師在教學上需要有思考，有創新.

關鍵詞：學生視角；教學設計

教學研究需要突破常規，在傳統的基礎上進行新嘗試，利用這些新嘗試為教學添加新的選項.“橢圓的幾何性質”是高中階段十分重要的一節，過往很多教師都就此做過研究課.筆者也曾在2018年開設了一節“橢圓的幾何性質”的區級研究課，試圖從新的角度進行嘗試，以供參考.

1 研究課素材的確定

橢圓是學生學習的第一種全新圓錐曲線，研究橢圓的經歷將自然地被遷移到研究雙曲線與拋物線中.為此，備課組的幾位老師歷經多次研討，提供了兩種教學設計.第一種設計是以教材為準［1］，一節課講完范圍、對稱性、頂點、離心率四條性質，但是要在引入上進行創新，有兩種方案.方案一：學生在高一階段多次經歷了函數的學習，學會了如何研究函數，于是類比研究函數的方法研究橢圓；方案二：學生學習橢圓之前學習了直線和圓，初步體驗了解析幾何中研究曲線的方法，于是可以類比研究圓的方法來研究橢圓.第二種設計是不拘泥于教材，將性質分為兩節課，第一節重點探討對稱性和頂點，第二節再研究范圍和離心率.本文重點分析第二種設計.

2 研究課主要片段

2.1 復習舊知，引出問題

課上，教師開門見山地回顧了橢圓的定義與方程.隨后，結合前期曲線與方程概念的學習，提出了本節課第一個問題——根據橢圓的圖形和方程，能否得出橢圓的相關幾何性質？這為后續研究鋪墊知識基礎.

2.2 數形結合，學習新知

課上，學生根據橢圓的圖形，自然地觀察出了橢圓的對稱性.教師提出問題：如何進行嚴謹證明？進而讓學生思考：如何證明直線x=1不是橢圓x2a2+y2b2=1的對稱軸？

明確了橢圓的對稱軸，相應地就確定了橢圓的頂點.至此，本節課的新知結束.

2.3 交流探究，應用新知

學習了橢圓的對稱性與頂點之后，教師布置了一個具有挑戰性的問題.

圖1

問題1" 已知圖1中的兩條直線是橢圓的對稱軸，請畫出橢圓的焦點.（學生交流探討）

2.4 師生協作，勇攀高峰

明確了給定橢圓對稱軸找橢圓焦點的方法后，學生又挑戰了一個更高難度的問題.

圖2

問題2" 已知方程3x2+3y2－2xy－8=0表示的曲線如圖2所示，這個圖形是不是橢圓？為什么？

分析：如何證明是橢圓？利用定義，關鍵是發現焦點的位置.

（1）發現對稱軸：曲線關于直線y=x，y=－x對稱，原點為對稱中心.

（2）明確頂點：頂點A1（－2，－2），A2（2，2），B1（1，－1），B2（－1，1）.

（3）確定焦點：長軸長為4，短軸長為22，于是焦距為22.因此焦點坐標為F1（－1，－1），F2（1，1）.

（4）利用定義驗證：曲線上的動點P（x，y）到點F1（－1，－1），F2（1，1）距離之和為4.

如此一來，問題可進一步轉化為驗證以F1（－1，－1），F2（1，1）為焦點，長軸長為4的橢圓方程為3x2+3y2－2xy－8=0.

由（x+1）2+（y+1）2+（x－1）2+（y－1）2=4.化簡計算即可.

2.5 課下延伸，思維不停

在完成了上述兩個問題之后，教師布置了課后練習：如何證明方程x416+y4=1表示的曲線不是橢圓？

3 關于本節課教學設計的反思

深度學習本質上強調的是學生需要進行有意義的學習，在這個學習過程中，學生掌握學科的核心知識，理解學習的過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機，成為既具獨立性、批判性、創造性又有合作精神、基礎扎實的優秀的學習者，成為未來社會歷史實踐的主人.回顧本節課備課時的經歷，一直有一個問題縈繞在筆者的腦海：學生為什么要學習教材里面的這些內容，而這也正是深度學習所強調的.

3.1 從學生視角出發進行教學設計

在2007年人教A版［2］、B版［1］，2020年人教B版［3］教材中，曲線的幾何性質緊跟在曲線方程之后被視為一種慣例，從數學研究者的視角看，這是一種自然呈現.學生如何才能像研究者那樣進行學習和思考呢？我們希望學生是善于思考的，尤其是在數學學習過程中，必要的質疑有利于學生對數學對象的更深刻認識.對于發展中的高中學生來說，需要把這種研究者的自然變為經過思考之后的理所應當.因此，我們就需要設計相應的問題，能夠有效地解決為什么要在學習了方程之后學習曲線的性質.利用具有挑戰性的任務，把教學內容變成學生自然的思考素材.正是基于這樣的思考，當時的教學做了大膽的嘗試.將別人一節課的內容設計成了兩節課，根本目的就是希望學生能夠理解為什么要研究橢圓的幾何性質，尤其是對稱性，從而能引導學生從研究的角度進行學習.

3.2 從教學目標出發選擇教學設計

不同的教學目標自然會導致不同的教學設計.以知識為目標的教學，學生自行閱讀教材即可實現;以方法為目標的教學則需要教師的啟發與引導;而以思維為目標的教學則需要設置合適的任務，給學生足夠的思維時間與空間，教師在必要的時候給予啟發.學生學習數學更重要是學習如何分析解決問題，所以課堂上學生的思維參與程度應該是衡量一節課質量的重要因素.本節課就是試圖讓學生在任務串、問題串的引領下不斷進行思維推進，進而學會正向、逆向分析問題.

3.3 教學設計需要兼顧學生的認知水平

筆者最開始的設想是一上課就明確本節課的研究任務：方程3x2+3y2－2xy－8=0表示的曲線是不是橢圓？為什么？

然后讓學生進行嘗試研究.由于難度較大，因此允許學生可以借助信息技術進行研究，進而引導學生由方程作圖，再由圖提猜想，根據猜想倒推橢圓性質，最后利用倒推得到的橢圓性質解決問題.

最初的這種設想過于大膽，對于程度較好的學生來說絕對是一頓思維大餐，但是對于平時思維鏈條較短的學生較為困難，后來在各位同事的建議下進行了修改，由完全的逆向思考變成有鋪墊的正向、逆向相結合的思維線索.

2017年頒布的《普通高中數學課程標準》在2020年進行了修訂.新課程標準首次提出了數學核心素養的概念，明確了數學學科需要發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、數學建模、直觀想象、數據分析六大核心素養.回顧本節課中問題任務的順利完成，學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象都會得到發展與提升.

深度學習是落實課程標準要求、實踐課程標準的需要.它是一切優秀思想與實踐的提煉、總結與普及.從概念上講，深度學習是學生積極參與、全身心投入、獲得健康發展的有意義的學習過程.在這個深度學習的過程中，學生在素養導向學習目標的引領下，聚焦引領性學習主題，展開有挑戰性的學習任務與活動，掌握學科基礎知識與基本方法，體會學科基本思想，建構知識結構，理解并評判學習內容與過程；能夠綜合運用知識和方法創造性地解決問題，形成積極的內在學習動機，成為有獨立思考能力，善于合作、有社會責任感、具備創新精神和實踐能力、能夠創造美好未來的社會實踐的主人.這節課的教學設計無意間成為了一個深度教學理念的嘗試，將來還需要進行更多實踐嘗試.

參考文獻：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學教材實驗研究組.普通高中課程標準實驗教科書＼5數學＼5選修2-1）》（B版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

［2］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書＼5數學＼5選修2-1）（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

［3］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學教材實驗研究組.普通高中教科書＼5數學＼5選擇性必修第二冊（B版）［M］.北京：人民教育出版社，2020.