《刻舟求劍》中的運動學及動力學分析

摘"要：點的合成運動是“理論力學”中一個重要知識點，它主要是分析點的相對運動、牽連運動和絕對運動以及三者之間的關系，而牽連運動的確定，特別是牽連點的選取是該部分內容的難點。文章以寓言《刻舟求劍》中的運動分析為例，闡述牽連點的選擇方法以及三種運動的關系?？讨矍髣κ俏覈糯c的合成運動思想的萌芽，其中“刻”的動作，就是確定牽連點的過程。首先，文章分析了刻舟求劍沒有撈到寶劍的運動學原因，發現是楚國人只考慮了牽連運動，而忽略了相對運動。其次，結合點的運動學、質點的動力學兩個方面理論，推導出寶劍的絕對運動軌跡和相對運動軌跡，計算了小船靠岸后和寶劍的相對水平位移，據此可以打撈到寶劍。

關鍵詞：點的合成運動；牽連點的運動；質點動力學；絕對運動；相對運動

文獻標識碼：A

Abstract：The"composite"motion"of"points"is"an"important"knowledge"point"in"the"theoretical"mechanics"course，which"mainly"analyzes"the"relative"motion，transport"motion，and"absolute"motion"of"points，as"well"as"their"relationships.The"determination"of"transport"motion，especially"the"selection"of"transport"point，is"the"difficulty"of"this"section.The"movement"analysis"in"the"fable"\"carve"the"boat"and"seek"the"sword\""is"investigated"to"explain"the"selection"method"of"the"transform"point"and"the"determination"of"the"relationship"between"these"three"movements.From"the"point"of"the"motion"composition"for"moving"point，the"action"of"carving"in"the"fable"named"\"carve"the"boat"and"seek"the"sword\""is"to"find"a"kinematics"of"transport"point.The"sign"carved"on"the"boat"is"the"kinematics"of"transport"pointnbsp;on"the"moving"system，which"is"set"on"the"small"boat.It"is"found"out"that"the"reason"why"the"people"cannot"find"the"sword"is"that"he"ignored"the"relative"movement"in"the"motion"composition"for"moving"point.By"combining"the"knowledge"of"the"kinematics"and"dynamics"of"the"particle，the"absolute"and"relative"path"of"the"sword"are"deduced.Basing"on"the"evaluated"relative"horizontal"displacement"of"the"boat"and"sword，the"sword"can"be"salvaged"when"the"boat"arrives"at"the"beach.

Keywords：motion"composition"for"moving"point；kinematics"of"transport"point；dynamics"of"a"point；absolute"motion；relative"motion

1"概述

“理論力學”在進行點的運動分解與合成時，一般應先確定一個動點，選擇定參考系和動參考系兩個參考系，再分析絕對運動、相對運動、牽連運動三種運動［1］。由于動參考系的運動是剛體的運動而不是點的運動，因此描述動系上點的速度和加速度時，我們選取動參考系上與動點重合的點，也稱為牽連點，來描述該點的速度和加速度，這就是牽連速度和牽連加速度［2］。牽連點的選擇以及牽連速度和牽連加速度的判斷一直是“理論力學”課程教學中的重難點［3］。下面以寓言故事《刻舟求劍》中的運動分析，闡述牽連點的選擇方法以及三種運動關系的判斷。

《刻舟求劍》出自《呂氏春秋·察今》，故事說的是戰國時期有個楚國人坐船渡江，船到江心，他隨身攜帶的寶劍掉落江中，他馬上掏出小刀在船舷上刻下一個記號。船靠岸后，楚國人從船上刻記號的地方下水，想去撈取掉落的寶劍，可撈了半天，也不見寶劍的影子。

《刻舟求劍》雖然是一個寓言故事，卻引出了運動學中的一個重要概念，即牽連點［4］。我們在講授點的合成運動時，告訴大家要注意尋找牽連點，也經常強調“刻”這個動作，即在動系上與動點的重合點處刻一個記號，是為牽連點［5］。如果以寶劍為動點，動系與小船固結，楚國人在小船上刻的這個記號就是牽連點，《刻舟求劍》中運用了點的合成運動分析思想。

這位楚國人之所以沒有通過刻舟找回寶劍，一方面，牽連點隨著動點和動系的運動在不斷地改變［6］。小船上的記號只是初始時刻的牽連點，隨著寶劍的運動，牽連點是在發生變化的。另一方面，在點的合成運動分析中，他考慮了寶劍和小船在鉛垂方向的相對運動，但他忽略了兩者在水平方向的相對運動，這就是他無論怎樣也尋找不到寶劍的原因。

本文將運用點的合成運動理論以及質點的動力學知識，來計算寶劍的運動軌跡，給出打撈寶劍的具體方案。

2"寶劍的運動學分析

如圖1（a）所示，設小船以勻速度v船從江的西岸往東岸行駛，假定江中水流靜止，船行駛到江心，寶劍從船頭落水。將寶劍視為動點，動坐標系O′x′y′固定在小船上，定坐標系Oxy固定在江心。

如圖2（a）所示，寶劍相對于大地的運動為絕對運動，矢徑為ra。寶劍相對于小船的運動為相對運動，矢徑為rr。小船相對于大地的運動為牽連運動，牽連點的矢徑為re。

由于牽連運動為船的平移，從而有牽連速度ve=v船，沿水平方向。考慮到寶劍入水后其受重力和水的阻力作用，寶劍相對于動系的速度即相對速度vr沿船的后下方向，見圖2（b）所示。根據點的速度合成定理，寶劍在某瞬時的絕對速度為：

3"寶劍的動力學分析

假設寶劍由銅質材料打造而成，銅的密度為ρ銅，寶劍的質量為m，則寶劍的體積V=m/ρ銅。寶劍落水后，受到重力G、水的浮力F、水的阻力R作用，如圖3所示。

假設水的阻力與寶劍運動速度的一次方成正比［7］，即R=cv，其中c為阻力系數，v為寶劍相對于水的速度，由于水流靜止，這里的v也就是寶劍的絕對速度。根據質點的運動微分方程有：

maax=-Rx=-cvax（2）

maay=G-F-Ry=mg-ρ水gV-cvay（3）

其中g為重力加速度，ρ水為水的密度。

因此，寶劍的絕對加速度：

aax=dvaxdt=-cvax/m（4）

aay=dvaydt=g（1-ρ水/ρ銅）-cvay/m（5）

經過對式（4）、式（5）的積分，可以得出寶劍的絕對速度：

vax=dxadt=C1e-ct/m（6）

vay=dyadt=C2e-ct/m+mg（1-ρ水/ρ銅）c（7）

式中C1、C2為待定常數。根據寶劍剛落水（t=0）時，vax=v船，vay=0，從而可以計算出：

C1=v船（8）

C2=-mg（1-ρ水/ρ銅）c（9）

如果江水無限深，當時間趨近于無窮大時，從式（6）可以看出，vax趨近于0，即沒有水平方向的速度；從式（7）可以看出，vay趨近于mg（1-ρ水/ρ銅）c這一恒定速度，也稱為極限速度。實際上，江水只有有限深度，則最終寶劍以vax不等于0的速度、vay小于極限速度撞向江底而停止運動。

注意到初始時刻xa=0，ya=0。對絕對速度式（6）和式（7）進行積分，便可得出寶劍運動的絕對軌跡：

xa=∫t0vaxdt=-v船mce-ct/m+v船mc（10）

ya=∫t0vaydt

=m2g（1-ρ水/ρ銅）c2e-ct/m+mg（1-ρ水/ρ銅）ct-m2g（1-ρ水/ρ銅）c2（11）

我們關心的是怎樣才能找到寶劍，最希望知道的是寶劍的水平位移。假設寶劍從開始落水到沉入水底所用的時間為t1，小船從寶劍落水到靠岸所用的時間為t2，通常情況下t2＞t1。在寶劍未落地之前，也就是t≤t1時，寶劍相對小船的位移：

xr=xa-v船t=-v船mce-ct/m+v船mc-v船t（t≤t1）（12）

寶劍落地之后小船靠岸之前，也就是在t1＜t≤t2時段，寶劍不動，小船勻速行駛，此時段內寶劍相對小船的位移：

xr=-v船mce-ct1/m+v船mc-v船t（t1＜t≤t2）（13）

圖4給出了寶劍的絕對水平位移、相對水平位移隨時間的變化圖，其中，t1是寶劍從落水到沉底的時間，xa是寶劍從落水到沉底的絕對水平位移，xr1是寶劍沉底時小船和寶劍的相對水平位移，xr2是小船靠岸時和寶劍的相對水平位移。

我們可以根據相對水平位移xr2，也就是從小船靠岸后和寶劍的相對位置處，見圖1（b），下水可以打撈到寶劍。

4"算例

本節將選取具體的數據來計算寶劍的落點。設小船的速度v船=4m/s，寶劍的質量m=0.5kg，水的阻力系數c=08，其他參數g=9.8m/s2，ρ銅=8000kg/m3，ρ水=1kg/m3。江面寬100m，江心最深處為20m，江底形狀如圖1（b）所示，其形狀描述函數為：

ya=（400-0.16x2a）0.5（14）

其中xa、ya的單位均為m。

根據式（8）、式（9），可以解得C1=4，C2=-6.124，回代入式（6）、式（7）中可得：

vax=4e-1.6t（15）

vay=-6.1242e-1.6t+6.1242（16）

對絕對速度進行積分，便可得出寶劍的絕對運動軌跡：

xa=-2.5e-1.6t+2.5（17）

ya=3.8276e-1.6t+6.1242t-3.8276（18）

從式（17）可以看出，在本文的參數設置下，寶劍在x方向的極端位移為2.5m。

通過式（17）、式（18），消去參數t，可以得出寶劍在江中的絕對運動軌跡為：

ya=-1.531xa-3.8276ln（1-0.4xa）（19）

假設寶劍從江心xa=0m處開始掉落，其落至江底的位置可根據江底的形狀描述函數式（14）以及寶劍在江中的絕對運動軌跡函數式（19）聯立求解獲得，即尋找如下方程的根：

（400-0.16x2a）0.5+1.531xa+3.8275ln（1-0.4xa）=0（20）

采用牛頓迭代法等計算方法［8］，可以求得該方程的一個根為xa=2.495（這里保留3位有效數字），則寶劍的落點坐標為（2.495，19.975）?；卮绞剑?7），可以計算出寶劍的落地時間為t1=3.886s。

因此，當小船靠岸后，即位于（50，0）處時，為尋得寶劍，需要將小船往回劃，可得：

xr2=50-2.495=47.505m（21）

從該處下水可以撈到寶劍。

5"結論

本文以《刻舟求劍》寓言故事為例，闡述點的合成運動中牽連點的選取以及三大運動關系判斷。采用點的合成運動理論，以寶劍為動點，動系與小船固結，定系固定在江心，分析了故事中劍的運動規律。發現楚國人在船上所刻的點就是運動學中的牽連點，楚國人刻舟沒有求到劍的原因是，在三大運動中他忽略了相對運動。接著利用點的合成運動理論分析了寶劍下落的運動狀態，結合質點的動力學知識，計算出了寶劍的運動軌跡，最終確定出了寶劍的落點位置。

參考文獻：

［1］孫毅，陳立群.運動學中點的合成運動分析方法［J］.力學與實踐，2023，45（4）：881885.

［2］王沿朝，謝惠祥，郭劍峰，等.淺析“理論力學”中的牽連速度與牽連加速度［J］.教育教學論壇，2023（4）：7376.

［3］劉小妹，梁擁成.淺析理論力學中牽連運動的牽連速度［J］.教育教學論壇，2018（36）：201202.

［4］楊雁南，胡冬生，蘭秀風.從一道運動學題目的求解談坐標系選取的重要性［J］.物理與工程，2007，17（4）：910.

［5］哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學（Ⅰ）［M］.8版.北京：高等教育出版社，2016.

［6］高宗戰，劉偉，高行山，等.動點的牽連運動分析與運動合成定理推證［J］.力學與實踐，2022，44（1）：159162.

［7］周道祥.說雨［J］.力學與實踐，2003（2）：7879+73.

［8］王能超.計算方法——算法設計及其MATLAB實現［M］.2版.武漢：華中科技大學出版社，2019.

基金項目：安徽省省級教學研究項目（2022jyxm1241）；安徽省一流線上課程（2021xskc079、2022xssfkc004、2022qyw/sysfkc004）

作者簡介：程長征（1979—"），男，漢族，安徽太湖人，博士，教授，研究方向為力學教學。