融合壽命信息與多性能退化信息的元動作單元可靠性評估

摘要：針對機床可靠性建模困難、可靠性數據匱乏等問題，從元動作單元出發，提出一種融合壽命信息與多性能退化信息的可靠性評估方法. 利用“功能—運動—動作”（functionmotion-action，FMA）分解法將機床分解至最小運動單元，即元動作單元，機床的可靠性水平通過準確評估關鍵元動作單元的可靠性來保證. 建立隨機效應下非線性Wiener過程的性能退化模型，刻畫試驗樣本退化過程存在的個體差異性、共同屬性以及退化過程的非線性，在此基礎上針對退化數據不足的問題，利用貝葉斯方法建立融合失效壽命信息的可靠性模型. 考慮多性能退化失效相關性，基于Copula函數建立多性能退化可靠性評估模型，利用MCMC-Gibbs抽樣算法實現參數估計. 以某型號數控滾齒機的蝸桿轉動元動作單元為研究對象，通過實例分析以及驗證對比表明所提可靠性評估方法的可行性和優越性.

關鍵詞：可靠性；信息融合；隨機過程；元動作單元；貝葉斯方法

中圖分類號：TB114.3 文獻標志碼：A

數控機床具有高復雜化和高壽命化的特性，如何在合理的時間與經濟成本下準確了解其可靠性水平已經成為研究熱點. 基于性能退化數據開展機床相關可靠性評估的方法被廣泛使用. Wiener過程可以描述退化過程不單調的情況，且具有良好的計算特性，常被用于機床相關的可靠性分析中［1-2］. 然而，傳統方法中忽略隨機影響因素和非線性退化特征的做法，往往與實際情況存在偏差. 目前，針對隨機效應影響下的非線性隨機過程研究仍主要圍繞Wiener過程展開. Feng等［3］考慮了性能退化過程不確定性和測量誤差，推導了非線性退化場合的剩余壽命分布. Tang 等［4］研究了基于具有隨機效應的非線性Wiener過程的加速退化過程建模問題，研究表明有必要將隨機效應和非線性納入加速退化建模中. 王漢禹等［5］提出了基于核函數-Wiener過程退化模型，使用Wiener 過程刻畫軋輥退化趨勢的強隨機性特征，引入核函數捕捉軋輥的非線性退化路徑. 張忠文等［6］針對不同伺服驅動單元之間存在的個體差異特點，引入隨機效應并給出了考慮個體差異的可靠性模型建立方案. 可以看出，針對隨機效應下非線性Wiener過程的研究已經比較成熟，但基于隨機過程建立可靠性模型也需要大量樣本數據，對于機床或其部件而言，其各項性能指標的衰退周期較長且測試成本高，導致所獲得的退化數據依舊是小規模的子樣本［7］.

針對數據不足的情況，目前研究主要集中在對數據層和算法層面的改進，如采用改進Bootstrap法擴充原始樣本，構建可靠性模型，但這些方法所構建模型的精度無法保障，且方法適用范圍較為有限. 因此需要充分利用所有的可靠性信息，在小子樣本下構建高置信度的可靠性模型. 信息融合技術在數控機床可靠性研究領域的應用已經逐漸開展. 彭衛文［8］考慮數控機床的多層次信息，提出了基于貝葉斯方法的獨立來源層次客觀數據的融合方法、基于貝葉斯網絡的層次覆蓋客觀數據的融合方法以及基于貝葉斯網絡的層次主客觀信息的融合方法. 楊文［9］提出了基于多源信號融合的數控銑床運行可靠性分析方法，通過對多傳感器的數據進行數據預處理，實現數據層面的融合，隨后將其作為輸入數據，提取特征，根據基于狀態距離的運行可靠性計算方法建立銑床的運行可靠性評估模型. 孫博［10］以前期產品的可靠性信息和專家對現有產品可靠性水平判斷結果為基礎，通過貝葉斯融合方法與可靠性仿真信息融合，再利用改進的重要性重采樣算法得到了伺服刀架在多源信息融合下的可靠性評估結果. 可以看出，目前關于機床多源信息融合下的可靠性評估大多都基于整機或部件層面的可靠性信息，但整機或部件所存在的固有問題，使能夠獲得的可靠性數據極為有限，以整機或部件為分析對象難以從數據中提取有效的退化信息，增加數據的不準確性，導致最終的評估結果出現較大偏差.

數控機床的功能和性能是通過其組成部件（零件）之間的相對運動予以實現和保障的［11］. 基于機械結構運動和動力的傳遞，采用“功能-運動-動作”（FMA）的結構分解法將整機分解至最小運動單元（元動作單元）［12-13］. Li等［14］提出了基于元動作單元的維修決策. 張根保等［15］提出一種基于非線性Gamma隨機過程和混合 Copula 函數的元動作單元性能可靠性分析模型. 鞠萍華等［16］從元動作單元出發，建立了關于元動作單元的故障概率模型. 元動作單元是機床中最小的結構單元，其可靠性分析是整機可靠性的基礎，以關鍵元動作單元為研究對象，可以避免結構分析困難，試驗難以進行，數據難以收集，成本高，周期長等問題.

另外，元動作單元運行過程中，故障是在多個因素共同作用下發生的，針對具有多個性能退化指標的元動作單元，其退化失效之間具有相關性. Zhu等［17］基于電池退化數據構建了二元Wiener過程退化模型. 董慶來等［18］考慮兩類競爭失效形式，構建了基于二元Wiener過程的可靠性模型. 多元退化過程通常依賴于線性假設，并且退化模型存在結構復雜、求解困難的問題. 而Copula函數能夠對非線性依賴進行捕捉建模，且更容易估計和擬合，這在處理復雜的實際問題時尤其重要.

綜上所述，本文提出一種融合壽命信息與多性能退化信息的可靠性評估方法. 以元動作單元為研究對象，首先用考慮個體差異和共同屬性的非線性Wiener過程描述其性能退化過程，建立性能退化模型；其次將歷史失效壽命數據作為先驗信息，利用貝葉斯方法融合性能退化信息和壽命信息，構建融合了失效壽命信息的單性能退化可靠性模型；然后根據赤池信息準則（Akaike information criterion，AIC）和貝葉斯信息準則（Bayesian information criterion，BIC）選取合適的Copula函數，用Copula函數聯合多個邊緣失效分布，得到考慮多退化失效相關性的可靠性評估模型，模型中的未知參數通過MCMCGibbs抽樣法逐步獲得；最后以某型號數控滾齒機中的蝸桿轉動元動作單元為例，驗證本文方法的可行性與優越性.

1 理論介紹

1.1 FMA 分解

根據元動作理論，采用FMA 結構化分解方法，將機械產品的功能一步步分解到運動的最小運動單元——元動作. FMA結構化分解示意圖如圖1所示，圖中MAC為元動作鏈（meta-action chain）.

1.2 元動作單元

元動作單元（meta-action unit， MAU）是實現元動作的基本結構單元. 元動作單元比部件更細化，可用信息更多，且它可以自成體系，體現出零部件之間的機械作用，具有更強的綜合性，元動作單元在結構上獨立，可以獨立進行設計、分析和試驗［12］. MAU的結構組成如圖2所示.

相比于整機及其部件，對元動作單元進行可靠性試驗的可行性更高，元動作單元的可靠性信息更容易獲得，且由于其結構清晰，運動形式單一，從收集到的單元數據中可以獲取更直觀有效的性能退化信息，為可靠性評估工作奠定了良好的基礎.

2 基于貝葉斯的信息融合可靠性模型

2.1 隨機效應下非線性Wiener 過程的可靠性建模

2.1.1 隨機效應下非線性Wiener 過程的性能退化模型

由于正態分布方差的先驗分布一般被認為是逆伽馬分布，則假設σ2～IGamma（a，b），在給定σ2 的條件下，參數μ 服從正態分布μ|σ2～N（θμ，λμ /σ2）. 根據文獻［19］，考慮產品個體差異性和共同屬性的非線性Wiener過程模型可表示為：

式中：μ 表示退化速率的漂移系數；σ 表示擴散系數；B[ Λ（t）]為布朗運動，用來描述性能退化量的不確定性. 目前針對描述非線性特征的連續非線性函數Λ（t） 有兩種模型：Λ1 （t） = Λ1 （t，d ） = td；Λ2 （t） =Λ2 （t，d ） = exp（dt），應當根據退化數據選用合適的轉換函數.

Wiener 過程退化值變化量的分布為Δyij| μ，σ2 ～ N （ μΔΛi （tj ），σ2ΔΛi （tj ）），Yij 表示第i 個產品在tj 時刻的退化測量值（i = 1，2，…，N；j =1，2，…，M ），Δyij = Yi （tj ） - Yi （tj - 1 ），ΔΛi （tj ） = Λi （tj ） -Λi （tj - 1 ），它的概率密度函數為：

在使用MCMC-Gibbs 抽樣算法求得未知參數{θμ，λμ，a，b，d}的估計值之后，對Copula函數的相關參數θ 進行估計，參數θ 可以采用極大似然估計（maximum likelihood estimation，MLE）法求取. 記各個性能退化量的邊緣失效分布函數為FTi （t），i =1，2，…，L，根據式（24），基于Copula函數的性能退化量的聯合邊緣失效概率密度函數為：

以二元性能退化為例，令Ψ1 = {θμ 1，λμ 1，a1，b1，d1}和Ψ2 = {θμ 2，λμ 2，a2，b2，d2}分別表示兩種性能退化下失效分布模型的未知參數，其對數似然函數可以表示為：

將已經求得的未知參數{θμ，λμ，a，b，d}的估計值代入上述對數似然函數中，利用MATLAB 中的fminsearch函數便可以求出Copula函數的參數θ 的估計值. 至此便可以得到全部的未知參數估計值. 融合壽命信息與多性能退化信息可靠性評估方法流程圖如圖4所示.

5 實 例

5.1 某型號數控滾齒機FMA 分解

FMA分解按照“功能-運動-動作”對滾齒機進行分解，分解圖如圖5所示. 通過對滾齒機的可靠性分析得到該滾齒機中關鍵元動作單元為蝸桿轉動元動作單元，考慮保密要求，不進行具體闡述.

5.2 蝸桿轉動元動作單元可靠性評估

5.2.1 可靠性模型

搭建蝸輪蝸桿副可靠性試驗臺，周期性監測收集齒側間隙和蝸桿角位移的離散退化數據，試驗臺主要包括試驗臺架、蝸輪蝸桿、蝸輪軸、傳感器和磁粉制動器，試驗臺架上安裝電機支架，電機支架上固定電機，電機通過花鍵軸連接蝸桿，蝸桿蝸輪嚙合.蝸輪蝸桿副可靠性試驗臺如圖6所示.

結合失效壽命數據，使用上述方法完成可靠性建模，得到蝸桿轉動元動作單元的可靠性評估結果.如圖7和圖8分別為在蝸桿轉動元動作單元可靠性試驗過程中收集到的齒側間隙退化數據和定位精度退化數據，考慮到試驗成本和機床廠的保密要求，采用塊Bootstrap法和插值法對原始數據進行了適當處理，僅保留數據的統計學特性.

由圖7和圖8可以看出，隨著時間的推移，齒側間隙和定位精度兩個性能退化量存在波動和隨機性，因此，用隨機效應下Wiener過程來表示齒側間隙的退化量和定位精度的退化量. 齒側間隙退化有明顯的非線性特性，因此認為其性能退化模型中的Λ（t） = Λ（t，d ） = td，而定位精度退化軌跡浮動較小且整體退化趨勢更符合線性過程. 因此，用隨機效應下非線性Wiener過程來描述齒側間隙退化過程，用隨機效應下線性Wiener過程描述定位精度退化過程.對圖7和圖8中的樣本1、樣本2和樣本3，設樣本序號為i，則i = 1，2，3，Y1 （tij ）表示第i 個樣本在tj 時刻的齒側間隙退化數據，Δy1ij = Y1 （tij ） - Y1 （tij - 1 ）為樣本i 的齒側間隙退化增量；Y2 （tij' ）表示第i 個樣本在tj'時刻的定位精度退化數據，Δy2ij' = Y2 （tij' ） - Y2 （tij' - 1 ）為樣本i 的定位精度退化增量. 為了滿足該機床的功能要求，通過分析可得齒側間隙退化過程的失效閾值為CB = 280，定位精度退化過程的失效閾值為CP = 500.

根據觀測數據對性能退化模型中的固定參數進行求解. 假定隨機效應下非線性Wiener過程的漂移系數μ 是常數，則該隨機過程性能退化量的概率密度函數可以表示為：

固定參數{a，b，d }以及漂移系數μ 的先驗分布為無信息先驗分布，采用MCMC-Gibbs抽樣算法估計4個未知參數的值，抽取50 000個樣本，考慮到前期迭代的不穩定性，設置燒入期為8 000.齒側間隙和定位精度退化模型固定參數求解迭代過程分別如圖9和圖10所示.為了減少初始賦值對參數估計結果的影響并更好地判斷其收斂性，生成兩條MCMC鏈，給它們賦予不同的初始值，兩條不同的MCMC鏈分別用紅線與藍線表示.

兩個性能退化模型中的固定參數估計結果如表1所示.

對融合失效壽命數據的先驗分布超參數進行求解. 元動作單元的可靠性高，失效壽命數據較難獲得，用于確定先驗分布的蝸桿轉動元動作單元失效壽命數據將結合整機故障數據以及相似元動作單元的壽命信息獲得. 經分析，蝸桿轉動元動作單元的歷史失效壽命數據分別為5 150 h、5 469 h、5 038 h. 根據式（11），利用MATLAB中的fminsearch函數求解參數，結果如表2所示.

將{θμ1，λμ1，θμ2，λμ2 }的先驗分布代入式（20），可以得到融合失效壽命信息的齒側間隙退化下的后驗分布與定位精度退化下的后驗分布，利用MCMCGibbs抽樣法求解這兩個后驗分布.齒側間隙和定位精度退化下融合模型未知參數迭代求解過程分別如圖11和圖12所示，其中紅線與藍線分別表示具有不同初始值的兩條MCMC鏈. 兩個退化模型的后驗分布參數估計結果如表3所示.

將齒側間隙退化模型中的未知參數與定位精度退化模型中的未知參數代入式（10），可以得到基于單性能退化的可靠度函數R1 （t） 和R2 （t）. 根據它們之間的失效相關性進行分析. 圖13為失效分布函數F1和F2的頻率分布直方圖.

由前文關于Copula函數的介紹可以得知，橢圓族Copula（包括Gaussian Copula、t-Copula）適用于描述線性相關且上下尾部有對稱性的變量關系；阿基米德族Copula（包括Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula）能夠描述變量間的非對稱依賴關系，對于描述尾部相關性較強的數據效果較好. 根據圖13的直方圖可以排除橢圓族Copula，從阿基米德族Copula中選取合適的Copula函數. 采用極大似然法對Copula函數中的參數進行求解，3種Copula函數參數估計值及AIC、BIC評價準則計算結果如表4所示.

由模型評價準則可以看出，Gumbel Copula的值最小，二維 Gumbel Copula函數的密度函數不具有對稱性，上尾部較下尾部高，適用于描述上尾部相關特征的變量，與圖13 頻率分布直方圖的觀察結果相符，因此本文選用Gumbel Copula函數描述兩個失效分布函數之間的相關性.

融合壽命信息的齒側間隙退化與定位精度退化聯合可靠度模型為：

5.2.2 模型驗證與可靠性評估

本文采用交叉驗證的方法對所提出的融合壽命信息的性能退化模型進行驗證，并利用模型對比的方法驗證考慮多性能退化失效相關關系的合理性，在此基礎上，使用本文提出的模型完成蝸桿轉動元動作單元的可靠性評估. 齒側間隙和定位精度的前95% 退化數據作為模型參數估計過程中的觀測數據，后5%的退化數據作為模型驗證點對退化模型進行交叉驗證. 驗證結果分別如圖14和圖15所示，箱形圖的中間線對應預測結果的均值，上下邊緣分別對應預測結果90%置信區間上下限.

從圖14和圖15可以看出，箱形圖基本可以涵蓋實際觀測值，說明預測值與真實值較為接近，本文所提出的性能退化模型和參數估計方法可以很好地描述性能退化過程并且擁有較強的性能退化預測能力.

為了驗證本文所提方法的可行性和優越性，采用不同模型求解蝸桿轉動元動作單元的可靠度.

建立如下3個不同可靠性模型：

1）不考慮失效相關性的基于隨機效應非線性Wiener過程的可靠性模型M1.

RM1 （t） = RN1（t） × RN2（t） （35）

2）不考慮失效相關性的基于融合失效壽命數據的隨機效應非線性Wiener過程的可靠性模型M2.

RM2 （t） = R1 （t） × R2 （t） （36）

式中： Ri（t），i=1，2 為兩參數威布爾分布的可靠度函數.

3）考慮失效相關性的基于融合失效壽命數據的隨機效應非線性Wiener過程的可靠性模型M3.

RM3 （t） = R1 （t） + R2 （t） - 1 +exp{-{[-lnF ] } } T1 （t） θ + [-lnF ] T2 （t） θ 1/θ（37）

不同模型下蝸桿轉動元動作單元可靠度曲線如圖16所示.

由圖16可知，模型M1得到的可靠度偏高，主要是因為其性能退化模型與真實情況偏差較大，在此基礎上進行可靠性評估準確度會降低. 從試驗過程中的性能退化情況來看，M2與M3的可靠度曲線更符合實際情況. 將可靠壽命作為蝸桿轉動元動作單元的可靠性指標，當蝸桿轉動元動作單元的可靠度達到0.5時所對應的可靠壽命稱為中位壽命，蝸桿轉動元動作單元的中位壽命為T0.5 = 6 792 h. 結合蝸桿轉動元動作單元的歷史失效壽命進行分析，可以看出，模型M3得到的可靠性評估結果優于模型M2，忽略失效相關關系的可靠性評估方法會低估元動作單元可靠度，影響后續分析. 因此，本文提出的融合壽命信息的性能退化模型更貼合蝸桿轉動元動作單元的真實運行狀態，考慮多性能退化失效相關性的可靠性模型可以更準確地描述其可靠度變化過程.

6 結 論

本文建立了融合壽命信息與多性能退化信息的可靠性評估模型，主要結論如下：

1） 針對數控機床可靠性建模和分析困難的問題，本文從機床完成其功能的角度出發，依據其運動和動力的傳遞，將機床分解為一系列元動作單元，準確評估關鍵元動作單元的可靠性水平對保證機床可靠性具有重要意義.

2） 充分考慮試驗樣本的個體差異性與共同屬性，并且根據實際退化軌跡考慮退化過程存在非線性的情況，使用具有隨機效應的非線性Wiener過程建立性能退化模型可以更好地擬合各參數的退化趨勢.

3） 針對服從隨機效應的非線性Wiener過程的性能退化量，考慮到退化數據不足的情況，提出基于貝葉斯理論的融合失效壽命信息性能退化模型，實例驗證表明，該模型可以很好地擬合實際退化過程，能夠準確預測未來時間點的退化情況.

4） 考慮多退化失效相關性，根據模型優選準則選用合適的Copula函數進行定量分析，建立的基于Copula函數的多性能退化可靠性模型與模型M1和模型M2進行對比，表明考慮失效相關性的模型具有更高的可靠性評估精度，更符合實際情況. 本文提出的可靠性評估模型準確性更高，能為后續機床可靠性工作提供數據基礎和參考依據.

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基金項目：國家自然科學基金資助項目（52275473，51835001）， National Natural Science Foundation of China（ 52275473，51835001）