基于改進傅里葉級數軌跡的運動學參數辨識

摘要：針對高端制造領域焊接機器人焊接效率低、精度差、運行不平穩等多種問題，提出一種基于改進傅里葉級數軌跡的焊接機器人運動學參數辨識方法. 首先，依據MDH（modifieddenavit-hartenberg）準則建立焊接機器人的運動學模型，并基于微分運動學建立焊接機器人的誤差模型；隨后，通過模式搜索算法找到最優的改進傅里葉級數軌跡，從中選出50個條件數最小的位姿點作為實驗位姿集；最后，提出一種遞歸最小二乘方-差分進化混合（recursive leastsquares and differential evolution hybrid，RLS-DEH）算法，能夠有效提高參數辨識的精度. 以庫卡（KUKA）的焊接機器人作為實驗對象，驗證上述方法的可行性.實驗結果表明，將使用改進傅里葉級數軌跡方法得到的最優位姿集代入誤差模型后，經過RLS-DEH算法辨識，焊接機器人的絕對位置平均誤差從1 mm降低到0.05 mm以內，相比標定前精度提高了95%，證明了所提方法的高效性與實用性.

關鍵詞：運動學標定；改進傅里葉級數軌跡；RLS-DEH；焊接機器人

中圖分類號：TP242.2 文獻標志碼：A

隨著我國工業水平的快速提高，焊接機器人逐步進入工業市場并扮演著越來越重要的角色［1］. 焊接機器人是主要從事焊接工作的工業機器人，一般由工業機器人在末端軸加裝焊槍組成［2］，可以替代人工在惡劣工作環境下進行高質量的焊接工作. 與國外相比，我國焊接機器人研究起步相對較晚，焊接精度相對較低，因此提高焊接機器人的絕對定位精度顯得尤為重要［3-5］.

研究表明，影響焊接機器人絕對定位精度的主要因素有運動學參數誤差、關節參數誤差、剛度參數誤差以及裝配誤差等，其中影響最大的是運動學參數誤差［6］. 機器人標定是降低運動學參數誤差最常用的方法之一，一般包括運動學模型建立、位姿測量、運動學參數辨識、誤差補償［7］. 運動學建模的基礎是建立在DH（denavit-hartenberg，DH）準則［8］之上，該準則只用4個參數就可以確定連桿坐標系，但如果相鄰兩軸平行或者接近平行時運動學參數會發生突變，為了解決這一問題，Cao等［9］增加了一個繞y軸旋轉的參數，改進了DH準則，提出了MDH準則.為了確保測量效率，保證后期辨識的準確率，位姿測量主要通過借助高精密儀器完成. 目前市場的測量設備主要有激光跟蹤儀、自動經緯儀、三坐標測量儀、球桿儀、拉線傳感器等［10-12］. 激光跟蹤儀是測量位姿的主流設備，具有精度高、可測范圍大、動態跟蹤、占地小的優點，但其操作較為復雜，價格昂貴. 劉保軍［13］提出了一種基于激光跟蹤儀的機器人運動學參數補償的方法，為后續更深入研究機器人奠定了基礎. 王殿君等［14］使用激光跟蹤儀對機器人進行運動學標定，最終將機器人的絕對定位精度提升了69.6%. 運動學參數辨識是機器人標定中重要的環節，其中最經典的方法是最小二乘法辨識，但此方法容易造成矩陣的奇異導致無法求解. 高貫斌等［15］克服了最小二乘法辨識噪聲大、發散慢的缺點，提出一種卡爾曼濾波算法，實現了運動學參數的快速收斂，將絕對定位精度由1.039 mm 提高到了0.226 mm.Huang等［16］提出了一種混合非線性參數辨識的LM（levenberg-marquarat）和遞推最小二乘法的混合辨識算法并進行了仿真試驗，證明了算法的穩定性.Fang等［17］提出了基于粒子分類和按維動態改變權重的改進粒子群算法，有效避免陷入局部最優，提高了算法的精度和收斂速度，具有更強的優化性能.Schnierle等［18］融合了遺傳算法和禁忌算法使得該算法既有全局優化能力又跳出了局部最優解的困局，實現了模型誤差的精確辨識. 誤差補償［19-20］即將辨識出的運動學參數誤差補償到運動學參數中. 梁兆東等［21］設計了一種誤差補償的運動學算法，將絕對位置誤差的均值從0.575 4 mm 降低到0.277 9 mm.高貫斌等［15］提出了一種關節空間插值誤差補償方法，建立網格形式的誤差補償數據庫，并通過實驗驗證了方法的可行性.

本文主要對位姿測量中選取位姿點和運動學參數辨識中辨識算法進行研究，參照動力學參數辨識［22-24］中最優激勵設計方法，提出一種五次多項式替代傅里葉軌跡中常數項的改進傅里葉級數軌跡［25-26］，由誤差模型中雅可比矩陣的條件數作為優化函數，在確定了最優軌跡后從中選出50個條件數最小的位姿點作為實驗的位姿集，即為最優位姿集.本文提出的RLS-DEH算法提高了參數辨識的精度，最后通過實驗驗證了本文所提方法的可行性.

1 運動學建模

1.1 MDH 準則建模

在工業機器人的運動學建模中，DH準則是最經典的建模方式. 然而DH準則遇到相鄰兩軸線平行或者近似平行時會出現奇異問題. 為了解決這一問題， Cao 等［9］對DH 準則的奇異問題進行了簡化處理，使兩相鄰平行軸平行即忽略平行軸之間的相對誤差，提出了MDH準則，并成功標定了工業機器人的參數誤差［27］. 本文所研究的焊接機器人采用MDH準則建立運動學模型，其相鄰連桿坐標系如圖1所示.

最終可以得到焊接機器人各個方向的位置分量：

式中：?i 和di分別為微分旋轉分量與微分平移分量.

結合式（9）和式（11）可得焊接機器人末端位置誤差與機器人運動學參數誤差之間的線性關系為：

ΔP = J （q）ε （14）

式中：q 為關節變量；J（q）為參數誤差的雅可比矩陣；ΔP 為焊接機器人的末端誤差；ε 為運動學參數誤差矩陣，ε=［Δa0 Δα0 Δd1 Δθ1 … ΔaI-1 ΔαI-1 ΔdI ΔθI］-1.

2 基于改進傅里葉級數軌跡求位姿集

選取最優位姿集是標定工業機器人的重要環節.傳統方法是在機器人活動的最大空間內隨機選取50個位姿點作為實驗位姿集. 但這種方法找到的位姿集并不是最優位姿集，可能會出現矩陣條件數過大、矩陣奇異的情況，進而影響運動學參數辨識的精度. 仿照動力學參數辨識中的激勵軌跡設計，本文提出了改進傅里葉級數軌跡求最優位姿集的方法，即用五次多項式替代原傅里葉軌跡中的常數項. 具體表達形式如下：

式中： t 表示時間；q 表示角度；wf為傅里葉軌跡基頻角頻率；N 為諧波階數；aik、bik 為待優化參數；cik 可由aik、bik 表示.

將改進傅里葉級數軌跡作為尋找位姿點軌跡的表達式，軌跡參數aik、bik 的取值應該受到各個關節的極限位置、速度、加速度的限制，由此可以得到該非線性優化問題的約束條件為：

式中：J1為目標函數；cond（J）表示雅可比誤差矩陣的條件數；q（t）表示機器人各個關節的角度； q?（t）表示角速度； q?（t）表示角加速度；qmin、 q?min、 q?min 分別表示角度、角速度、角加速度的下限；qmax、q?max、q?max 分別表示角度、角速度、角加速度的上限； s （q （t） ） ∈ S 表示關節角度在機器人的整個運動空間內.

從帶有參數的改進傅里葉級數軌跡中選出50個點代入誤差模型得到雅可比矩陣J，則目標函數設置為尋找條件數最小的雅可比矩陣J1. 由于目標函數比較復雜，用傳統的求解方法非常困難. 模式搜索算法是一種高效的智能尋優算法，這種算法具有運算速度快、計算參數少、容易上手等優點，所以本文使用模式搜索算法來求解上述約束優化問題. 根據經驗值將模式搜索算法參數代入算法模型，可得到軌跡參數進而確定軌跡. 從確定好的軌跡中依據時間間隔選出200個位姿點，再從這200個位姿點依次選出50個位姿點進行迭代，將每50個位姿點代入誤差模型算出條件數，最終找到條件數最小的50個位姿點，進而確定最優位姿集. 改進傅里葉級數軌跡求最優位姿集的流程圖如圖3所示.

在最終的改進傅里葉級數軌跡中，軌跡的運動周期T=25 s，基頻wf = 2π/T = 0.08π，諧波項取N=5，經過模式搜索算法不斷迭代尋優得到最終軌跡，如圖4所示.

從圖4中可以看出，角速度與角加速度的軌跡周期起止時刻都為0，這就說明了軌跡運行穩定，機械臂能夠準確地沿著軌跡運動，有效避免了激光跟蹤儀測量位姿點時產生的誤差；同時軌跡中的位姿點在焊接機器人最大運動空間中都有分布，相比于傳統方法在焊接機器人運動空間中隨機尋找位姿點可能出現的局限性，該方法可以更好地降低誤差模型中雅可比矩陣的條件數，提高辨識精度. 軌跡具有周期性，可以多次采集數據，提高實驗數據的準確性.

3 基于RLS-DEH 算法的運動學參數辨識

3.1 RLS-DEH 優化算法

由第1節焊接機器人的誤差模型可知，若已知焊接機器人末端定位誤差和運動學參數雅可比矩陣，即可求出焊接機器人的運動學參數誤差值. 依據第2節改進傅里葉級數軌跡中找到的最優位姿集，使用激光跟蹤儀測得焊接機器人的實際末端位置，然后通過正向運動學模型可以計算得到焊接機器人的理論末端位置，即可獲得焊接機器人末端定位誤差. 運動學參數雅可比矩陣由帶有誤差的運動學參數依據誤差模型計算得到，因此辨識運動學參數誤差量這一問題可以轉換成求解形如AX = B 的非線性方程. 對于參數辨識中的非線性方程，一般采用最小二乘法進行求解，如遞歸最小二乘方（recursiveleast squares，RLS）算法. 另外對于參數辨識問題，也可以將其看成一個全局優化問題，然后利用智能優化算法進行求解. 差分進化（differential evolution，DE）算法是一種全局優化算法，與常見的遺傳算法、粒子群算法等相似，都是受自然現象啟發而發展出來的智能優化算法，可以應用于參數辨識問題.

RLS算法是最小二乘算法中的一類快速算法.RLS算法主要是在誤差平方和最小原則的基礎上提出一種解析擬合模型參數的迭代遞推公式，可以實現在新的樣本數據到來時，利用新的樣本數據以及舊的最優模型參數便捷地計算新的最優模型參數，從而避免直接計算方法中的逆矩陣. 在第1節的誤差模型中，將焊接機器人末端誤差項展開并忽略二階及高階項，這樣就把問題轉化成了線性最小二乘問題. 應用到參數辨識中的公式可以寫為：

ΔP = JΔX （17）

式中：ΔP 為焊接機器人末端位置誤差，是RLS算法的輸入；ΔX 為運動學參數誤差，是RLS算法的輸出.經過層層迭代，循環結束后即可得到次優的運動學參數誤差值.

DE算法是在遺傳算法的思想基礎上提出的，屬于一種基于群體差異的、多目標優化的算法，用于求解多維空間的最優解. DE算法相對于遺傳算法（ge?netic algorithm，GA）而言，相同點是兩者都包含種群初始化、變異、交叉、選擇等步驟；不同點是DE算法變異向量是由父代差分向量生成，并與父代個體向量生成新的個體向量，且直接與其父代個體進行選擇. 顯然DE算法的搜索范圍相對于GA算法更大且具有更廣泛的適應性.

運用DE算法進行參數辨識的步驟如下.

步驟1：正確選擇DE算法的參數并隨機生成初始化種群. 在特定的搜索空間內隨機生成NP個個體Xi，g以完成初始化種群.

Xi，g = U （18）

式中：i=1，2，3，…，NP；U 是25×1的向量，每個分量值是所設置的上下界的隨機值.

步驟2：差分變異操作.隨機選取種群中一個個體進行差分向量縮放，與種群中相異個體相加得到變異向量.

Vi，g = Xr1，g + F （Xr2，g - Xr3，g ） （19）

式中： Xr1、Xr2、Xr3 是3 個隨機個體，區間為［1， NP］；F 為變異因子，用于控制偏差的放大，主要影響算法的搜索步長，擴大搜索范圍.

步驟3：對變異個體進行交叉，生成新的個體，交叉操作的方法為：

式中：CR∈［0，1］為交叉因子.

步驟4：采用貪婪選擇的策略，在目標向量與實驗向量之間選擇最優個體作為下一代種群個體.

在產生新一代種群之后，若滿足終止條件則結束迭代過程，否則將繼續執行變異、交叉、選擇等操作. 迭代結束后獲得的種群應該是評價函數值最小的個體，也就是最優的運動學參數誤差值.

RLS算法和DE算法都可以辨識焊接機器人的運動學參數誤差，但兩者都存在一定的弊端. RLS算法在求解運動學參數誤差時將非線性模型簡化為線性模型，因此得到的只是一個近似解. DE算法是根據誤差模型建立目標函數，擁有全局搜索能力，得到的結果更加精確，但DE算法的搜索范圍龐大導致求解過程需要花很長時間. 為了兼顧效率和精度，本文提出一種更優的RLS-DEH算法，即將RLS算法得到的近似解作為DE算法種群初始化的中心值，合理地縮小了搜索范圍，在保證DE算法辨識精度的同時提高辨識效率.

Xi，g = ΔX + U （22）

式（22）表示RLS-DEH算法的種群初始化.

算法改進示意圖如圖5所示，其中紅色圓圈表示DE算法的搜索空間，紅色的點表示DE算法種群初始化的中心值，由式（18）進行初始化. 藍色圓圈表示RLS-DEH 算法的搜索空間，綠色的點表示RLSDEH算法種群初始化的中心值，由式（22）進行初始化. RLS-DEH算法相比于DE算法改進的本質在于，由RLS算法提供的近似解ΔX 完成了種群初始化中心值從紅色點到綠色點的轉化，使初始化的中心值更加接近于最優值的附近，減小了搜索空間的范圍，提高了辨識效率.

3.2 參數辨識實驗

為了驗證以上所提方法的可行性，本文采用KUKA焊接機器人、Leica激光跟蹤儀和計算機進行標定實驗. 焊接機器人標定實驗平臺如圖6所示. 首先，利用改進的傅里葉級數軌跡方法得到焊接機器人的運動軌跡和最優位姿集，使用激光跟蹤儀采集焊接機器人末端的實際位置，將采集到的數據代入誤差模型并利用計算機辨識出運動學參數誤差；然后完成對焊接機器人的誤差補償；最后采用激光跟蹤儀驗證補償后的效果. 焊接機器人標定實驗步驟如圖7所示.

在參數辨識中采用RLS-DEH算法進行辨識. 同時為了驗證所提方法的有效性，將RLS-DEH算法辨識后的定位誤差和計算時效性分別與RLS算法、DE算法辨識后的定位誤差和計算時效性進行比較.

圖8為不同算法辨識結果分布圖. 由圖8可知，標定前焊接機器人X、Y、Z 方向的平均位置誤差均達到1 mm. 分別經過RLS算法、DE算法和RLS-DEH算法辨識后，平均位置誤差分別降低到0.6 mm、0.3 mm和0.05 mm以內. 辨識算法計算過程對比圖如圖9 所示. 由圖9 可知，RLS 算法、DE 算法和RLS-DEH算法分別迭代300次、180次和50次時適應度值為0. 綜上所述，相比傳統算法，RLS-DEH算法辨識精度更高且時效性更好， 相比之前焊接機器人精度提高了95%.

3.3 補償驗證實驗

由3.2節參數辨識實驗可得，RLS-DEH 算法的辨識效果最好，為了驗證該算法的辨識結果在焊接機器人實際工作時的工作效果，分別設立了直線、斜線和空間補償驗證實驗. 焊接機器人按照預定好的軌跡運動，經計算得到RLS-DEH算法誤差補償驗證圖如圖10所示. 由圖10可知，直線運動軌跡與斜線運動軌跡的平均位置誤差在0.03 mm以內，空間運動軌跡的平均位置誤差在0.05 mm 以內，與標定前相比，焊接精度得到了大幅度提高，本文所提運動學標定方法達到實驗預期效果.

4 結 論

本文主要對基于改進傅里葉級數軌跡的焊接機器人運動學參數辨識進行研究. 首先，建立焊接機器人的DH運動學模型，基于微分運動學方法構建焊接機器人的運動學誤差模型；其次，參照動力學參數辨識中求取激勵軌跡的方法得到焊接機器人的改進傅里葉級數軌跡，從該軌跡中篩選出用于參數辨識的最優位姿集；最后，提出了一種基于RLS-DEH算法對運動學參數進行辨識，通過實驗證明了該混合優化算法擁有更高的辨識精度，焊接機器人的平均位置誤差從1 mm降低到了0.05 mm以內. 綜上，基于改進傅里葉級數軌跡的焊接機器人運動學模型具有更好的泛化能力.

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基金項目：國家重點研發計劃資助項目（2022YFB3404804），National Key Research and Development Program of China（ 2022YFB3404804）；國家自然科學基金資助項目（52375041）， National Natural Science Foundation of China（52375041）