從中考試題看初中生幾何直觀素養的培養

摘要：中考試題中的幾何直觀能力分析是改進教學的重要基礎.文章從圖形觀察、圖形性質、圖形坐標、圖形變化、圖形建立五類試題分析幾何直觀能力考查的特點.

關鍵詞：中考試題；幾何直觀

幾何直觀是初中數學九大核心素養之一.本文中結合中考試題，分析圖形觀察、圖形性質、圖形坐標、圖形變化、圖形建立五類試題對幾何直觀能力的考查特點.

1 圖形觀察類

（2024年江蘇省常州市中考第4題）下列圖形中，為四棱錐的側面展開圖的是（ ）.

解：四棱錐的側面展開圖是四個三角形，故選項B正確.

試題分析：本題考查幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的側面展開圖和側面的特征是關鍵.這道題通過考查學生的幾何直觀能力，評估其在空間想象和圖形轉換方面的能力.具體來說，該題目要求學生首先具備對四棱錐形態的理解，能夠在腦海中準確地重構四棱錐的幾何形狀，并將其展開為平面圖形.學生要會通過圖形觀察，識別四棱錐的基本結構特征，如頂點、棱、側面，以及這些元素在展開圖中的排列方式.考查路徑主要包括對立體幾何圖形的認知和將其轉換為平面圖形的能力，以及對多種可能展開圖的分析和排除法應用.考查特點則體現為要求學生對圖形的直觀感知、空間想象與推理進行整合，能夠在觀察圖形時迅速排除不符合要求的選項，最終選擇出符合四棱錐特點的展開圖.這道題有效地考查了學生對幾何基礎知識的理解和運用能力，特別是在實際問題中運用幾何直觀解題的能力.

2 圖形性質類

試題分析：本題通過考查對圖形性質的理解，進一步評估學生的幾何直觀能力，特別是對圖形關系的感知和推理能力.題目給出了一個含有等腰三角形和四邊形的幾何情境，要求學生理解多邊形各邊的關系，以及平行線和等邊條件對圖形構造的影響.學生首先需要直觀地識別題目中AB=AC這一等腰三角形的特征，然后理解BF平行于AC如何影響四邊形EBFC的形態和性質.本題要求學生通過觀察和邏輯推理，直觀地判斷四邊形的形狀是否具備某種對稱性或特殊結構，并利用圖形的對稱性或等量關系來推測其面積.考查路徑主要集中在通過圖形的視覺特征來捕捉關鍵幾何關系，例如識別平行和相等的線段，判斷四邊形內部的結構特性，最終利用這些關系進行面積的推斷.考查特點則強調學生在面對復雜圖形時的幾何直觀能力，要求其能夠迅速從圖形中提取有用信息，并將這些信息用于推理.這道題通過對圖形性質的考查，綜合評估了學生在幾何學習中的理解深度及運用幾何直觀解題的能力.

3 圖形坐標類

試題分析：首先，通過分析題目所給的交點M和N的坐標，要求學生能夠直觀判斷出反比例函數和一次函數的圖象形態及位置關系.這需要學生具備一定的幾何直觀能力，能夠在心中構建起圖形的輪廓，并據此推測出函數的表達形式.此外，題目還要求計算△OMN的面積，這考查了在坐標系中利用幾何圖形的面積公式或幾何方法的直觀推理能力.在無須具體計算的情況下，學生應能夠直觀判斷三角形的形狀及其與坐標軸的關系，從而得出面積的計算方法.最具挑戰性的部分是關于點P的移動及其與固定點M，N之間距離和的最小值問題，要求學生通過直觀想象來理解點P在y軸上移動時與M，N兩點之間的距離變化規律.為了確定PM+PN的最小值，學生必須能夠想象出點P在移動時與其他幾何元素（如點M，N）之間的相互關系.這涉及到對幾何圖形的動態理解和直觀判斷，如利用對稱性推斷出最優解的位置.

4 圖形變化類

試題分析：該題描述了一個具有美學意義的黃金矩形，通過沿對角線翻折，使得點B與點B′重合，進一步要求學生計算sin∠DAE的值.在解題時，學生首先需要對黃金矩形有基本的認知，并能準確構建出矩形的各個要素和翻折后的幾何關系.這種圖形的翻折操作需要較強的空間想象能力，需要學生能夠在對原有圖形理解的基礎上，正確定位關鍵點B′與點E的關系，尤其是理解翻折前后各點和線段的相對位置變化.這要求學生對幾何圖形的運動有高度的直觀把握，并能直觀推斷出角度關系.隨著翻折的進行，點B′的移動及其與其他線段的交點E的形成，學生必須能夠在翻折后的新圖形中快速辨認出關鍵的幾何關系，尤其是確定∠DAE.

進一步，題目要求計算sin∠DAE的值，這不僅考查了學生對三角函數基本概念的掌握，還要求他們將這種數學工具應用于翻折后的復雜幾何情境中.這意味著學生需要具備在動態圖形中進行直觀判斷的能力，并能夠將這種判斷轉化為對具體數學關系的理解.這要求學生在心中準確而快速地想象出圖形的變換，進而識別和利用幾何圖形中的對稱性、相似性或其他特殊性質，以簡化問題并得出答案.

5 圖形建立類

試題分析：首先，考題通過設定一個凸五邊形ABCDE，并給出了一系列邊長和角度的關系，要求考生在腦海中建立并想象這個幾何圖形的具體形狀和相應的角度關系.考生需要能夠直觀地將這些關系轉換成圖形上的特征，比如相等的邊長和角度意味著哪些邊和角度對稱，如何利用這些信息判斷線段之間的垂直關系.其次，題目要求判斷哪一個選項不能得出AF與CD垂直的結論，考生需要對各個選項中的角度關系進行分析，并結合圖形的整體結構來判斷這些角度關系是否能夠導致垂直的結論.這要求考生不僅需要理解基本的幾何概念，還要具備較強的推理能力和空間想象力，能夠從圖形的局部關系推導出整體的結論.例如，選項A和選項B都涉及到兩個三角形（△ABC和△AED）中的角度相等，考生需要能夠識別并理解這些角度相等意味著兩條線段（AB和AE）與其他線段的幾何關系.選項C涉及到△BCF和△EDF中的角度關系，考生需要能夠在腦海中想象并理解這些角度相等對于線段CD的中點F的影響.而選項D則要求考生識別出△ABD和△AEC中的角度關系，并推斷出這些角度關系是否能夠影響線段AF與CD的垂直性.

綜合來看，這道題目通過復雜的圖形結構和多角度的條件設置，考查考生的圖形識別、空間想象和邏輯推理能力，需要學生依靠對幾何圖形的直觀理解和空間想象來得出正確的結論，從而全面考查其幾何直觀能力.

為了加強幾何直觀能力的培養，教師還可以開展實踐性項目和活動，讓學生在實際操作中應用幾何知識.例如，組織學生開展幾何設計項目，如設計一個簡單的花園布局或構建一個小型模型，這些活動要求學生將幾何知識轉化為實際的圖形設計.在項目實施過程中，教師可以鼓勵學生使用幾何工具，如尺子、量角器和計算機繪圖軟件，幫助他們進行精確的圖形繪制和分析.通過這種動手實踐，學生不僅能體驗到幾何知識的實際應用，還能在解決實際問題的過程中提高幾何直觀能力.