基于深度學習的初中數學課堂教學

一、教學內容與核心素養目標

（一）教學內容

“二次函數”是北師大版初中數學九年級下冊第二章的內容，與此前學習的一元二次方程、一次函數和反比例函數密切相關，也是高中學習函數、解析幾何和不等式的基礎。

（二）核心素養目標

1.數學眼光：培養學生在現實世界中觀察數量關系和空間形式的能力，以及對數學規律的敏銳觀察和感知能力；從生活現象導入學習二次函數，培養學生從生活中提取數學問題，完成建模的意識，引導其形成基礎的數感、量感和空間觀念，增強對數學模型的認知能力，逐步內化為觀察世界的思維習慣。

2.數學思維：在課堂活動中發展學生的邏輯推理能力。其重點在于幫助學生掌握根據已知條件進行嚴謹推理、系統分析的思維方式，使其面對數學問題時，能夠條分縷析，秉持科學、嚴謹的態度，進而培養高階思維，深刻理解數學概念，形成注重邏輯性的思維品質。

3.數學語言：鍛煉學生用數學語言精確表達現實問題的能力，課堂上組織符號運算、圖象分析等活動，引導學生運用數據、圖表等方式描述二次函數中的數量關系和空間特征，逐步形成用數學語言交流的習慣，發展學生的數學實踐能力。

二、教學重難點

教學重點：突出二次函數的結構特性與圖象特征，幫助學生掌握其圖象的開口方向、頂點和對稱軸等特征，理解其數量關系及在不同問題中的表現形式。

教學難點：培養學生的邏輯推理和數學建模能力，引導其從具體情境中提煉數學問題，運用二次函數知識構建數學模型，在解題過程中逐步提升推理能力。

三、教學準備

教具準備：準備多媒體設備、幾何畫板以及相關的學習資料，以便在課堂上展示二次函數的圖象和特性，借助可視化工具幫助學生直觀地理解函數的性質。

預習準備：要求學生自主預習二次函數的基本概念和性質，提前熟悉函數的定義、表達式及其在實際問題中的應用，為課堂深入探討二次函數的特性和實際應用做鋪墊。

四、教學過程

（一）引入情境，吸引數學目光

師：同學們，今天我們來思考一個問題。大家有沒有玩過投籃或者看過踢出去的足球的軌跡？你們覺得它們在空中的運動軌跡是怎樣的？

生：球的行動軌跡會形成一條弧線，看起來像課本里介紹的拋物線。

師：（展示一個拋物運動軌跡的圖象，圖象中顯示出清晰的拋物線形狀。）仔細觀察這個圖象，大家覺得這個弧線形的軌跡和我們之前學習的圖形有什么相似之處？

生：看起來像一條弧線，但應該不是圓弧，而是拋物線。

師：預習了的同學們肯定知道：拋物運動可以用數學函數來表示，而二次函數正是描述這種軌跡的數學表達式之一。我們以投籃和拋物運動為例，繼續觀察數學中的二次函數。現在我們來思考一個問題：當我們將物體投擲出去時，除了弧形的運動軌跡外，這個圖形還有什么樣的特征？

生：它是對稱的，左邊和右邊的形狀看起來一樣。

師：對！這是一個非常重要的發現。大家知道形狀的對稱性在數學上是如何表示的嗎？

生：可以用對稱軸表示。

師：沒錯。二次函數的圖象正是圍繞對稱軸左右對稱的。大家覺得觀察到對稱性和弧線形狀，能否幫助我們理解這個函數的圖象？

生：能。

（設計意圖：本環節借助投籃和拋物運動等生活中的實例引入二次函數，引導學生感知數學的應用情境，并建立對數學觀察的視角。教師鼓勵學生觀察生活現象，培養學生數學核心素養中的“數學眼光”，使學生對數學概念有更強的現實理解。）

（二）先行探究，建立直觀認識

師：（展示一次函數圖象）在開始二次函數的學習之前，我們先回顧一下之前學習的一次函數。一次函數的圖象是什么形狀？

生：一次函數的圖象是一條直線。

師：那么，大家覺得一次函數圖象有什么特性？比如，它的斜率或者方向和什么有關？

生：一次函數的斜率決定了圖象的方向。斜率為正時，圖象向上；斜率為負時，圖象向下。

師：二次函數的圖象是一條曲線。接下來，我們就來探索一下這種曲線的特性。請大家在幾何畫板上輸入不同的二次函數表達式，如y=x2，y=-x2+2x+3等，并觀察這些圖象的開口方向和特征。

（教師展示幾何畫板操作步驟，并逐步引導學生觀察圖象的開口方向和對稱性。）

師：大家看一下，二次函數的圖象是否像一次函數一樣，呈現出一條直線？

生：不是的。它是一條曲線。

師：很好。觀察一下這些曲線，當a的符號不同，即a是正數或負數時，圖象的開口方向是怎樣的？

生：當a為正時，圖象開口向上；當a為負時，圖象開口向下。

師：很好。我們還觀察到二次函數的圖象有對稱特性，這個特性是什么？

生：二次函數圖象關于一條豎直線對稱。

師：對！這條豎直線稱為對稱軸，它將二次函數的圖象一分為二，使圖象左右對稱。大家可以試著觀察，看看對稱軸的具體位置和二次函數表達式中的哪些參數有關系。

生：好像與c和a有關。

師：對，這就是我們下一步要探討的內容。請大家在幾何畫板中改變a和c的值，觀察對稱軸的位置如何變化，并將發現的規律記錄下來。

（設計意圖：本環節借助幾何畫板的動態演示，幫助學生直觀觀察和感受二次函數圖象的特性，了解圖象的開口方向和對稱性及其決定因素，進一步培養學生的幾何直觀能力和抽象思維，強化數學核心素養中“數學眼光”的培養。）

（三）深度推理，發展數學思維

師：二次函數的標準形式是y=ax2+bx+c（在黑板上呈現）。現在我們具體分析這個表達式中的各個參數，看看它們分別對圖象有什么樣的影響。大家覺得a、b和c分別可能會控制二次函數的哪些特征？

生：a決定了開口方向和圖象的寬度；b可能與對稱軸的位置有關，c影響圖象在y軸上的位置。

師：很好！接下來，我們來推導一下頂點和對稱軸的表達式。在推導過程中，大家會進一步理解二次函數圖象的具體結構。請大家認真看。

（教師展示配方法推導頂點和對稱軸公式的過程，詳解每個步驟并給出結果。）

師：我們推導得到了頂點的橫坐標x=-■，這條對稱軸將二次函數圖象左右分開，也就是我們剛才觀察到的圖象的對稱特性。大家有什么問題嗎？

生：沒有問題，明白了對稱軸公式的推導過程。

師：很好。那a的數值對圖象的開口有什么影響呢？接下來，請大家在幾何畫板中嘗試改變a的值，從a=1到a=3，觀察圖象是如何變化的。（學生在幾何畫板中操作，觀察圖象開口的變化。）

生：當a增大時，圖象的開口變窄；當a減小時，圖象的開口變寬。

師：對，a的大小確實決定了圖象開口的大小。大家是否還觀察到c的值對圖象的影響？

生：c的值影響圖象的上下位置，它可以決定圖象在y軸的截距。

師：沒錯，c項控制了圖象在y軸上的高度。通過a、b和c三個參數，我們可以基本控制二次函數圖象的形態。大家覺得這樣的控制方式有什么作用？

生：這樣可以根據實際需要來調整函數圖象的形狀，使它符合實際應用。

師：很好！這就是二次函數的一個重要應用。通過這些數學關系，我們可以在現實生活中運用二次函數模型解決各種問題。

（設計意圖：本環節采用配方法推導二次函數的頂點和對稱軸公式，引導學生在推導過程中理解二次函數解析式與圖象特性的關系；利用實際操作、動態展示和參數分析步驟，幫助學生掌握圖象的變化規律，培養邏輯推理和批判性思維能力，培養數學核心素養中的“數學思維”。）

（四）應用情境，構建模型意識

師：同學們，現在我們來看看拋物線軌跡的問題。假設你們在一次投籃比賽中，投出的籃球在空中形成了一條弧線。現在請思考：這種運動軌跡能用我們學過的二次函數來描述嗎？

生：可以，這個弧線就像我們學的二次函數圖象，是一種拋物線。

師：很好！那如果我給出一些條件，比如，球的最高點距離地面2米，籃球出手點到最高點的水平距離是3米，大家能用這些數據來建立一個二次函數模型嗎？

師：首先我們需要確定拋物線的頂點位置。根據題目條件，最高點就是頂點，坐標為（3，2）。設函數表達式為y=ax2+bx+c，那么，如何根據已知條件求出a、b、c的具體值？

生：可以將頂點坐標代入解析式來求出參數。

師：對。我們還需要其他兩個點的坐標來確定這些參數。在投籃開始時，球在地面位置，設這個位置的坐標為（0，0）。還有沒有其他可用的條件？

生：如果知道球到達籃筐的高度和位置，可以將其作為第三個點。

師：非常好！當我們擁有了三個點，就可以確定二次函數的表達式了。接下來，讓我們代入這些坐標來求解函數解析式，并畫出投籃軌跡的拋物線圖。

（設計意圖：提供與學生生活相關的投籃實例，引導學生利用實際問題構建二次函數模型，理解二次函數在日常生活中的應用。利用建立模型的過程培養學生的數學抽象能力、模型意識以及實際應用能力，符合數學核心素養中的“數學建模”與“應用意識”要求。）

（五）合作交流，提升表達能力

師：同學們，接下來大家根據自己的喜好分成小組，每組選擇一個生活中的二次函數應用場景，如拋物線軌跡、水柱噴射或建筑物弧形結構。請你們討論如何運用二次函數模型來描述這一現象，并用精確的數學語言和符號表達出來。

（教師分組并布置任務，每組領取不同的應用場景。學生開始討論，分析如何應用二次函數來構建場景中的數學模型。）

生：我們小組選擇了噴水池的水柱噴射軌跡。假設水柱噴射出的高度是頂點，我們設這個頂點的坐標為（3，4）。大家認為接下來該如何做？

生：可以將噴水點設為原點（0，0），然后代入公式y=ax2+bx+c。接著，利用頂點的坐標求出a、b和c的具體值。

生：把這些數據代入解析式，我們就可以得到模型，然后畫出圖象就能直觀展示這個過程。

（學生在幾何畫板上操作，代入不同參數，建立模型并繪制函數圖象，觀察結果。）

師：很好。每組都有了模型。接下來，我們展示和討論各自的模型和解題思路，特別注意在表達過程中運用數學符號，清晰表述每一個步驟及結果。

小組1展示：

生：我們小組選擇的例子是拱橋的形狀。設拱橋的最高點為頂點（5，8），橋底的跨度為10米，因此可以設定拱橋的另一端點為（0，0）。然后我們代入這些已知點，求出模型表達式為y=-0.32x2+3.2x。對稱軸在x=5處，拱橋圖象的開口向下，且左右對稱。

師：解釋得非常清楚，尤其是運用了對稱軸的特性，使模型更加準確。這樣的方法是否可以用于其他類似的場景呢？

生：可以。二次函數的對稱性和開口方向非常適合描述類似的弧形結構。

小組2展示：

生：我們組選擇的是噴泉水柱的噴射軌跡，設最高點坐標為（4，8），噴泉口位置為（0，0）。通過計算，得到二次函數的解析式為y=-0.5x2+4x。圖象顯示水柱的對稱軸位于x=4的位置。我們發現，這個模型不僅可以描述水柱的軌跡，還能用于其他拋物形的拋物線運動。

師：很棒的發現。通過觀察和實際建模，你們發現了二次函數在描述對稱運動方面的優勢，這是數學模型的一個重要特性。

（設計意圖：經過小組討論和展示，學生在協作中逐步提升數學表達能力，能夠運用數學語言和符號清晰表達思維過程，不斷提升表達技巧，鍛煉“數學表達”。）

（六）總結提升，內化數學素養

師：我們探討了二次函數的圖象特征及其實際應用，大家能不能總結一下二次函數在描述生活中的拋物線現象時的優勢？

生：可以更直觀地描述運動軌跡和弧形結構，描述物體的拋物運動。

師：很好！二次函數的對稱性、頂點和開口方向等特性，能讓我們清晰理解圖象的結構和變化。大家思考一下，如果遇到一個實際問題，需要構建一個數學模型時，通常應該怎么做？

生：首先觀察實際問題的特征，然后選擇適合的數學工具建立模型。

師：非常好！模型是數學與現實世界之間的橋梁，我們可以用數學模型的建立、求解和解釋，進一步將二次函數的知識與應用結合起來。希望大家在今后的學習和生活中，多多運用數學視角去觀察和分析問題！

（設計意圖：本環節引導學生梳理知識框架和解題思路，總結課堂內容，內化二次函數的知識結構，培養學生的數學素養。學生自我反思總結，可以在加深對數學工具的理解的同時，增強應用意識，實現深度學習。）

五、課堂小結

本節課圍繞二次函數的數學結構展開，以解析式y=ax2+bx+c的形式揭示其獨特的對稱性、開口方向以及頂點位置。剖析二次項系數a的符號和大小，探討其對圖象開口方向及弧線寬窄的控制，使學生初步掌握二次函數的基本特征：b影響對稱軸位置，使其左右平移；c則直接決定函數圖象在y軸的截距，從而影響圖象縱向的具體位置。改變每一項取值，可使二次函數圖象呈現出豐富的變化，而這些特性賦予二次函數描述現實拋物形軌跡的數學優勢。

六、課后作業

請結合實際生活中的情境，觀察并尋找其他具有二次函數關系的現象，分析其圖象特征及規律，嘗試探討這些現象是否符合二次函數的圖象特性，思考該現象的數學表達式，并分析不同參數對圖象形態的影響。請大家著重關注其對稱性、開口方向、弧線頂點等方面的特征，進一步加深對數學模型的理解，提升對現實世界數量關系的觀察力與分析力。

七、教學反思

本次教學結合實際情境引入二次函數，使學生逐步構建數學模型與思維框架，但部分環節仍顯不足。課堂節奏略顯緊湊，在推導與驗證解析式對圖象影響的環節，學生對系數與圖象變化間的關聯認知不夠，難以完全達到預期的理解深度。構建數學模型的過程中，學生需要通過多角度、多情境的反復操作來加深直觀理解，進而逐步過渡至抽象表達。但因時間限制，課上未能讓學生在各個環節進行充分的探索和思考。

未來的教學中需進一步分解二次函數的具體結構特征，使學生的每個步驟都有清晰的操作思路與知識鏈條。課堂討論部分需進一步注重引導，讓學生在互動中深入探索函數與現實情境的聯系，在模型構建與展示環節，可優化為小組合作與個人探究交替進行。這樣既有利于個體理解的推進，也能借助小組反饋增強學生的邏輯表述與推理能力。教學中對數學語言的引導可進一步優化，使學生的表達更加嚴謹，達到從直觀語言到符號語言的平穩過渡。在小組展示過程中，教師應重視數學符號的使用與邏輯的條理性表達，進而提升學生的數學表達能力。

編輯：常超波