深度學(xué)習(xí) 鑄就活力課堂

引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，鑄就活力課堂，是落實新課標(biāo)指向的重要路徑.深度學(xué)習(xí)是相對于淺層次學(xué)習(xí)而言的.所謂數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，是指學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，圍繞具有一定難度且具有一定挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)主題展開學(xué)習(xí)和深層次的探究，在整個過程中學(xué)生都能全身投入并體驗成功.“活力”是活力課堂的落腳點，充滿活力的課堂往往能引發(fā)笑聲，并能激發(fā)探究的欲望，探究過程中，必然會有互相交流的討論聲，當(dāng)探究成功分享喜悅時，必然會引發(fā)陣陣掌聲.因此，筆者以為，笑聲、討論聲和掌聲是數(shù)學(xué)活力課堂的重要體現(xiàn).基于此，本文中以“探究函數(shù)y=x+1x的圖象與性質(zhì)”為例，展示引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、鑄就活力課堂的具體實施，與大家交流.

1 學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)目標(biāo)

深度學(xué)習(xí)內(nèi)容：探究函數(shù)y=x+1x的圖象與性質(zhì).

選材說明：本內(nèi)容取材于現(xiàn)行普通高中教科書人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊第92頁的“探究與發(fā)現(xiàn)”.本內(nèi)容雖然不隸屬課本正文，卻是引領(lǐng)學(xué)生感悟函數(shù)與圖象的好素材.

深度學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）通過對函數(shù)y=x+1x的圖象的探究與性質(zhì)的研究，感悟數(shù)形結(jié)合思想，深刻領(lǐng)會圖象特征與函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，并能應(yīng)用探究結(jié)果解決相關(guān)問題.（2）通過探究初步掌握數(shù)學(xué)研究的基本方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)情感.

2 教學(xué)過程

2.1 回顧舊知，引發(fā)新知與認知沖突

師：函數(shù)圖象，能讓函數(shù)的性質(zhì)一覽無遺，因此，研究函數(shù)往往先研究它的圖象.初中時，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)y=x和y=1x，并且知道它們的圖象分別是直線與雙曲線，那么把它們相加后得函數(shù)y=x+1x，它的圖象還是直線或雙曲線嗎？請大家利用初中所學(xué)的描點作圖法，畫出當(dāng)xgt;0時，這個函數(shù)的圖象.

教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫圖不得要領(lǐng)，畫出的圖象各不相同.于是教師加以引導(dǎo).

師：作函數(shù)圖象，一般要抓住幾個關(guān)鍵點.一是函數(shù)何時取得最大值或最小值；二是函數(shù)在哪些區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；三是函數(shù)圖象的變化趨勢.

圖1

一語驚醒夢中人.依據(jù)剛學(xué)過的基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生馬上找到了函數(shù)圖象的最低點（1，2）和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中（0，1）是減區(qū)間，（1，+∞）是增區(qū)間.于是得到圖1.

2.2 抓住特征，完善圖象并提升認知

師：經(jīng)過探究，我們知道當(dāng)xgt;0時函數(shù)y=x+1x的圖象的形狀像對勾，請問同學(xué)們，如果在同一個坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x的圖象，這兩個函數(shù)的圖象會相交嗎？

生1：因為當(dāng)xgt;0時y=x+1x＞x，所以y=x+1x的圖象不會與y=x的圖象相交，而且它永遠位于直線y=x的上方.當(dāng)自變量x趨向于無窮大時，1x趨向于0，所以函數(shù)y=x+1x的圖象的變化趨勢是無限接近于直線y=x.

師：回答得很好！（學(xué)生掌聲響起.）

師：我們把直線y=x稱為函數(shù)y=x+1x圖象的漸近線.你還能看出哪條直線是函數(shù)y=x+1x圖象的漸近線？

生2：y軸，即直線x=0也是它的漸近線.因為這個函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，所以y=x+1x與y軸不相交，又因為當(dāng)自變量x趨向于0+時，1x趨向于正無窮大，所以函數(shù)y=x+1x的圖象也無限逼近于y軸.（學(xué)生掌聲再次響起.）

師：剛才我們已經(jīng)研究了當(dāng)xgt;0時函數(shù)y=x+1x的圖象特征，那么當(dāng)xlt;0時，它的圖象又該如何畫呢？

生3：因為函數(shù)y=x+1x的定義域為{x|x≠0}，且滿足f（x）+f（－x）=0，所以它是奇函數(shù)，于是依據(jù)對稱性，即可畫出當(dāng)xlt;0時函數(shù)的圖象.

圖2

師：好！請大家畫出函數(shù)y=x+1x在定義域{x|x≠0}內(nèi)的圖象，并同時畫上漸近線.

經(jīng)過以上探究，學(xué)生很快畫出了函數(shù)y=x+1x在定義域{x|x≠0}內(nèi)的圖象，如圖2.

2.3 改變系數(shù)，深入探究完善知識結(jié)構(gòu)

師：剛才我們研究了函數(shù)y=x+1x的圖象，并結(jié)合圖象知道了它的一系列性質(zhì).如果把這個函數(shù)改為y=x+4x，你會研究它的圖象與性質(zhì)嗎？請同學(xué)們分組探究.

5分鐘后，同學(xué)們交流探究結(jié)果.學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)的圖象依舊是“兩個對勾”，奇偶性與定義域沒有改變，但值域和單調(diào)性發(fā)生了變化，這個函數(shù)的值域是（－∞，-4］∪［4，+∞），單調(diào)增區(qū)間有（－∞，－2）和（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間有（－2，0）和（0，2）.

師：如果把這個函數(shù)改為y=2x+8x，情形又如何呢？

生4：只需把它變形為y=2x+4x就可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)與y=x+4x有著“驚人相似的模樣”，即值域發(fā)生了改變，其他都沒有變化.該函數(shù)的值域是（－∞，-8］∪［8，+∞）.

師：回答得很好！解決數(shù)學(xué)問題的根本在于轉(zhuǎn)化，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.下面請同學(xué)們探究函數(shù)y=ax+bx（a，bgt;0）的圖象與性質(zhì).

學(xué)生再次合作，先把函數(shù)y=ax+bx化為y=ax+bax，進而利用幾何畫板畫出它的圖象，如圖3所示.

圖3

對于函數(shù)f（x）=ax+bx（agt;0，bgt;0），當(dāng)xgt;0時，f（x）=ax+bx≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ax=bx，即x=ba時等號成立）；當(dāng)xlt;0時，f（x）=-（-ax）+-bx

≤-2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ax=bx，即x=-ba時等號成立）.

所以得到圖象的頂點坐標(biāo)Aba，2ab，B-ba，-2ab.

結(jié)合圖象，得到函數(shù)y=ax+bx（a，bgt;0）的如下性質(zhì)：

（1）定義域：{x|x≠0};

（2）奇偶性：奇函數(shù)；

（3）單調(diào)性：單調(diào)遞增區(qū)間為－∞，－ba，ba，+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為－ba，0，0，ba；

（4）值域：（－∞，－2ab］∪［2ab，+∞）.

2.4 變號再探，把深度學(xué)習(xí)引向課外

師：剛才經(jīng)過大家的群策群力，我們從y=x+1x入手，成功研究了一類形如y=ax+bx（a，bgt;0）雙勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，那么a與b異號時，這個函數(shù)的圖象與性質(zhì)又如何呢？請大家課后探究函數(shù)y=x－1x的圖象與性質(zhì).

3 一點體會

深度學(xué)習(xí)，既是學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，也是教師的教學(xué)行為，只有把教與學(xué)緊密聯(lián)系起來，才能實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目的.對于這類課型，有效的問題設(shè)置十分重要，因為有效的問題才能使學(xué)生的探究有章可循，進而體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位，更能體現(xiàn)“教學(xué)相長”的教學(xué)原則.

深度學(xué)習(xí)的內(nèi)容，應(yīng)該靈活多變.教師應(yīng)該做到尊重教材，但不拘泥于教材，一切從學(xué)生的認知出發(fā).每一節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，既要注重基礎(chǔ)性，因為它是深度學(xué)習(xí)的前提與保障，更要注重知識與方法的拓展性，因為它是深度學(xué)習(xí)的目的與歸宿.深度學(xué)習(xí)不僅僅體現(xiàn)在課堂上，也應(yīng)該體現(xiàn)在課外，只有這樣，才能讓深度學(xué)習(xí)成為學(xué)生探究數(shù)學(xué)世界的習(xí)慣.

活力課堂，講究的是互動，但必須以深度學(xué)習(xí)為平臺，如果離開了這個平臺，那么活力課堂只能是一種形式，它對學(xué)生的思維發(fā)展和探究能力的培養(yǎng)毫無益處.因此，深度學(xué)習(xí)是鑄就活力課堂的必要條件.