合理代換，巧妙放縮

摘要：涉及多變量最值問題，應用場景眾多，問題難度較大，掌握一些基本的解題技巧與應對策略是解題的關鍵所在.結合實例應用，就多變量最值問題解決時的幾類常見應對策略加以剖析，總結歸納解題的技巧方法與基本策略，從而指導師生的數學教學與學習及解題研究.

關鍵詞：多變量；最值；消元；基本不等式；代換

含有多變量（往往是指雙變量及多于兩個的變量）的代數式最值（或取值范圍）問題，是不等式模塊中比較常見的一類題型，也是高考命題的熱點題型之一.此類綜合應用問題交匯融合度高，涉及變量眾多，條件復雜多變，難度通常較大，導致學生往往無從下手，給問題的分析與解決帶來比較大的困難.本文中就此類多變量最值問題的常見應用策略做進行探討，拋磚引玉，與同行交流.

1 代入消元

例1" （2024年安徽省皖南八校高考數學三模試卷）已知正實數a，b，c滿足a2－ab+4b2－c=0，當cab取最小值時，下列說法正確的是（" ）.

A.a=4b

B.c=4b2

C.a+b－c的最大值為34

D.a+b－c的最大值為38

解析：因為正實數a，b，c滿足a2－ab+4b2－c=0，所以a2+4b2=ab+c.

由基本不等式可得a2+4b2≥4ab，當且僅當a=2b時等號成立，則ab+c≥4ab，解得c≥3ab，故cab≥3，即cab的最小值為3，此時a=2b.

由此可知，選項A錯誤.

由c=3ab=3×2b2=6b2，可知選項B錯誤.

根據a+b－c=2b+b－6b2=－6b2+3b=－6b－142+38≤38，可知以a+b－c的最大值為38，故選項C錯誤，選項D正確.

故選答案：D.

點評：在確定對應多變量代數式取得最值的條件下，構建變量之間的線性關系，為進一步代入消元求解與之相關的代數式的最值（或取值范圍）創造條件.代入消元的目的是減少變量，可將問題轉化為單變量問題，進而結合函數與方程、不等式的基本性質等知識來分析與解決.

2 常量代換

例2" 〔2023—2024學年廣東省深圳市寶安中學高一（上）期中數學試卷〕已知實數x，y滿足x+y－xy=0，且xy＞0.若不等式4x+9y－t≥0恒成立，則實數t的最大值為（" ）.

A.9

B.12

C.16

D.25

解析：由xy＞0，x+y－xy=0，得1x+1y=1.

利用基本不等式，可以得到4x+9y=（4x+9y）＼51x+1y=13+9yx+4xy≥13+29yx×4xy=25，當且僅當9yx=4xy，即x=52，y=53時，等號成立.

因為不等式4x+9y－t≥0恒成立，所以可得（4x+9y）min≥t，則t≤25.故實數t的最大值為25.

點評：在多變量關系式中涉及關系式的和或積為常量時（特別是和式為常量），借助常量代換（常見的是常數“1”的代換），創造適合運用基本不等式的條件，實現代數式最值的順利求解.

3 因式分解

例3" （2024年安徽省馬鞍山市、滁州市高考數學二模試卷）若a，b，c均為正數，且滿足a2+3ab+3ac+9bc=18，則2a+3b+3c的最小值是（" ）.

A.6

B.46

C.62

D.63

解析：由a2+3ab+3ac+9bc=18，因式分解可得（a+3b）（a+3c）=18.

因為a，b，c均為正數，由基本不等式可得18=（a+3b）（a+3c）≤a+3b+a+3c22，解得2a+3b+3c≥62，當且僅當a+3b=a+3c，即a+3b=32，b=c時，取等號成立.

所以2a+3b+3c的最小值是62.

故選答案：C.

點評：在一些多變量最值問題中，抓住題設條件中的代數式結構特征，以及所求結果中的代數式形式，合理聯系，巧妙思維，借助因式分解的處理來鏈接二者之間的關系，為進一步利用基本不等式來放縮與求解創造條件.

4 換元變形

例4" （2024年天域全國名校聯盟高考數學第一次適應性試卷）已知實數a，b，c滿足a+b－2c=2（b－a）（c－a）－2，則|3a－b－2c|的最小值為（" ）.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：設b－a=x，c－a=y，則a+b－2c=a+a+x－2（a+y）=x－2y，2（b－a）（c－a）－2=2xy－2，于是x－2y=2xy－2，即x+2=2y（x+1），顯然x≠－1，則有2y=x+2x+1=1+1x+1.

所以|3a－b－2c|=|3a－a－x－2a－2y|=|x+2y|=x+1+1x+1=|x+1|+1|x+1|≥2|x+1|×1|x+1|=2，當且僅當|x+1|=1|x+1|，即x=0或x=－2時，等號成立.

進一步驗證：當x=0時，a=b=c－1，則|3a－b－2c|=2，符合題意；當x=－2時，y=0，則a=c=b+2，|3a－b－2c|=2，符合題意.

所以|3a－b－2c|的最小值為2.

點評：涉及多變量最值問題中的換元變形，常見的有單變換元、雙變換元、三角換元等形式.利用換元變形解決多變量最值問題時應特別注意代換變量之后，要合理統一變量后再處理，同時要注意驗證等號成立時的條件.

5 多次放縮

例5" 〔2023—2024學年湖北省黃岡市浠水一中高一（上）期中數學試卷〕已知a，b，c是正實數，且b+c=6，則ac2+2abc+4a+1的最小值為.

解析：易得ac2+2abc+4a+1=acb+2abc+4a+1=cb+2bca+4a+1.

利用基本不等式，得cb+2bc=cb+b+c62×2bc=cb+（b+c）23bc=4c3b+b3c+23≥24c3b×b3c+23=2，當且僅當4c3b=b3c，即b=2c時，等號成立.

所以，利用基本不等式可得到cb+2bca+4a+1≥2a+4a+1=2（a+1）+4a+1－2≥22（a+1）×4a+1－2=42－2，當且僅當2（a+1）=4a+1，即a=2－1時，等號成立.

所以ac2+2abc+4a+1的最小值為42－2.

點評：在利用基本不等式多次放縮求解多變量最值問題時，注意放縮過程中不等式的方向的正確判定，以及不等式的基本性質的應用.同時，在多次放縮過程中，一定要注意兩點.一是等號成立時所對應的參數值是否在定義域內；二是多次用“≥”或“≤”放縮，等號一定要保持同時成立.只有同時滿足以上兩點，所確定的多變量最值才是吻合題設條件的.

其實，對于涉及多變量最值問題的應對策略，其基本解題思維是把多變量逐一減少，轉換成雙變量，最后轉換成單變量，進而借助函數與方程、不等式的基本性質等來分析與處理關于這個單變量的函數或方程、不等式問題，利用相應的知識來分析與求解.而結合相關代數式的結構特征，合理選用比較合適的應對策略，可以在一定程度上優化多變量最值問題的解決，把握常規技巧方法，合理嘗試與調整，探尋解決問題的方向，形成完善的認知結構，有效提高數學思維的靈活性與創新性，形成并培養數學核心素養.