巧借積化和差公式，妙破解三角形問(wèn)題

摘要：三角函數(shù)中的積化和差公式，是兩角和與差公式的一個(gè)深入應(yīng)用與變式拓展，也是解決三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)常用的一組特殊公式.在處理解三角形的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，涉及三角形內(nèi)角的三角函數(shù)值，經(jīng)常借助積化和差及相關(guān)公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，巧妙破解相應(yīng)的的解三角形問(wèn)題.結(jié)合典型實(shí)例剖析，總結(jié)歸納解題技巧與規(guī)律方法，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：積化和差；解三角形；求值；內(nèi)角；最值

三角函數(shù)中的積化和差公式，是簡(jiǎn)單的三角恒等變換中的一組特殊公式，涉及兩角正弦、余弦乘積之間的一種對(duì)稱關(guān)系與應(yīng)用.而在解三角形問(wèn)題中，也經(jīng)常會(huì)有相關(guān)三角形內(nèi)角的正弦、余弦乘積之間的關(guān)系式，合理借助積化和差公式，轉(zhuǎn)化解三角形中的相關(guān)問(wèn)題.

1 三角求值問(wèn)題

對(duì)于解三角形場(chǎng)景下的三角求值問(wèn)題，抓住題設(shè)條件背景或轉(zhuǎn)化變形，基于相關(guān)三角形內(nèi)角的正弦、余弦乘積之間的關(guān)系式，巧妙利用積化和差公式來(lái)轉(zhuǎn)化與變形.

例1" （2022年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試卷）在△ABC中，S△ABC=c2（a－b），其外接圓半徑R=2，且4（sin2A－sin2B）=（3a－b）sin B，則sinA－B2+sinC2=.

解析：依題，由4（sin2A－sin2B）=（3a－b）sin B及正弦定理，可得4a24R2－b24R2=（3a－b）·b2R.又R=2，所以a2－b2=（3a－b）b，可得a=3b.

因?yàn)镾△ABC=c2（a－b），所以bcsin A=c（a－b），則sin A=a－bb=3b－bb=3－1.

由a=3b及正弦定理，可得sin A=3sin B，則sin B=sin A3=1－33.

由二倍角公式、積化和差與和差化積公式，可得sinA－B2+sinC22=sinA－B2+cosA+B22=sin2A－B2+cos2A+B2+2sinA－B2cosA+B2=1－12cos（A－B）+12cos（A+B）+sin A+sin（－B）=1+12［cos（A+B）－cos（A－B）］+sin A－sin B=1－sin Asin B+sin A－sin B=1－（3－1）×1－33+（3－1）－1－33=1.

又因?yàn)?＜A－B＜π，0＜C＜π，所以sinA－B2+sinC2=1.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于解三角形場(chǎng)景下的三角求值問(wèn)題，往往通過(guò)正弦定理或余弦定理化邊為角，并結(jié)合積化和差公式以及其他相應(yīng)的三角恒等變換公式來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.特別是在三角求值時(shí)，要充分挖掘題設(shè)三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征.

2 內(nèi)角確定問(wèn)題

對(duì)于解三角形場(chǎng)景下的內(nèi)角確定問(wèn)題，往往巧妙利用積化和差公式等及三角函數(shù)值的求解，結(jié)合三角形的條件來(lái)確定對(duì)應(yīng)內(nèi)角的大小.

例2" 〔2024年廣東省汕頭市高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（12月份）〕設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=bcos A－acos B，求證：B=2A.

證明：依題，由a=bcos A－acos B及正弦定理，得sin A=sin Bcos A－sin Acos B.

結(jié)合積化和差公式，可得sin A=12sin（B+A）+12sin（B－A）－12sin（A+B）－12sin（A－B）=12sin（B－A）－12sin（A－B）=sin（B－A）.

又△ABC為銳角三角形，可知A，B∈0，π2，所以B－A∈－π2，π2.

故A=B－A，即B=2A.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于解三角形場(chǎng)景下的內(nèi)角確定問(wèn)題，借助積化和差公式等，或結(jié)合三角函數(shù)值的求解來(lái)確定三角形對(duì)應(yīng)內(nèi)角的值；或結(jié)合三角方程之間的關(guān)系確定三角形對(duì)應(yīng)內(nèi)角之間的關(guān)系.

3 三角最值問(wèn)題

對(duì)于解三角形場(chǎng)景下的最值確定問(wèn)題，在積化和差公式等三角恒等變換公式的變形與應(yīng)用的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步綜合基本不等式、三角函數(shù)的有界性等合理放縮.

例3" 在△ABC中，若sin A=3cos Bcos C，求cos2B+cos2C的最大值.

解析：依題意，因?yàn)閟in A=3cos Bcos C，所以結(jié)合積化和差公式，可得23sin A=2cos Bcos C=cos（B+C）+cos（B－C），所以23sin A+cos A=cos（B－C）.

于是結(jié)合二倍角公式、和差化積公式，可得cos2B+cos2C=1+cos 2B+1+cos 2C2=1+12×（cos 2B+cos 2C）=1+cos（B+C）cos（B－C）=1－cos A·cos（B－C）=1－cos A23sin A+cos A=1－13sin 2A－1+cos 2A2=12－13sin 2A+12cos 2A=12－19+14sin（2A+φ）tan φ=32.

因?yàn)椋?36≤19+14sin（2A+φ）≤136，所以12－19+14sin（2A+φ）≤12+136=3+136，當(dāng)且僅當(dāng)sin（2A+φ）=－1時(shí)，等號(hào)成立.

所以cos2B+cos2C的最大值為3+136.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于解三角形場(chǎng)景下的三角最值問(wèn)題，可在巧妙利用積化和差公式等相關(guān)三角恒等變換公式的基礎(chǔ)上，結(jié)合三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征與性質(zhì)，合理借助基本不等式來(lái)放縮處理，或借助三角函數(shù)的有界性來(lái)確定最值等，而在這之前對(duì)三角關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，才是問(wèn)題突破的關(guān)鍵與重點(diǎn).

4 三角證明問(wèn)題

對(duì)于解三角形場(chǎng)景下的三角證明問(wèn)題，可利用積化和差公式等三角恒等變換公式的轉(zhuǎn)化，確定三角形中與之對(duì)應(yīng)的邊之間的關(guān)系，或內(nèi)角的大小與關(guān)系等，為進(jìn)一步三角證明與判斷奠定基礎(chǔ).

例4" 在△ABC中，若tanA+B2=62，tan A＼5tan B=137，證明：cos（A－B）=23.

證明：依題意，因?yàn)閠an Atan B=137，所以結(jié)合積化和差公式可以得到tan Atan B=sin Asin Bcos Acos B=－12［cos（A+B）－cos（A－B）］12［cos（A+B）+cos（A－B）］=137，于是整理可得cos（A－B）=－103cos（A+B）.

由tanA+B2=62，易得

cos（A+B）=1－tan 2A+B21+tan 2A+B2=1－6221+622=－15.

所以cos（A－B）=－103cos（A+B）=－103×－15=23.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于解三角形場(chǎng)景下的三角證明問(wèn)題，往往巧妙利用題設(shè)條件中的解三角形條件及對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式，借助積化和差公式等三角恒等變換公式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，合理變形與求解，得以確定對(duì)應(yīng)內(nèi)角的三角函數(shù)值，或?qū)?yīng)內(nèi)角的線性運(yùn)算的三角函數(shù)值，或其他相關(guān)的三角方程或關(guān)系式等的成立問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)三角問(wèn)題的證明與應(yīng)用.

在新教材中，積化和差公式散見于課本例題、練習(xí)和習(xí)題等，因此，在三角恒等變換的教學(xué)中要十分重視角的變換，從而認(rèn)識(shí)這些公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，把這些三角恒等公式編織成網(wǎng)絡(luò)，有助于我們更加深刻認(rèn)識(shí)和理解知識(shí)的內(nèi)涵.積化和差公式，不僅僅只用于三角函數(shù)的綜合問(wèn)題中，對(duì)于解三角形、函數(shù)與方程等相關(guān)問(wèn)題也有非常重要的作用，關(guān)鍵在于熟練掌握，靈活應(yīng)用，巧妙拓展.