小模數齒輪斷續滾齒熱力耦合建模與試驗研究

摘要：小模數齒輪加工過程中，滾齒切削時易于產生顯著的熱變形，進而影響其尺寸精度和服役性能. 基于展成法加工原理和齒坯材料切除機制，提出小模數齒輪斷續滾齒切削熱力耦合計算模型. 設計多級滾切速度下的鋼制小模數齒輪試件試驗，測算試件表面缺陷、粗糙度與公法線偏差. 對比公法線偏差測量值和塑性應變仿真值，驗證上述計算模型的正確性. 研究齒輪模數、切削速度和傳熱條件對切削應力、表面溫度及熱變形的影響規律. 結果表明：切削應力水平與模數負相關，與切削速度正相關；齒面缺陷密集度、表面溫度和熱變形均與切削速度正相關. 適當降低滾刀轉速、減小滾刀直徑及強化切削區對流換熱，可減小滾齒熱變形，提高齒形精度和表面質量.

關鍵詞：小模數齒輪；齒輪加工；熱力耦合；傳熱；熱變形

中圖分類號：TG501 文獻標志碼：A

小模數齒輪是新一代通信、服務機器人、智能醫護與儀器儀表等精密設備的核心傳動件，其大批量、高精度加工技術水平直接影響微型傳動系統的生產成本和服役性能. 相比注塑成形和粉末冶金齒輪，滾齒成形的金屬小模數齒輪強度優勢顯著，是大扭矩微型傳動系統的首選. 受尺寸限制，在機床振動、裝夾誤差、切削生熱等因素作用下［1］，小模數齒輪的加工質量遠低于中、大模數齒輪，存在精度一致性差、表面缺陷多、相對熱變形大等問題. 因此，研究小模數齒輪的滾齒加工特性對提升其成形質量具有重要意義.

滾齒加工過程中，材料的大幅變形以及刀具與切屑、工件表面的劇烈摩擦產生大量切削熱，造成刀具磨損、使用壽命縮短，也使工件表面受熱變形而精度下降［2-3］. 基于切削試驗的滾齒工藝優化成本高、效率低、適用范圍窄，相比之下，數值仿真方法能有效預測加工中的刀具、齒坯和切屑狀態，近年來廣受關注. 在幾何建模方面，Vasilis等［4］建立了較完善的滾齒切削運動模型，能夠預測不同時刻的刀具位姿和切屑形態. 后續研究者進一步推導了非圓齒輪［5］、諧波剛輪［6］等多種滾齒加工模型. Khurana等［7］結合三維建模與加工試驗，預測滾齒切削力并計算了齒廓偏差. Azvar等［8］將三向深度像素法用于滾齒運動學建模，平衡了模型精度與計算速度. Huang等［9］提出準雙曲面齒輪的矢量化未變形切屑模型，并結合斜角切削理論，推導了準雙曲面齒端面滾齒切削力的閉式解. 這類研究為滾齒切削的數值仿真計算提供了模型支撐.

滾齒切削數值仿真方面，?zel等［10］計算了金屬材料的流動應力和切屑摩擦力，完善了高速切削有限元計算的邊界條件. Stark等［11］進行了滾刀刀齒的單次切削仿真并開展了飛刀試驗，所得切削力及溫度的仿真誤差低于1%. Dong等［12］通過滾齒仿真預測了滾刀的扭矩、溫度和應力分布，并進行了滾刀的抗磨損優化設計. Bergs 等［13］考慮切屑扭曲和壓縮參數，計算了滾齒切屑的流動方向和變形情況. 丁國龍等［14］提出了一種面向切屑形成過程的瞬時滾齒切削力計算模型，預測了滾齒切削力的波動特性. Tro?等［15］對大量滾齒仿真數據進行非線性回歸分析，建立了最大切屑厚度關于齒輪、刀具及加工參數的簡化計算模型. Kamratowski等［16］將回歸分析方法用于錐齒輪滾刀磨損預測. Efstathiou等［17］建立了螺旋錐齒輪面銑削和端面滾齒仿真模型，研究了精加工余量、切入進給率和展成進給率對切屑形態及切削力的影響. 楊瀟等［3］將高速干式滾齒系統的傳熱分為切削接觸界面、切削區域和機床空間三個階段，探究了切削熱在工件、滾刀、切屑中的動態變化規律. 李本杰等［18］在此基礎上進一步研究了滾刀的磨損及崩刃行為. Cheng等［19］基于有限元仿真研究了干式滾齒的切屑變形、切削力、刀具溫度分布及磨損變化規律. Yang等［20］研究了滾齒切屑的熱交換能力，并提出了潛在的強化傳熱策略.

上述工作大多以常模數齒輪為研究對象，通過模擬滾刀的單次切削，在機理上研究接觸區的溫度、應力分布，在應用上研究刀具磨損和切屑狀態. 很少有針對小模數齒輪加工特性或齒輪斷續切削成形完整過程的仿真研究. 本文建立了小模數齒輪斷續滾齒熱力耦合模型，模擬滾刀斷續切削下的齒面成形過程，開展了齒面應力、應變與溫度分析，結合試驗研究不同加工參數下的齒面質量與齒形偏差，為小模數齒輪滾齒精度控制和表面質量提升提供理論支撐.

1 滾齒加工原理與材料切除模型

1.1 滾齒加工原理

滾齒加工遵循展成法原理，從齒坯端面投影，可將滾刀-齒坯的切削運動視作齒條-齒輪的強制嚙合，由刀齒斷續切削包絡出漸開線齒形，如圖1 所示. 滾刀旋轉、進給和齒坯旋轉是小模數齒輪加工中的3個關鍵運動，分別由滾刀主軸轉速、進給速度和工件主軸轉速3個加工參量決定. 由于齒槽較淺，滾齒一般只進給一次，無須竄刀.

單線滾刀每旋轉一周，對應等效嚙合的“齒條”平移一個齒厚的距離，以及齒坯轉過一個齒的弧度.由此可推導滾刀-齒坯運動關系為：

φ = θ/z （1）

l = v θ/2π （2）

式中：φ 為齒坯轉角；θ 為滾刀轉角；z 為目標齒輪齒數；l 為進給距離；v 為進給量.

滾刀切削刃眾多、形狀復雜，仿真計算難以收斂且耗時長，簡化模型利用單個刀齒的位姿變換表現所有刀齒的切削效果，其切削-復位周期運動是模擬斷續滾切的關鍵，如圖2所示.主要運動參量包括刀齒滾切轉速ωcut、復位轉速ωre、刀齒位姿調整移速vad和齒坯位姿調整轉速ωad，具有如下關系：

式中：n 為滾刀主軸轉速；φcut為刀齒單次切削轉角；tre為刀齒復位時長；p 為分度圓齒距；zhob為滾刀齒數.

1.2 齒坯材料切除模型

滾齒切削伴隨著劇烈沖擊、摩擦及變形，已有多種材料模型可描述這類動態行為，如J-C（Johnson-Cook）模型、MTS（mechanical threshold stress）模型、S-G（Steinberg-Guina）模型等［21］. 其中J-C模型包括J-C本構模型和J-C失效模型，分別用于描述金屬在大變形、高應變率和高溫條件下的力學行為和斷裂損傷現象［22］，具有形式簡單、參數意義明確且易于獲取的優點，廣泛用于沖擊動力學研究. 因此，本研究采用J-C模型研究45#鋼齒坯在滾齒切削中的應力、應變、溫升及損傷規律.

J-C本構模型考慮了加工中的應變率強化和熱軟化效應，能較好地描述齒坯金屬材料在刀具沖擊載荷下的塑性流動行為，具體如下：

σy = （A + Bεnp）（1 + C lnε?* ）（1 - T * m ） （7）

式中：σy為等效屈服應力；A 為屈服強度；B 為應變硬化系數；εp為等效塑性應變；n 為應變硬化指數；C 為應變率敏感系數；ε?* = ε?/ε?0 為無量綱等效塑性應變率，其中參考應變率ε?0 一般取1.0 s-1；T * = （T -Tr ）/（Tm - Tr ）為無量綱溫度參數，其中T、Tr和Tm分別代表材料溫度、室溫和熔點；m 為溫度敏感系數.

齒坯材料的破壞采用J-C失效模型描述：

εf = [ D1 + D2 exp（D3 σ* ） ]（1 + D4 lnε?* ）（1 +D5T * ） （8）

式中：εf 為失效應變；D1～D5 為失效參數，由試驗獲得；σ*為應力三軸度，即靜水壓力與Mises 應力的比值.

材料的失效由塑性應變累積準則判斷：

式中：Δεeq為等效塑性應變增量. 當損傷參數D 累積達到1時，材料失效并被剝除.

2 滾齒切削熱力耦合分析

2.1 幾何模型與邊界條件

小模數齒輪幾何尺寸由《小模數漸開線圓柱齒輪基本齒廓》（GB/T 2362—1990）［ 23］確定. 滾刀底刃參與切削，刀齒端面與基本齒形完全吻合，具體參數及容屑槽形式均參考相關標準［24］. 為提高計算效率，只研究單個齒面的成形過程，簡化滾刀兩端結構. 在三維建模軟件中，根據滾刀外徑和導程角構造柱體及螺旋線；繪制小模數齒條標準齒廓，沿螺旋線掃掠，經布爾運算得到小模數齒輪滾刀簡化模型，如圖3（a）所示，滾刀實物見圖3（b）.

基于式（1）和式（2），循環調整模型位姿并布爾求差，模擬小模數齒面滾齒成形過程，如圖4所示.滾齒齒廓與工業軟件生成的理想漸開線齒廓吻合良好，齒形誤差滿足《小模數漸開線圓柱齒輪精度》（GB/T 2363—1990）［25］ 3級精度要求，證明了幾何模型的準確性.

針對金屬齒坯上某一齒槽的成形過程，開展切削熱力耦合仿真. 刀齒視為剛體，其表面與齒坯存在面-面接觸，發生摩擦生熱及熱傳導，運動邊界條件按照圖2 及式（3）～式（6）設置，滾刀轉速分別為1 000、1 200、1 300、1 400、1 500 r/min. 基于Python語言編寫循環指令，實現多分析步長建模，分析步長由滾刀轉速和相鄰刀齒夾角決定. 齒坯材料采用45#鋼，其特性參數和J-C參數［26］如表1所示.

2.2 網格獨立性驗證

切削區的網格劃分與節點溫度分布如圖5（a）所示. 采用完全積分的溫度-位移耦合六面體網格（C3D8T），刀齒表層及齒坯被切削區域網格局部加密. 由于滾齒去除材料比例較大，故加密網格數量眾多. 同時，小模數齒輪限制了網格尺寸及數值計算的易收斂性，故仿真成形的齒廓邊緣較為粗糙.

在切削過程中，切屑塑性變形和刀-屑摩擦生成大量的熱并向周圍環境傳播，造成局部快速溫升. 塑性變形產生的單位體積熱流量為：

式中：Δt 為時間增量；η 為非彈性熱系數；n 為塑性流動的方向矢量，與應力、塑性應變和溫度有關；σ 為t+Δt 時刻的應力張量；σt為t 時刻的應力張量.

摩擦產生的熱流密度為：

式中：ηf為摩擦熱轉化系數；τ 為摩擦應力；Δs 為滑移增量.

齒坯材料內部導熱的熱流密度為：

qc = -λ?T （12）

式中：λ 為熱導率：?T 為溫度梯度.

齒坯向空氣散熱的熱流密度為：

qh = h（T - Tr ） （13）

式中：h 為換熱系數.

基于式（10）～式（13），由有限元法計算被切削齒面的平均節點溫度，驗證切削區網格的獨立性.圖5（b）中，在初始階段，0.15 mm 網格模型與0.30 mm、0.40 mm 網格模型的計算結果相差較大，而與0.20 mm網格模型的計算結果相差較小. 為兼顧仿真精度與計算效率，選擇網格尺寸為0.20 mm的模型開展數值研究.

3 小模數齒輪滾齒加工試驗

3.1 試件加工方法

滾齒試件為45#鋼齒坯，制成模數0.6 mm、齒數37、齒寬5 mm、孔徑4 mm的小模數標準直齒輪. 在小模數精密滾齒機上一次進給成形，如圖6所示. 滾刀沿主軸逆滾，進給速度為0.3 mm/r，轉速設置為1 000、1 200、1 300、1 400和1 500 r/min 5級，每級轉速下加工重復試件3個.

3.2 齒面缺陷與粗糙度測試分析

采用電火花切割獲得單個小模數輪齒，觀察齒面形貌，如圖7所示. 隨著滾齒切削速度的提升，齒面加工缺陷逐漸密集，表面質量顯著下降，其原因是主軸轉速增大加劇了機床振動和切削沖擊，而小模數齒輪的尺寸特點又放大了這些因素的不良效果.

小模數齒輪齒槽狹窄，大部分齒輪檢測探針無法深入，故采用超景深顯微鏡采集粗糙齒面高度數據. 漸開線齒面起伏大，不能直接反映粗糙度. 沿齒高方向截取5段取樣長度，基于最小二乘法，由粗糙節點坐標計算取樣輪廓中線，以輪廓算術平均偏差Ra來評估粗糙度，如圖8所示.由圖8可見，齒頂附近粗糙度較大，齒面中部和齒根附近粗糙度較小， 原因為包絡成形過程中，齒面中、下部承受的切削更加密集，表面質量較好.

3.3 公法線檢測及熱力耦合模型驗證

滾齒切削使局部區域急劇升溫，造成熱畸變，增大齒廓形位偏差. 公法線長度是與兩個異側齒面相切的兩平行平面間的距離，公法線偏差可反映齒面變形的程度. 公法線公稱長度W 為：

W = [（k - 0.5）π + z ? inv α ]m ? cosα （14）

k = αz／180 + 0.5 （15）

式中：k 為跨齒數（取整）；z 為齒輪齒數；m 為模數；inv α 為分度圓壓力角α 的漸開線函數，inv α=tan α-α. 由式（14）和式（15）求得樣品齒輪公法線公稱長度為8.282 mm. 利用公法線千分尺測算樣品齒輪的平均公法線偏差EW，如表2所示.

在仿真模型中提取齒面等效塑性應變（equiva?lent plastic strain，PEEQ），該參量反映了齒坯表面單元在斷續切削過程中多次應變的累積結果. 發現等效塑性應變仿真值與實測平均公法線偏差絕對值均存在隨滾刀轉速升高而增大的整體趨勢，如圖9所示.

4 齒面特性的影響參數分析

4.1 模數的影響

基于滾齒切削熱力耦合模型，采用控制變量法，分析不同模數齒輪在滾齒成形中的表面溫度、塑性應變和切削應力. 設置齒數為37，模數分別為0.4 mm、0.6 mm、0.8 mm和1.0 mm，調整滾刀轉速，使分度圓處切削速度保持1.442 6 m/s. 圖10為不同模數下滾齒的加工特性. 以Mises應力表征切削應力的大小，由圖10（a）可知，隨著目標齒輪模數增大，刀齒結構尺寸及受力面積增大，當模數從0.4 mm增至1.0 mm時，切削應力峰值從2 511.24 MPa減至1 578.78 MPa，降低了約37%.

齒輪表面溫度和等效塑性應變隨模數的變化分為兩個階段.當模數為0.4～0.8 mm時，滾刀建模參照《小模數齒輪滾刀》（JB/T 2494—2006）［27］，外徑恒為25 mm. 此時，模數越大，齒坯金屬去除速率越大，表面溫度和等效塑性應變隨之上升，如圖10（b）和圖10（c）所示. 然而，當模數為1.0 mm時，滾刀建模參照《齒輪滾刀 基本型式和尺寸》（GB/T 6083—2016）［28］，其外徑達50 mm，在相同切削線速度下轉速更低，斷續切削間隔延長，金屬去除速率下降，故表面溫度和等效塑性應變隨之下降. 此外，齒輪的整體尺寸隨模數增大而增大，故齒面應變-齒厚比隨模數增大而減小，如圖10（c）所示，小模數齒面的低應變不足以彌補整體尺寸減小對誤差的放大作用，因此小模數齒輪的精度低于常模數齒輪.

4.2 切削速度的影響

研究切削速度對滾齒加工中切削應力、表面溫度和塑性應變的影響規律. 設置齒數為37，模數為0.6 mm. 在試驗基礎上，擴大切削速度區間，分別為0.6 m/s、1.2 m/s、1.8 m/s、2.4 m/s和3.0 m/s，以增強研究結果普適性. 由圖11可知，當切削速度由0.6 m/s增至3.0 m/s時，切削應力峰值升高了13%，成形后表面溫度升高了77%，而等效塑性應變增大了250%.這是由于隨著切削速度上升，齒坯金屬去除速率增加，切削區產熱加快，材料的熱畸變加劇. 當切削速度超過2.4 m/s后，大量切削熱被切屑快速帶離，無法有效傳導給工件，故切削溫度及等效塑性應變上升漸緩，趨近于某臨界值. 因此，可適當降低滾刀轉速或減小滾刀直徑，以降低切削速度，從而弱化熱畸變，得到更高的齒形精度.

4.3 傳熱條件的影響

切削液可通過對流換熱從工件表面帶走大量熱量，是降低機加工溫度的重要介質. 根據文獻［29］，空氣自然對流換熱系數為0～10 W（/ m2·K），氣體強制對流換熱系數為20～100 W（/ m2·K），水自然對流換熱系數為200～1 000 W（/ m2·K），水強制對流換熱系數高達1 000～15 000 W（/ m2·K）. 因此，設置0 W（/ m2?K）、1 000 W（/ m2?K）和15 000 W（/ m2?K）3種對流換熱系數，分別模擬干切、切削液自然對流和強制對流3種傳熱環境. 在齒坯表面施加對流換熱作用，為突出其作用規律，選取齒頂節點分析3種傳熱條件下的滾齒加工溫度和塑性應變變化規律，受應變集中作用，齒頂塑性應變顯著大于齒面均值. 模型中未引入潤滑，故無法有效反映切削液對切削力的影響.

圖12 為不同傳熱條件下滾齒的加工特性. 由圖12可知，隨著對流換熱系數增大，成形后齒頂瞬時溫度從46.5 ℃降低至31.5 ℃，等效塑性應變從0.36降至0.32. 因此，使用切削液強制冷卻可有效減少切削區熱量積聚，實現齒輪熱畸變抑制和刀具壽命延長.

5 結 論

建立小模數齒輪斷續滾齒切削熱力耦合計算模型，模擬了小模數齒廓加工成形的完整過程. 通過不同滾刀轉速下的加工試驗進行驗證，在此基礎上研究模數、切削速度和傳熱條件對切削應力、表面溫度及熱變形的影響規律. 主要結論：

1）相同加工條件下，表面溫度和等效塑性應變隨模數減小而降低，但整體尺寸的減小會放大加工誤差，因此小模數齒輪較常模數齒輪更難實現高精度制造.

2）模數從0.4 mm增至1.0 mm時，切削應力峰值降低約37%；模數為0.6 mm，切削速度從0.6 m/s增至3.0 m/s后，切削應力峰值升高13%. 故模數對滾切應力水平的影響最大，小模數滾齒加工可用的切削速度下限低于常模數滾齒.

3）齒面缺陷密集程度、溫度和熱變形均隨切削速度增大而增大. 模數0.6 mm 滾刀的切削速度從0.6 m/s增至3.0 m/s后，成形表面瞬時溫度上升77%，等效塑性應變增大了250%，導致成形齒面精度下降.

4）可通過降低滾刀轉速或減小滾刀直徑來適當降低切削速度，結合切削液強制對流冷卻，共同抑制滾齒加工熱變形，實現齒形精度和表面質量提升.

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CHEN G， CHEN Z F， TAO J L， et al. The Johnson-Cook failureparameters of 45 steel ［C］// Proceedings of the 2005 AcademicConference of the Chinese Society of Mechanics （Part Ⅰ ）.Beijing： CCTAM， 2005： 295.（ in Chinese）

［27］ 小模數齒輪滾刀：JB/T 2494—2006［S］．北京：機械工業出版社， 2007．

Fine-pith gear hobs：JB/T 2494—2006［S］. Beijing：ChinaMachine Press， 2007．（in Chinese）

［28］ 齒輪滾刀 基本型式和尺寸：GB/T 6083—2016［S］．北京：中國標準出版社，2016．

Gear hobs—the basic types and dimensions： GB/T 6083—2016［S］.Beijing： Standards Press of China， 2016．（in Chinese）

［29］ 趙威，何寧，李亮．強化冷卻下正交切削Ti6Al4V合金的有限元分析［J］．華南理工大學學報（自然科學版），2006，34（7）：40-44．

ZHAO W，HE N，LI L． Finite element analysis of orthogonalcutting of Ti6Al4V alloy in enhanced cooling condition［J］．Journal of South China University of Technology （Natural ScienceEdition）， 2006， 34（7）： 40-44．（in Chinese）

基金項目：2022年“芙蓉計劃”湖南省企業科技創新創業團隊項目（湖南德晟智能驅動與傳動創新團隊），The 2022“ Furong Plan” HunanEnterprise Sci-Tech Innovation and Entrepreneurship Team Project （Hunan Desheng Intelligent Drive and Transmission Team）；國家自然科學基金資助項目（52075153），National Natural Science Foundation of China（52075153）