基于整車模型的動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)穩(wěn)健性優(yōu)化

摘要：針對(duì)純電動(dòng)汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)（powertrain mounting system， PMS）參數(shù)同時(shí)具有不確定性和相關(guān)性的復(fù)雜情形，基于整車13自由度（degree of freedom， DOF）模型開展純電動(dòng)汽車PMS穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)研究. 首先，基于蒙特卡洛抽樣和相關(guān)性變換方法提出一種概率參數(shù)相關(guān)情形下PMS 固有特性響應(yīng)不確定性和相關(guān)性分析的UTI-蒙特卡洛（UTI-MonteCarlo， UMC）法；然后，結(jié)合相關(guān)性變換方法和任意多項(xiàng)式混沌展開，推導(dǎo)一種高效求解PMS響應(yīng)不確定性和相關(guān)性分析的UTI-任意多項(xiàng)式混沌展開（UTI-arbitrary polynomial chaosexpansion， UAPCE）法；接著，基于UAPCE法和相關(guān)系數(shù)賦權(quán)法，提出一種考慮響應(yīng)不確定性和相關(guān)性的PMS穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；最后，通過算例驗(yàn)證提出方法的有效性，并對(duì)比了基于傳統(tǒng)6 DOF模型和整車13 DOF模型的分析和優(yōu)化結(jié)果. 結(jié)果表明，基于整車13 DOF模型得到的計(jì)算結(jié)果能更好地反映整車環(huán)境下PMS的振動(dòng)特性；以UMC方法為參考，UAPCE法在求解PMS固有特性響應(yīng)的不確定性和相關(guān)性方面具有良好的計(jì)算精度和效率；提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法能夠合理配置系統(tǒng)參數(shù)，提高系統(tǒng)穩(wěn)健性.

關(guān)鍵詞：電動(dòng)汽車；動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)；整車13自由度模型；參數(shù)不確定性和相關(guān)性；固有特性；穩(wěn)健性優(yōu)化

中圖分類號(hào)：U463.51 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)（powertrain mounting system，PMS）是影響車輛振動(dòng)性能的重要系統(tǒng)，具有支承、限位和隔振等功能［1］. 純電動(dòng)汽車和傳統(tǒng)燃油汽車的振動(dòng)噪聲問題存在較大差異. 一方面，純電動(dòng)汽車動(dòng)力總成質(zhì)量小于傳統(tǒng)燃油汽車，在相同激勵(lì)下純電動(dòng)汽車動(dòng)力總成的振動(dòng)更加顯著［2］. 另一方面，由于缺少發(fā)動(dòng)機(jī)“掩蔽效應(yīng)”，純電動(dòng)汽車出現(xiàn)了新的噪聲振動(dòng)問題（例如電磁噪聲和齒輪嘯叫）. 此外，純電動(dòng)汽車參數(shù)存在不確定性［3-4］，也會(huì)對(duì)整車振動(dòng)性能造成影響. 因此，對(duì)PMS進(jìn)行不確定性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，有助于改善純電動(dòng)汽車振動(dòng)性能，對(duì)提高純電動(dòng)汽車駕乘舒適性有重要意義.

近年來，針對(duì)PMS固有特性開展的不確定性研究已經(jīng)很成熟. 劉春梅等［5］考慮了懸置剛度的制造誤差等不確定因素，提出了一種PMS的可靠設(shè)計(jì)流程. 吳杰等［6］將懸置剛度分別處理為均勻分布和正態(tài)分布變量，提出了系統(tǒng)固有特性可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法. 謝展等［7］將懸置剛度處理為區(qū)間不確定參數(shù)，將穩(wěn)健設(shè)計(jì)與多目標(biāo)優(yōu)化相結(jié)合，提出了一種PMS穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.Cai等［8］和Lü等［9］將懸置系統(tǒng)中具有足夠樣本信息的參數(shù)處理為隨機(jī)變量，樣本數(shù)據(jù)有限的參數(shù)處理為區(qū)間變量，分別提出了復(fù)雜情形下PMS固有特性響應(yīng)的不確定性分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)方法. 呂輝等［10］引入多維平行六面體模型處理PMS參數(shù)相關(guān)性和獨(dú)立性并存情形，結(jié)合蒙特卡洛法和攝動(dòng)法提出了一種非概率不確定情形下PMS響應(yīng)的不確定性分析方法.

上述研究工作均基于6自由度（degree of freedom，DOF）模型進(jìn)行PMS不確定性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì). 基于傳統(tǒng)6 DOF模型的PMS不確定性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)已經(jīng)取得較多成果. 但是，PMS作為整車不確定環(huán)境中隔離振動(dòng)的彈性系統(tǒng)，其固有特性響應(yīng)受到多個(gè)系統(tǒng)部件共同影響. 傳統(tǒng)6 DOF模型將PMS從整車環(huán)境中分離出來，假設(shè)其支承于剛性基礎(chǔ)，忽略車身質(zhì)量、懸架剛度、輪胎剛度等因素及其不確定性對(duì)PMS固有特性響應(yīng)的影響，不能準(zhǔn)確地反映動(dòng)力總成在整車不確定環(huán)境下的振動(dòng)特性，使得不確定性分析結(jié)果和優(yōu)化模型缺乏一定真實(shí)性. 此外，目前基于概率模型處理PMS不確定參數(shù)相關(guān)性時(shí)，往往涉及二維積分或非線性方程組等復(fù)雜計(jì)算，極大地增加了分析計(jì)算成本.

本文建立純電動(dòng)汽車整車13 DOF模型，分別采用隨機(jī)模型和相關(guān)系數(shù)描述系統(tǒng)參數(shù)的不確定性和相關(guān)性，在同時(shí)考慮PMS、車身、懸架和車輪等影響因素的基礎(chǔ)上，開展純電動(dòng)汽車PMS固有特性響應(yīng)的穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，以期為純電動(dòng)汽車PMS優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)和參考.

1 整車模型參數(shù)的不確定性和相關(guān)性

1.1 整車模型

對(duì)純電動(dòng)汽車PMS固有特性進(jìn)行分析時(shí)，將車身、電驅(qū)動(dòng)總成以及非簧載質(zhì)量視為剛體，懸置簡(jiǎn)化為具有三向剛度的彈性元件，懸架和車輪簡(jiǎn)化為僅具有豎直方向剛度的彈簧［11］. 建立整車坐標(biāo)系Go-XoYoZo，并分別于各自質(zhì)心位置建立電驅(qū)動(dòng)總成坐標(biāo)系Gpo-XpoYpoZpo、車身坐標(biāo)系Gbo-XboYboZbo、非簧載質(zhì)量坐標(biāo)系Gui-XuiYuiZui（i=1，2，3）. 其中，Xo軸、Xpo軸、Xbo軸和Xui軸方向與汽車前進(jìn)方向相反；Zo軸、Zpo軸、Zbo軸和Zui軸方向垂直指向上方；Yo軸、Ypo軸、Ybo軸和Yui 軸方向根據(jù)右手定則確定. 某純電動(dòng)汽車整車13DOF動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示. 模型13個(gè)自由度分別為PMS 6個(gè)方向自由度、車身3個(gè)方向自由度（側(cè)傾、俯仰和豎直方向）和4個(gè)非簧載質(zhì)量豎直方向自由度.

由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可得整車自由振動(dòng)的特征方程為：

（M-1 K - ω2iI ）? i = 0 （1）

式中：M 為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；K 為系統(tǒng)剛度矩陣；ωi 為第i 階固有頻率對(duì)應(yīng)的圓頻率；? i 為第i 階振型；I 為單位矩陣.

第i 階固有頻率為：

fi = ωi /2π （2）

當(dāng)系統(tǒng)以第i 階固有頻率振動(dòng)時(shí)，第k 個(gè)廣義坐標(biāo)上的振動(dòng)能量為：

式中：?k，i 為? i 的第k 個(gè)分量；Mk，j 為M 的第k 行第j 列元素. 第i 階模態(tài)對(duì)應(yīng)的解耦率di 定義為：

di = max k = 1，2，…，13Ek，i （4）

1.2 參數(shù)不確定性和相關(guān)性

采用隨機(jī)向量x = [ x1，x2，…，xn ]T 描述系統(tǒng)n 個(gè)不確定參數(shù)，變量xα 的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為exα 和σxα，xα 和xβ 之間的相關(guān)系數(shù)記為ρxα，xβ，則向量x 的協(xié)方差矩陣可以表示為：

UTI變換方法［12］可根據(jù)不確定參數(shù)的均值向量和協(xié)方差矩陣實(shí)現(xiàn)相關(guān)性變量向獨(dú)立變量轉(zhuǎn)換，且不涉及二維積分或非線性方程組等復(fù)雜計(jì)算. 基于UTI變換，將相關(guān)隨機(jī)向量x 向獨(dú)立向量轉(zhuǎn)換的具體步驟如下：

設(shè)u = [u1，u2，…，un ]T 和x? = [ x?1，x?2，…，x?n ]T 分別為獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量和具有相關(guān)性的正態(tài)隨機(jī)向量，ui和x?i 之間的關(guān)系可表示為：

x?i = F-1 xi （Φ （ui ）） （6）

式中：Φ （ ）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)；F-1 xi （ ）為xi累計(jì)分布函數(shù)的逆函數(shù).

相關(guān)隨機(jī)向量x 可以表示為：

式中：ex = [ex1，ex2，…，exn ]T 為隨機(jī)向量x 的均值向量；根號(hào)下Cx 為協(xié)方差矩陣的矩陣平方根.

2 響應(yīng)不確定性和相關(guān)性分析

2.1 UMC 法

基于蒙特卡洛抽樣和UTI變換提出一種求解概率參數(shù)相關(guān)情形下PMS固有特性響應(yīng)不確定性和相關(guān)性分析的UTI-蒙特卡洛（UTI-Monte Carlo， UMC）法，其主要步驟為：

1）根據(jù)n 維隨機(jī)向量x 的標(biāo)準(zhǔn)差以及變量之間的相關(guān)系數(shù)建立協(xié)方差矩陣.

2）根據(jù)協(xié)方差矩陣計(jì)算矩陣平方根根號(hào)下Cx .

3）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)進(jìn)行抽樣，得到一n × m 維獨(dú)立樣本矩陣u = [u1，u2，…，un ]T.

4）根據(jù)式（6）和式（7）進(jìn)行相關(guān)性變換，將獨(dú)立樣本矩陣u 轉(zhuǎn)化為相關(guān)樣本矩陣x = [ x1，x2，…，xn ]T.

5）將[ x1，i，x2，i，…，xn，i ]T 代入PMS的13自由度模型，計(jì)算第i 組樣本對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)固有特性.

6）重復(fù)步驟5）m 次，計(jì)算m 組響應(yīng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及響應(yīng)之間的相關(guān)系數(shù).

上述方法可以作為參考方法，用于驗(yàn)證其他PMS響應(yīng)不確定性和相關(guān)性分析方法的有效性.

2.2 UAPCE 法

UMC法計(jì)算效率往往較低，因此進(jìn)一步提出一種高效求解PMS響應(yīng)不確定性和相關(guān)性的UTI-任意多項(xiàng)式混沌展開（UTI-arbitrary polynomial chaosexpansion， UAPCE）法.

以Y （x ） 表示PMS固有特性響應(yīng)函數(shù)，基于任意多項(xiàng)式混沌展開，Y （x ）可表示為［13］：

式中：ci 為多項(xiàng)式基的展開系數(shù)；φi （u）為向量u 的第i階多項(xiàng)式基.

系統(tǒng)響應(yīng)可以通過任意多項(xiàng)式混沌（arbitrarypolynomial chaos，APC）展開表示為：

式中：sα （α = 0，1，…，n） 是變量uα 的展開階數(shù)；n 為不確定參數(shù)個(gè)數(shù)；ci1，…，in 為多項(xiàng)式基的展開系數(shù)；φi1，…，in （u ） 為向量u 的多項(xiàng)式基，其可表示為多項(xiàng)式基的乘積.

uα 的任意多項(xiàng)式基φi （uα ）滿足以下遞推關(guān)系：

bi φi （uα ） = （uα - ai ）φi - 1 （uα ） + bi - 1 φi - 2 （uα ）（11）

式中：ai 和bi 為待求未知系數(shù)，且φ-1 （uα ） = 0，φ0 （uα ） = 1.

變量uα 的第i 階統(tǒng)計(jì)矩計(jì)算如下：

μixα = ∫Ωuiα w（uα ）duα （12）

式中：w（uα ）為變量uα 的概率密度函數(shù).

將uα 的統(tǒng)計(jì)矩表示成如下Hankel矩陣形式.

對(duì)矩陣Hα 進(jìn)行Cholesky分解，即Hα = RTα Rα，根據(jù)Rα 可確定未知系數(shù). 然后，對(duì)Jacobi矩陣Jα 進(jìn)行特征值分解，可獲得uα 對(duì)應(yīng)的高斯積分節(jié)點(diǎn)向量u?α =[u?α，1，u?α，2，…，u?α，qα ]T 和高斯積分權(quán)值向量w?α =[w?α，1，w?α，2，…，w?α，qα ]T，其中qα 為uα 的高斯積分點(diǎn)數(shù)目.

將uα 對(duì)應(yīng)的高斯積分節(jié)點(diǎn)向量u?α 代入式（6）和式（7）進(jìn)行相關(guān)性變換，可得相關(guān)隨機(jī)變量xα 對(duì)應(yīng)的高斯積分節(jié)點(diǎn)向量x?α = [ x?α，1，x?α，2，…，x?α，qα ]T.

得到所有變量的高斯積分點(diǎn)向量和高斯積分權(quán)值向量后，可將多項(xiàng)式基的展開系數(shù)表示為：

基于多項(xiàng)式基的性質(zhì)，可獲得Y （x ） 的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

UAPCE法分析流程如圖2所示.

3 PMS 穩(wěn)健性優(yōu)化

3.1 優(yōu)化子目標(biāo)權(quán)重

PMS是多輸出響應(yīng)系統(tǒng)，其優(yōu)化設(shè)計(jì)屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題. 在傳統(tǒng)的PMS多目標(biāo)優(yōu)化中，各優(yōu)化子目標(biāo)的權(quán)重僅由主觀意識(shí)決定，缺乏客觀準(zhǔn)則. 本文基于響應(yīng)相關(guān)性分析結(jié)果，采用相關(guān)系數(shù)賦權(quán)法［14］確定各子目標(biāo)的客觀權(quán)重. 響應(yīng)Yα 與其他響應(yīng)相關(guān)程度的均值為：

式中：N 為響應(yīng)總個(gè)數(shù).

響應(yīng)之間的相關(guān)性越大，則在權(quán)重體系中所占比重越小，可認(rèn)為權(quán)重δˉα 與相關(guān)性有如下關(guān)系：

δˉα = 1/δα （19）

進(jìn)行歸一化處理，得到響應(yīng)Yα 的客觀權(quán)重vα 為：

3.2 穩(wěn)健性優(yōu)化

對(duì)于橫置電驅(qū)總成，電機(jī)沿繞電機(jī)軸中心線的旋轉(zhuǎn)（Pitch）方向輸出扭矩，而電機(jī)轉(zhuǎn)子的動(dòng)不平衡主要集中在X 和豎直（Bounce）方向. 因此，X 方向、Bounce 方向和Pitch 方向?yàn)楫?dāng)前研究主要關(guān)注方向［15］，本文優(yōu)化重點(diǎn)關(guān)注這3個(gè)方向的解耦率響應(yīng).在穩(wěn)健性設(shè)計(jì)中，不僅要優(yōu)化響應(yīng)均值，還要最小化響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差. 結(jié)合6 Sigma 準(zhǔn)則和固有特性設(shè)計(jì)要求，PMS的穩(wěn)健性優(yōu)化模型為：

式中： edX、edB、edP、efX、efB 和efP 分別為X 方向解耦率dX、Bounce方向解耦率dB、Pitch方向解耦率dP、X 方向固有頻率fX、Bounce方向固有頻率fB 和Pitch方向固有頻率fP 的均值；σdX、σdB、σdP、σfX、σfB 和σfP 分別為dX、dB、dP、fX、fB 和fP 的標(biāo)準(zhǔn)差；fX，min 和fX，max 分別為fX 的最小和最大設(shè)計(jì)值；fB，min 和fB，max 分別為fB的最小和最大設(shè)計(jì)值；fP，min 和fP，max 分別為fP的最小和最大設(shè)計(jì)值；t = [ t1，t2，…，tn ]T 為優(yōu)化變量的名義值向量；tj為第j個(gè)優(yōu)化變量的名義值；tU 和tL 分別為t 取值的上下邊界向量.

4 應(yīng)用算例

4.1 研究模型

以某純電動(dòng)汽車三點(diǎn)懸置系統(tǒng)為例，電驅(qū)動(dòng)總成質(zhì)量為74.29 kg，車身質(zhì)量為906.256 kg，前后懸架非簧載質(zhì)量分別為62 kg和60 kg. 表1為電驅(qū)動(dòng)總成和車身的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積.表2和表3分別為電驅(qū)動(dòng)總成懸置和懸架安裝位置.表4為懸置三向靜剛度和動(dòng)剛度值. 前后懸架彈簧剛度分別為25.5 N/mm和27.4 N/mm，車輪垂向剛度為189.7 N/mm.

4.2 PMS 不確定性分析

為探究懸置剛度參數(shù)對(duì)PMS固有特性響應(yīng)的影響，將懸置剛度參數(shù)處理為服從正態(tài)分布的概率變量，均值為表4中的動(dòng)剛度值，標(biāo)準(zhǔn)差取均值的6%.表5給出了同一懸置剛度參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)，不同懸置之間的剛度參數(shù)相互獨(dú)立.

工程中常關(guān)注系統(tǒng)響應(yīng)的取值邊界. 根據(jù)6 Sigma 準(zhǔn)則，響應(yīng)的邊界區(qū)間可以表示為[eYi -6σYi，eYi + 6σYi ]，響應(yīng)的邊界區(qū)間越小，表明系統(tǒng)穩(wěn)健性越好. 在本文方法中，忽略車身、非簧載質(zhì)量、懸架以及車輪剛度時(shí)，整車13 DOF 模型可簡(jiǎn)化為傳統(tǒng)6 DOF 模型. 表6 和表7 分別給出了6 DOF 模型下UMC法和UAPCE法計(jì)算得到的PMS固有特性響應(yīng)邊界. 表8和表9分別給出了13 DOF模型下UMC法和UAPCE法計(jì)算得到的PMS固有特性響應(yīng)邊界.

由表6和表7可知，以UMC法作為參考，在基于6 DOF模型計(jì)算固有特性響應(yīng)邊界時(shí)，UAPCE法的最大相對(duì)誤差為0.66%. 在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上，UMC法基于6 DOF模型求解PMS固有特性響應(yīng)用時(shí)114.34 s，需要調(diào)用系統(tǒng)響應(yīng)方程106 次；而UAPCE法求解僅用時(shí)0.67 s，需要調(diào)用系統(tǒng)響應(yīng)方程29次（即512次）.與UMC法相比，UAPCE法可減少系統(tǒng)響應(yīng)方程調(diào)用次數(shù)約99.95%比例，減少計(jì)算時(shí)間113.67 s，降低了99.42%計(jì)算耗時(shí).

由表8和表9可知，在基于13 DOF模型計(jì)算固有特性響應(yīng)邊界時(shí)，UAPCE 法的最大相對(duì)誤差為0.83%. 這表明在參數(shù)含相關(guān)性的不確定情形下，UAPCE法能很好地預(yù)測(cè)系統(tǒng)響應(yīng)邊界. 在同一臺(tái)計(jì)算機(jī)上，UMC法基于13 DOF模型求解PMS固有特性響應(yīng)用時(shí)277.56 s，需要調(diào)用系統(tǒng)響應(yīng)方程106次；而UAPCE 法求解僅用時(shí)0.78 s，需要調(diào)用系統(tǒng)響應(yīng)方程29次，這表明UAPCE法可以極大地降低系統(tǒng)響應(yīng)方程的調(diào)用次數(shù)，節(jié)約計(jì)算時(shí)間. 此外，UAPCE法基于13 DOF模型進(jìn)行PMS固有特性響應(yīng)計(jì)算時(shí)，最大相對(duì)誤差和計(jì)算耗時(shí)較6 DOF模型增加，但仍然具有較高計(jì)算精度和效率.

基于6 DOF 模型和基于13 DOF 模型計(jì)算得到的fX、fP和dP的響應(yīng)邊界非常接近，基于13 DOF模型計(jì)算得到的fB響應(yīng)邊界比基于6 DOF模型計(jì)算得到的響應(yīng)邊界整體升高. 基于13 DOF模型計(jì)算得到的dX響應(yīng)下邊界比基于6 DOF模型計(jì)算得到的dX響應(yīng)下邊界更高，dB響應(yīng)邊界則整體降低. 這主要是由于懸置系統(tǒng)Bounce方向和車身存在一定的能量耦合.當(dāng)懸置系統(tǒng)在Bounce方向振動(dòng)時(shí)，會(huì)有部分振動(dòng)能量分布于車身的自由度方向上，從而導(dǎo)致懸置系統(tǒng)Bounce方向解耦水平下降. 總體而言，Bounce方向固有特性受整車參數(shù)的影響較大，13 DOF分析模型得到的懸置系統(tǒng)固有特性更符合整車環(huán)境下的振動(dòng)情況.

4.3 PMS 相關(guān)性分析

進(jìn)一步探究不確定參數(shù)的相關(guān)性對(duì)PMS響應(yīng)相關(guān)性的影響. 分析過程中令同一懸置三向剛度之間的相關(guān)系數(shù)分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、0.999 9. 圖3給出了不同情況下，UAPCE法和UMC法基于6 DOF模型和13 DOF模型計(jì)算dX、dB和dP之間的相關(guān)系數(shù)結(jié)果.

由圖3可以看出，UAPCE法求得各響應(yīng)之間的相關(guān)系數(shù)曲線與UMC法求得的參考曲線具有很好的一致性. 這表明在計(jì)算響應(yīng)相關(guān)性時(shí)，UAPCE法具有較高的計(jì)算精度，可以很好地預(yù)測(cè)系統(tǒng)響應(yīng)之間的相關(guān)性.

基于6 DOF 模型進(jìn)行分析時(shí)，X 和Bounce方向解耦率之間的相關(guān)系數(shù)ρdX dB、X 和Pitch方向解耦率之間的相關(guān)系數(shù)ρdX dP、Bounce和Pitch方向解耦率之間的相關(guān)系數(shù)ρdB dP 隨輸入?yún)?shù)相關(guān)性的增加而增加.基于13 DOF模型進(jìn)行分析時(shí)，ρdX dB 和ρdB dP 隨輸入?yún)?shù)相關(guān)性的增加而降低，ρdX dP 隨輸入?yún)?shù)相關(guān)性的增加而增加. 分析表明，基于6 DOF模型得到的ρdX dP 與13 DOF模型的計(jì)算結(jié)果具有相近的數(shù)值和一致的變化趨勢(shì). 基于6 DOF 模型得到的ρdX dB 和ρdB dP 則與13 DOF模型的計(jì)算結(jié)果有不一致的數(shù)值和變化趨勢(shì). 這說明，基于6 DOF模型不能很好地開展整車環(huán)境下PMS響應(yīng)的相關(guān)性分析，其分析結(jié)果可能存在較大誤差.

此外，不同響應(yīng)之間的相關(guān)性受輸入?yún)?shù)相關(guān)性的影響有較大差異，在工程實(shí)際中可結(jié)合具體設(shè)計(jì)需求對(duì)懸置剛度參數(shù)相關(guān)性進(jìn)行配置和控制. 例如，若要降低dB與dP之間的相關(guān)性，需要盡可能地提高剛度參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)；若想要降低dX與dP之間的相關(guān)性，則需盡可能地降低剛度參數(shù)之間的相關(guān)性. 橡膠懸置剛度參數(shù)的相關(guān)性通常與懸置的結(jié)構(gòu)形狀和材料屬性有關(guān).

4.4 PMS 穩(wěn)健性優(yōu)化

取表4中懸置剛度的均值作為優(yōu)化變量的初始名義值，標(biāo)準(zhǔn)差取均值的6%，優(yōu)化取值范圍為初始名義值的0.5～2.5倍. X 方向、Bounce方向和Pitch方向的權(quán)重根據(jù)式（18）～式（20）計(jì)算得到. 基于6 DOF模型計(jì)算得到的X 方向、Bounce方向和Pitch方向的權(quán)重分別為0.50、0.26和0.24. fX，min 和fX，max 分別設(shè)定為7 Hz 和12 Hz，fB，min 和fB，max 分別設(shè)定為13 Hz 和23 Hz，fP，min 和fP，max 分別設(shè)定為24 Hz和36 Hz. 基于6 DOF模型建立PMS穩(wěn)健性優(yōu)化模型，優(yōu)化結(jié)果如圖4所示.

由圖4可知，優(yōu)化后的固有頻率響應(yīng)邊界沒有明顯變化，解耦率響應(yīng)邊界顯著縮窄. 其中，優(yōu)化后dX、dB 和dP 均值分別由88.19%、83.53% 和85.18% 提高至98.27%、99.17% 和98.52%。通過計(jì)算可知dX、dB和dP標(biāo)準(zhǔn)差分別由2.67、6.61和2.97降低至0.21、0.54和0.24. 在同樣的不確定性和相關(guān)性情形下，解耦率均值相比優(yōu)化前有較大提高，標(biāo)準(zhǔn)差明顯降低，這說明系統(tǒng)參數(shù)不確定性對(duì)解耦率的影響顯著降低. 將基于6 DOF 模型的優(yōu)化結(jié)果代入13 DOF 模型，得到的計(jì)算結(jié)果如表10所示.

由表10 可知，dX、dB 和dP 均值分別由98.27%、99.17%和98.52%降低至90.27%、80.66%和98.40%，標(biāo)準(zhǔn)差分別由0.21、0.54和0.24增加至11.71、1.02和0.32. 這說明基于6 DOF模型的優(yōu)化結(jié)果，在13 DOF模型中穩(wěn)健性大幅下降，其中dX和dB的穩(wěn)健性下降最多. 這說明基于6 DOF模型，無法保證整車環(huán)境下優(yōu)化結(jié)果性能的穩(wěn)健性.

基于13 DOF模型計(jì)算得到的X 方向、Bounce方向和Pitch方向的權(quán)重分別為0.34、0.32和0.34. 根據(jù)上述分析，可基于13 DOF模型建立PMS穩(wěn)健性優(yōu)化模型，優(yōu)化結(jié)果如圖5所示.

由圖5可知，優(yōu)化后的固有頻率響應(yīng)邊界沒有明顯變化，解耦率響應(yīng)邊界顯著縮窄. 其中，優(yōu)化后dX、dB 和dP 均值分別由89.15%、53.40% 和84.62% 提高至95.40%、81.66% 和96.33%，標(biāo)準(zhǔn)差分別由2.25、6.19和2.91降低至0.84、0.18和0.69. 在同樣的不確定性和相關(guān)性情形下，解耦率均值相比優(yōu)化前有較大提高，標(biāo)準(zhǔn)差明顯降低，這說明系統(tǒng)參數(shù)不確定性對(duì)解耦率的影響顯著降低. 將基于13 DOF模型的優(yōu)化結(jié)果代入6 DOF模型，得到的計(jì)算結(jié)果如表11所示.

由表11 可知，dX、dB 和dP 均值分別由95.40%、81.66%和96.33%提高至95.80%、99.72%和96.38%，標(biāo)準(zhǔn)差分別由0.84、0.18和0.69變化至0.95、0.24和0.66. 這表明基于13 DOF模型的優(yōu)化結(jié)果，在6 DOF模型中穩(wěn)健性無明顯變化. 因此，相較于6 DOF 模型，基于13 DOF 模型得到的優(yōu)化結(jié)果有更好的穩(wěn)健性.

5 結(jié) 論

1）以UMC法為參考，UAPCE法計(jì)算純電動(dòng)汽車PMS響應(yīng)均值、標(biāo)準(zhǔn)差、邊界范圍以及相關(guān)性時(shí)具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率.

2）在不確定性分析方面，基于13 DOF模型計(jì)算得到的Bounce 方向響應(yīng)邊界更合理. 對(duì)于其他方向，基于兩種模型均能求得較合理的響應(yīng)邊界.

3）在相關(guān)性分析方面，基于6 DOF模型不能很好地開展整車環(huán)境下PMS響應(yīng)的相關(guān)性分析，其分析結(jié)果可能存在較大誤差.

4）在穩(wěn)健性優(yōu)化方面，基于13 DOF模型得到的優(yōu)化結(jié)果可以保證整車環(huán)境下優(yōu)化結(jié)果性能的穩(wěn)健性，比基于6 DOF模型得到的優(yōu)化結(jié)果具有更好的穩(wěn)健性.

參考文獻(xiàn)

［1］ CAI B H，SHANGGUAN W B，Lü H． An efficient analysis andoptimization method for powertrain mounting systems involvinginterval uncertainty ［J］. Proceedings of the Institution ofMechanical Engineers，Part D：Journal of Automobile Engineering，2020，234（5）：1318-1329．

［2］ XIN F L，QIAN L J，DU H P，et al． Multi-objective robustoptimization design for powertrain mount system of electricvehicles［J］． Journal of Low Frequency Noise，Vibration andActive Control，2017，36（3）：243-260．

［3］ TRNG N H，DAO D N． New hybrid between NSGA- Ⅲ withmulti-objective particle swarm optimization to multi-objectiverobust optimization design for Powertrain mount system of electricvehicles［J］．Advances in Mechanical Engineering，2020，12（2）：168781402090425．

［4］ WU J，LIU X D，SHAN Y C，et al． Robustness optimization ofengine mounting system based on Six Sigma and torque roll axisdecoupling method ［J］. Proceedings of the Institution ofMechanical Engineers，Part D：Journal of Automobile Engineering，2019，233（4）：1047-1060．

［5］ 劉春梅，黃德惠，鄭成，等．動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的可靠設(shè)計(jì)［J］．中國(guó)機(jī)械工程， 2020，31（21）：2529-2534．

LIU C M，HUANG D H，ZHENG C，et al． Reliable design ofPMSs［J］．China Mechanical Engineering，2020，31（21）： 2529-2534．（in Chinese）

［6］ 吳杰， 郝世武. 汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)固有特性的可靠性優(yōu)化［J］．汽車工程，2013，35（9）：841-846．

WU J，HAO S W． Reliability optimization on the naturalcharacteristics of vehicle powertrain mounting system ［J］ ．Automotive Engineering，2013，35（9）：841-846．（in Chinese）

［7］ 謝展，于德介，李蓉，等．基于區(qū)間分析的發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］．汽車工程， 2014， 36（12）： 1503-1507．

XIE Z，YU D J，LI R，et al．Robust optimization design of enginemount systems based on interval analysis［J］． AutomotiveEngineering， 2014， 36（12）： 1503-1507．（in Chinese）

［8］ CAI B H，SHANGGUAN W B，Lü H． An efficient analysis andoptimization method for the powertrain mounting system withhybrid random and interval uncertainties ［J］. EngineeringOptimization，2020， 52（9）： 1522-1541．

［9］ Lü H，ZHENG Z B，HUANG X T，et al． A methodology fordesign optimization of powertrain mounting systems involvinghybrid interval-random uncertainties ［J］. Structural andMultidisciplinary Optimization， 2021， 63（3）： 1265-1285．

［10］ 呂輝，李振聰，楊坤， 等．純電動(dòng)汽車懸置系統(tǒng)固有特性的不確定性和相關(guān)性傳播分析［J］．振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2023，36（3）：671-679．

Lü H，LI Z C，YANG K，et al． Uncertainty and correlationpropagation analysis for the inherent characteristics of powertrainmounting systems of battery electric vehicles［J］. Journal ofVibration Engineering，2023，36（3）：671-679．（in Chinese）

［11］ SHANGGUAN W B，LIU X A，Lü Z P，et al． Design method ofautomotive powertrain mounting system based on vibration andnoise limitations of vehicle level［J］． Mechanical Systems andSignal Processing，2016，76：677-695．

［12］ ZHANG Y，XU J，DONG Y． Reliability analysis with correlatedrandom variables based on a novel transformation，adaptivedimension-reduction and maximum entropy method ［J］ ．Computers amp; Structures，2023，274：106919．

［13］ ZHU W Q，HU Y B，CHEN N，et al． A fuzzy and randommoment-based arbitrary polynomial chaos method for responseanalysis of composite structural-acoustic system with multi-scaleuncertainties［J］．Applied Acoustics， 2021， 177： 107913．

［14］ 王曉玲，戴林瀚，呂鵬，等．基于DSR-可拓云的滲流安全綜合評(píng)價(jià)研究［J］．天津大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)與工程技術(shù)版），2019，52（1）： 52-61．

WANG X L， DAI L H，Lü P， et al. Study on comprehensiveevaluation model of seepage safety based on DSR-extension cloud［J］.Journal of Tianjin University （Science and Technology）， 2019，52（1）： 52-61．（in Chinese）

［15］ 李汶哲，毛海寬，呂輝．電動(dòng)車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的可靠性分析方法［J］．湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023，50（4）：55-64．

LI W Z，MAO H K，Lü H． A reliability analysis method forpowertrain mounting systems of electric vehicles［J］． Journal ofHunan University （Natural Sciences）， 2023， 50（4）：55-64．（inChinese）

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（52375093）， National Natural Science Foundation of China（52375093）； 廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2023A1515011585）， Natural Science Foundation of Guangdong Province（2023A1515011585）