追根溯源鏈接高考，開拓思維一題多解

摘要：有關曲線的對稱中心與對稱軸是函數圖象中對稱性的一個重要方面，也是數與形巧妙融合的一個重要場景.結合一道高考模擬題中有關函數所對應曲線的對稱中心的確定，展開聯想，追根溯源，鏈接高考，開拓思維，一題多解，借此歸納總結解決此類問題的基本技巧方法，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：函數；曲線；對稱中心；奇函數；定義

在高中數學中，研究函數的基本性質時一般要研究函數圖象的對稱性，而這就離不開相關函數所對應曲線的對稱中心與對稱軸以及與之相關的其他問題.特別是，涉及一些復雜函數所對應曲線的對稱中心問題，有時也是命題的一個基本點，在2024年高考數學全國新高考Ⅰ卷中也有這樣的題，在高考復習過程中要加以重視.

1 問題呈現

問題" 已知函數f（x）=ln1x－e2，則曲線y=f（x）的對稱中心為.

此題以含有絕對值形式的對數型函數為問題場景，借助函數解析式的給出，確定相關函數所對應曲線的對稱中心，全面考查函數的基本概念、解析式、基本性質及函數的圖象特征等知識點.

剖析問題的基本類型，合理追根溯源，巧妙鏈接高考，開拓數學思維，從不同思維視角與應用層面切入，結合不同的技巧方法加以分析與求解，實現問題的突破與綜合應用.

2 鏈接高考

以上高考模擬題借鑒了以下高考真題中第（Ⅱ）問的命題手法，以填空題的形式來設置，考查函數的解析式與基本性質等.

高考真題" （2024年高考數學全國新高考Ⅰ卷·18）已知函數f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（Ⅰ）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值；

（Ⅱ）證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形；

（Ⅲ）若f（x）gt;－2當且僅當1lt;xlt;2，求b的取值范圍.

點評：該題依托雙變元函數的解析式，利用代數式的結構特征，結合函數對稱性的定義與基本性質，確定函數所對應曲線對稱中心的坐標，為證明相關函數所對應的曲線的中心對稱創造條件.

3 問題破解

方法1：定義域對稱法.

依題，函數y=f（x）的定義域為x

x≠0且x≠2e.若曲線y=f（x）是中心對稱圖形，結合對稱性可知曲線y=f（x）的對稱中心的橫坐標為1e.

因為函數y=f（x）在x=1e有意義，所以曲線y=f（x）的對稱中心在曲線y=f（x）上.

又f1e=ln 11e－e2=lne2，所以曲線y=f（x）的對稱中心為1e，lne2.

點評：基于研究函數問題時“定義域先行”的思維方式，從曲線的對稱中心的橫坐標也必是定義域的對稱中心這一基本特點來切入，成為解決此類問題的首選技巧方法.此方法適用于函數在相關定義域的對稱中心處有意義，此時曲線y=f（x）的對稱中心在該曲線上.

方法2：定義法.

依題，函數y=f（x）的定義域為xx≠0且x≠2e.

而f2e－x+f（x）=ln12e－x－e2+ln1x－e2=lne2－ex－e2+ln1x－e2=lne2－ex－e21x－e2=lne24=2lne2.

根據曲線的對稱定義，可知曲線y=f（x）的對稱中心為1e，lne2.

點評：根據曲線的中心對稱定義，在不確定曲線的對稱中心是否為曲線y=f（x）上的點時，可以直接利用定義法，通過求解曲線對稱中心的縱坐標來轉化與應用，是處理此類問題的一種基本思維方法.定義法是考生在實際解題過程中常用的一種技巧方法，適用于具有中心對稱性質的所有函數所對應的曲線中的應用問題.

方法3：設點法.

依題，設曲線y=f（x）的對稱中心為（m，n）.

根據曲線的中心對稱的性質，結合題目條件可得f（2m－x）+f（x）=ln12m－x－e2+ln1x－e2=ln12m－x－e21x－e2=ln1－mex（2m－x）+e24.

根據對稱性，可知ln1－mex（2m－x）+e24=2n對定義域內的任意實數x恒成立，所以1－me=0，lne24=2n，解得m=1e，n=lne2.

所以曲線y=f（x）的對稱中心為1e，lne2.

點評：根據曲線的中心對稱的基本性質，設出曲線的對稱中心坐標，借助對稱中心代入加以分析與應用，利用定義來轉化與求解，是用設點法處理此類問題的通性通法.設點法中，結合函數關系式的變形與轉化，針對中心對稱點的坐標所對應的參數值，其目的就是讓定義域內的x的取值與變化不起作用，由此來確定對應的關系式，求解對稱中心的坐標.

方法4：平移法.

依題，函數y=f（x）的定義域為x|x≠0且x≠2e.

將函數f（x）=ln1x－e2的圖象向左平移1e個單位長度，可得到fx+1e=ln1x+1e－e2=lneex+1－e2=lne－e2x2（ex+1）=lne2+ln1－exex+1，即fx+1e－lne2=ln1－ex1+ex.右側函數y=ln1－ex1+ex為奇函數，則其圖象關于點0，lne2成中心對稱.

所以曲線y=f（x）是關于點1e，lne2的中心對稱圖形.

所以曲線y=f（x）的對稱中心為1e，lne2.

點評：根據中心對稱曲線的幾何性質，結合函數的定義域，利用函數圖象的平移變換，通過奇函數的變換來確定與應用，是用平移法處理此類問題的特殊方法.平移法是基于對稱中心的確定的一種動態解題技巧方法，通過函數圖象的平移變換與運動情況來尋找具有奇函數特性的函數解析式，由此來確定相應的對稱中心.

方法5：導數法.

依題，設曲線y=f（x）的對稱中心為（m，n），則函數f（x）的凹凸拐點在（m，n）處取得.

令函數h（x）=ln1x-e2，則h′x=－1x21x－e2=1e2x2－x.令函數g（x）=1e2x2－x，則有g′（x）=1－exe2x2－x2.

當g′（x）=0時，解得x=1e，即m=1e.

將x=1e代入函數f（x）=ln1x－e2中，可得f1e=ln11e－e2=lne2，即n=lne2.

所以曲線y=f（x）的對稱中心為1e，lne2.

點評：根據曲線的中心對稱的基本性質，曲線在在對稱中心的左右兩邊的凹凸性是相反的，即函數的凹凸拐點就是相應曲線的對稱中心.此時需要滿足在對稱中心處，f′（x）的導數值等于0，即f″（x）=0.如果函數的解析式方便進行求導運算，有時也可采用此類導數法來巧妙確定曲線的對稱中心.

4 教學啟示

對于一些復雜函數所對應曲線的對稱中心問題，應抓住對稱性的概念與基本性質，回歸函數的圖象與性質的本質，利用定義法、設點法、平移法及導數法等借助正確的數學運算與合理的邏輯推理加以應用，進而分析并確定對應的對稱中心及與之相關的綜合應用問題.