聚焦模型嵌套 促進(jìn)思維生長(zhǎng)

摘要：在教學(xué)中注重知識(shí)的關(guān)聯(lián)，承前啟后，通過(guò)模型的鑲嵌和精心設(shè)置的開(kāi)放性問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)知識(shí)生長(zhǎng)，提高課堂效率，同時(shí)樹(shù)立建模的思想，提升思維的深度、廣度和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：模型嵌套；模型構(gòu)建；整合性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在教學(xué)建議中提出要以核心素養(yǎng)的達(dá)成為目標(biāo)促進(jìn)教學(xué)的實(shí)施.核心素養(yǎng)具有高度的整體性、一致性和發(fā)展性.核心素養(yǎng)主要包括“三會(huì)”：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界（抽象能力、幾何直觀、空間觀念），會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界（運(yùn)算能力、推理能力），會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界（數(shù)據(jù)觀念、模型觀念）.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施時(shí)要堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，充分關(guān)注核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的達(dá)成情況.近期筆者執(zhí)教了一節(jié)“正方形對(duì)角線性質(zhì)的應(yīng)用”復(fù)習(xí)課，通過(guò)探究正方形性質(zhì)的本質(zhì)，由淺入深構(gòu)建知識(shí)的整體關(guān)聯(lián)，現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)及思考整理成文，與讀者分享.

1 教學(xué)背景分析

1.1 學(xué)情分析

學(xué)生已掌握正方形邊、角、對(duì)角線的特殊性質(zhì)，本節(jié)課意在以正方形為背景，生長(zhǎng)知識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建模型，進(jìn)一步完善正方形性質(zhì)的延伸與拓展.

1.2 教學(xué)目標(biāo)

（1）感悟研究幾何圖形的內(nèi)容和方法，培養(yǎng)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

（2）通過(guò)精心設(shè)計(jì)的教學(xué)問(wèn)題，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，在探究中積累經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維去思考問(wèn)題，嘗試用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)問(wèn)題.

（3）回顧反思，體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯，完善結(jié)構(gòu)，生長(zhǎng)知識(shí)，構(gòu)建模型.

1.3 教學(xué)重、難點(diǎn)

探究正方形中數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建、并感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、化未知為已知、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 復(fù)習(xí)舊知，引入新課

在本節(jié)課中，執(zhí)教教師先復(fù)習(xí)和創(chuàng)設(shè)了如下兩個(gè)問(wèn)題情境：

問(wèn)題1 如圖1，兩對(duì)有相同垂足的線段（共垂足模型），你能得出圖形中的哪些數(shù)量關(guān)系？

問(wèn)題2 如圖2，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，你能得出哪些性質(zhì)？

①邊：四邊相等.

角：四個(gè)角都是直角.

對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

②△AOB，△BOC，△COD，△DOA都是等腰直角三角形且全等，S_△AOB=S_△BOC=S_△COD=S_△DOA=14S_{正方形ABCD}.

追問(wèn)：如圖3，如果將點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)P，你會(huì)得出什么結(jié)論？

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)追問(wèn)，發(fā)散思維，學(xué)生能夠得出△ADP≌△CDP，△ABP≌△CBP，AP=CP等結(jié)論.[KH-1]

變式 如圖4，你能求出AP與MN的數(shù)量關(guān)系嗎？

教學(xué)說(shuō)明：在學(xué)生熟知模型的基礎(chǔ)上，基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)量身設(shè)計(jì)的問(wèn)題順應(yīng)流程、符合邏輯.利用變式串聯(lián)思維，讓學(xué)生腦海中能夠自然而清晰地浮現(xiàn)出相關(guān)的解題方法，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的生長(zhǎng)，得出四邊形PMCN為矩形，而矩形的對(duì)角線相等，自然地引出輔助線，化未知為已知，學(xué)以致用.

2.2 提煉模型，生長(zhǎng)思維

（1）一對(duì)垂線，構(gòu)建模型

問(wèn)題3 如圖5，PE⊥PC，點(diǎn)E在線段AD上，你能求出PE與PC的數(shù)量關(guān)系嗎？

思路1：由前面的模型，學(xué)生自然想到連接AP，且AP=PC，如圖6，自然而然地把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求AP與PE的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求∠PAE與∠PEA之間的關(guān)系.

思路2：如圖7，過(guò)點(diǎn)P作MN分別與AD，BC垂直，垂足分別為N，M.易得△DNP，△BMP為等腰直角三角形，四邊形NMCD為矩形，可得△ENP≌△PMC（ASA），則PE=PC.

（2）兩對(duì)垂線，模型嵌套

思路3：學(xué)生很自然地進(jìn)行模型嵌套，由PN⊥AD于點(diǎn)N，PM⊥CD于點(diǎn)M，得出∠NPE=∠MPC，四邊形NPMD為正方形，可得△ENP≌△CMP，從而PE=PC.

由此得出基本嵌套模型，如圖8所示.

追問(wèn)2：點(diǎn)E還可以在哪里呢？你能得出PE=PC嗎？請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出圖形，自己嘗試.[KH-1]

教學(xué)說(shuō)明：點(diǎn)E還可以在線段AD的延長(zhǎng)線，能得出PE=PC，如圖9所示.

讓學(xué)生在熟知模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)分類(lèi)討論，提升思維的靈活性與深刻性.

2.3 釋疑點(diǎn)撥，拓展提升

問(wèn)題4 如圖10，已知正方形ABCD，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥PE，交于AD點(diǎn)E，以PE，PC為鄰邊作矩形PEGC，連接DG.

（1）求證：矩形PEGC為正方形.

（2）①DP與DG有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

②DP+DG與BD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)前面的模型構(gòu)建，學(xué)生在看到題目后，立馬可得出PE=PC，所以矩形PEGC為正方形得證.由點(diǎn)C處的雙垂直模型，可得得出∠BCP=∠DCG，于是△BCP≌△DCG（SAS），則∠CBP=∠CDG=45°，BP=DG.所以DP⊥DG，DP+DG=DP+BP=BD.

追問(wèn)3：點(diǎn)E只能在線段AD上嗎？點(diǎn)E還可以在哪里？你還能得出上面的結(jié)論嗎？

教學(xué)說(shuō)明：點(diǎn)E還可以在AD的延長(zhǎng)線上，通過(guò)前面的模型構(gòu)建，學(xué)生在看到題目后，立馬反應(yīng)出前面證明PE=PC的方法已不適用，所以選擇熟悉的輔助線，連接PA，如圖11，從而PA=PC，則可轉(zhuǎn)化為證PE=PA，即轉(zhuǎn)化為求兩底角∠PAE與∠PEA之間的關(guān)系.所以矩形PEGC為正方形得證.根據(jù)問(wèn)題4的證明過(guò)程，學(xué)生能快速地遷移思路，解決問(wèn)題.

2.4 思維導(dǎo)圖，回顧反思

問(wèn)題5 同學(xué)們，通過(guò)今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會(huì)？你能?chē)L試畫(huà)出思維導(dǎo)圖嗎？

筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起畫(huà)出思維導(dǎo)圖，如圖12所示.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)收獲和體會(huì)，積極引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課的脈絡(luò)，形成思維導(dǎo)圖，理解知識(shí)通常都是化未知為已知，從低層次到高層次生長(zhǎng).培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察題目，用數(shù)學(xué)的思維去思考問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)問(wèn)題.

3 教學(xué)反思

3.1 以知識(shí)為核心，實(shí)現(xiàn)思維的生長(zhǎng)

本節(jié)課旨在通過(guò)正方形對(duì)角線上的一點(diǎn)畫(huà)一對(duì)垂線，引領(lǐng)學(xué)生在復(fù)習(xí)正方形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，鞏固其基本知識(shí).然后通過(guò)改變垂足的位置、增加垂線，幫助學(xué)生熟知模型，積累方法，形成經(jīng)驗(yàn)性的總結(jié)，提高課堂效率.在此過(guò)程中，留足時(shí)間讓學(xué)生思考，引領(lǐng)學(xué)生思維層層遞進(jìn)，視野逐步拓展，促進(jìn)思維生長(zhǎng).培養(yǎng)學(xué)生抽象能力，幾何直觀、模型觀念等核心素養(yǎng).最后通過(guò)知識(shí)的整合與串聯(lián)、歸納，梳理和總結(jié)，完善學(xué)生思維體系，促進(jìn)知識(shí)的再生長(zhǎng)，讓學(xué)生會(huì)思考、會(huì)解題.

3.2 以探究為方法，注重知識(shí)的整合

數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，實(shí)質(zhì)是一種提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維活動(dòng).在教學(xué)設(shè)計(jì)中，從數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)在合理的時(shí)間點(diǎn)提出有意義、恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展核心素養(yǎng).以問(wèn)題引領(lǐng)課堂，喚醒學(xué)生化未知為已知的探究欲望，本節(jié)課從正方形對(duì)角線上的一點(diǎn)出發(fā)，開(kāi)始用一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，不斷添加條件，化未知為已知，形成經(jīng)驗(yàn)性的總結(jié)，豐富模型，激發(fā)學(xué)生探究的興趣.讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

3.3 以模型為載體，落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

以模型為載體，有利于探索各個(gè)知識(shí)點(diǎn)、各個(gè)環(huán)節(jié)之間的相互聯(lián)系，尋找解題的突破口，從而獲得最優(yōu)解題方案，落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).基于共垂足和正方形模型，促使學(xué)生從認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，充分體會(huì)模型構(gòu)建的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想整合的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生看待問(wèn)題的眼光和思考問(wèn)題能力，以及數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀和邏輯推理能力.

建立一種在小范圍內(nèi)實(shí)用的“模型思維”.對(duì)于一些圖形復(fù)雜、難度較大或綜合程度較高的題目，建立模型，模型嵌合顯得尤為重要.從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，這符合促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.這種課堂對(duì)我們老師也提出了更高的要求，需要我們不斷去探索.