棉花磷肥施用量與磷素養分平衡的數學模型構建

摘要：為了優化棉花磷肥施用量，保證磷素養分平衡，選擇Logistic模型分析棉花不同生長期的磷素積累量，之后使用指數模型和線性模型分析施磷量與土壤速效磷含量之間的關系；基于肥料效應函數法，構建了一種線性加平臺數學模型，模擬磷肥施用量和棉花產量間的關系；并在此基礎上通過養分平衡法確定最佳施肥量。結果表明，當磷肥施用量逐漸增加，棉花的產量也隨之提高，當磷肥（P2O5）施用量在83.99 kg/hm2時，子棉產量達最高，為6 410.784 kg/hm2。通過優化施肥策略，確定棉花磷素輸入量為21.98 mg/kg，對應磷肥（P2O5）施用量為82.64 kg/hm2，該施肥量既能保證棉花產量，也能確保磷素養分獲得和支出之間的平衡。

關鍵詞：棉花；磷肥；施用量；磷素養分平衡；數學模型；肥料效應函數法

中圖分類號：S147.21+4；S158.2；S562" " " " "文獻標識碼：A

文章編號：0439-8114（2025）01-0039-05

DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2025.01.007 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Construction of mathematical models for phosphorus fertilizer application amount and phosphorus nutrient balance in cotton

CAO Zuan， HU Yan， LIU Xue-yun

（College of Intelligent Science and Engineering， Xi’an Peihua University， Xi’an" 710125，China）

Abstract： In order to optimize the application amount of phosphorus fertilizer in cotton and ensure the balance of phosphorus， the Logistic model was selected to analyze the phosphorus accumulation in different growth stages of cotton， and then the exponential model and linear model were used to analyze the relationship between phosphorus application amount and soil available phosphorus content. Based on the fertilizer effect function method， a linear plus platform mathematical model was constructed to simulate the relationship between phosphorus fertilizer application amount and cotton yield. On this basis， the optimum fertilization amount was determined by the nutrient balance method. The results showed that as the application of phosphorus fertilizer gradually increased， the yield of cotton also increased accordingly. When the application amount of phosphorus fertilizer was 83.99 kg/hm2， the yield of seed cotton reached the highest level， which was 6 410.784 kg/hm2. By optimizing the fertilization strategy， the phosphorus input of cotton was determined to be 21.98 mg/kg， and the corresponding phosphorus fertilizer application amount （P2O5） was 82.64 kg/hm2， which could not only ensure the cotton yield， but also ensure the balance between the acquisition and expenditure of phosphorus.

Key words： cotton； phosphate fertilizer； application amount； phosphorus nutrient balance； mathematical model； fertilizer effect function method

棉花作為重要的經濟作物，其生長發育對養分的需求較為復雜。其中，磷素養分在棉花生長期起著至關重要的作用。然而，在實際生產中，磷肥施用量的確定往往缺乏科學依據，導致磷素養分的分配存在精準性和高效性不足的問題，進而影響棉花的產量和品質［1］。當前，在農業生產中，農戶常常依賴經驗或傳統習慣來決定磷肥的施用量，缺乏科學依據和精準指導。這種做法往往導致施肥量偏高，未能充分考慮土壤養分狀況和作物實際需求［2，3］。為此，本研究引入了多種模型方法，以科學分析棉花在不同生長期的磷素積累情況，并優化磷肥的施用策略，以提高磷素養分的利用率。

1 試驗設計與數學模型構建

1.1 棉花磷肥施用試驗設計

研究區位于湖北省枝江市某農田，具有典型的棉花種植生態環境。土壤為中等肥力的黃壤土，排水良好，適宜棉花根系生長。該試驗于2022—2023年進行，春季播種，種植模式為一膜六行，棉花品種為鄂棉15。磷肥選擇重過磷酸鈣，其含有較高的水溶性磷，能夠迅速被植物吸收，滿足棉花在生長關鍵期對磷的需求。試驗設6個不同磷肥（P2O5）施用水平，分別為0、50、100、150、200、300 kg/hm2，用于研究不同磷肥用量對棉花生長和產量的影響，磷肥施用量的梯度設計有助于探討磷肥的最佳施用量，為實際生產提供指導。鉀肥為200 kg/hm2硫酸鉀，氮肥為100 kg/hm2尿素。2年時間在試驗地按相同的密度和品種種植棉花，播種時間和方法保持一致。整個生長期內，除了磷肥以外，其他管理措施如灌溉、病蟲害防治均按照統一標準進行，確保試驗結果僅反映磷肥施用量的差異。

每個處理設置3個重復以確保數據的可靠性［4，5］，每個重復的小區面積為50 m2，為了減少環境差異對試驗結果的影響，各處理小區隨機排列。同時，每個處理設置3個重復以確保數據的可靠性［4，5］。所有肥料在播種前翻地時一次性施入，按照當地棉花生產的普遍管理模式進行灌溉和施肥等。為了確保試驗的可比性，耕作、除草、防病蟲害等措施保持一致［6］。在棉花成熟期，為了確保采樣的代表性，采樣方法應遵循隨機取樣原則。首先確定樣本區域，在每個小區內隨機劃定多個10 m2區域，確保這些區域覆蓋小區的不同部分，另外，為了避免邊緣效應，劃定區域時排除距離邊界至少1 m的邊緣區域。每個處理小區內至少采樣3個10 m2的區域，以獲得具有代表性的產量數據。采樣區域應遠離小區的邊緣和步道，確保采集到的數據僅反映處理效果，而非邊緣效應。在劃定的采樣區域內，按照常規方法采摘成熟的棉花，確保不遺漏任何一個棉鈴。將采摘到的棉花樣本進行清理，去除雜質后稱重，記錄子棉質量。記錄每個小區的重復采樣數據，計算各處理小區的平均產量。最后，將數據輸入SPSS 15.0統計軟件進行分析，以比較不同磷肥施用量對棉花產量的影響［7，8］。

1.2 測定指標及方法

1.2.1 棉花植株磷含量的測定 將收集到的棉花植株樣品，包括根、莖、葉、果等部位，在烘箱中烘干，溫度控制在60～70 ℃，烘干至恒重。將烘干后的植株樣品放入電動磨樣機中粉碎，直至樣品變為細粉末。粉碎后的樣品過0.3 mm孔篩，以獲得均勻的細粉末。將過篩后的樣品裝入自封袋中，密封保存，待進一步分析。準確稱取1.0 g的植株樣品粉末，放入消煮管中。向樣品中加入適量的硫酸和過氧化氫（體積比1∶1），在通風櫥中加熱消煮，溫度控制在150～200 ℃，直到樣品完全溶解，溶液澄清為止。消煮完成后，將溶液冷卻至室溫。將冷卻后的溶液轉移至小白瓶中，密封保存，備用，各植株器官的磷含量采用釩鉬黃比色法測定［9］。

1.2.2 土壤樣品采集及速效磷含量的測定 土壤樣品依據隨機取樣原則采集，選取每個處理小區內的3個隨機點，每個隨機點采樣深度為20 cm，以便采集到棉花根系活動較活躍的土層。每個取樣點采集500 g土壤樣品。土壤速效磷含量采用碳酸氫鈉浸提-鉬銻抗比色法測定。

1.3 數學模型的建立

棉花磷肥施用試驗為建立磷肥施用量與產量及養分平衡之間關系的數學模型提供了基礎和驗證依據。土壤磷素含量的補充途徑為投入的磷肥量。為保證土壤供磷能力，不僅要考慮磷肥施用后產量、肥料利用效率，還需研究土壤中的磷素養分平衡情況［10］。

1）磷素累積量。針對棉花生長過程，研究選擇Logistic模型分析棉花磷素累積量（yL），相關的數學模型如式（1）所示。

[yL=q1+me-nt]" " " " " nbsp; " " " " " " "（1）

式中，q為描述生長極限的常數，通常由試驗數據通過擬合得到；m為與棉花累積的磷素量相關的阻滯系數；n為棉花累積的磷素量的增長率；t為出苗后的天數。

2）磷肥施用量與土壤速效磷含量的關系。使用指數模型和線性模型研究磷肥施用量（x）與土壤速效磷（[yp]）含量之間的關系，以從不同角度分析和理解這一關系，并找到最適合的模型來預測和指導實際施肥操作［11］。假設土壤速效磷含量與磷肥施用量之間更符合指數模型，則關系式如式（2）所示。

[yp=l+menx]" " " " " " " "（2）

式中，[m]、[n]、[l]為待估參數。

若磷肥施用量與土壤速效磷含量之間為線性關系，則關系式如式（3）所示。

[yp=mx+n]" " " " " " " " " （3）

3）磷肥利用效率相關指標的計算。磷肥農學利用率（Ragr）是指單位施磷量所增加的作物產量，反映棉花對磷養分的利用效率，計算式如式（4）所示。

[Ragr=P1-P2x]" " " " " " "（4）

式中，P1為施用磷肥區域的棉花產量，P2為未施用磷肥區域的棉花產量。

磷肥累積利用率（Racc）指棉花在其生長發育過程中對土壤中施用磷肥的累積利用效率，計算式如式（5）所示。

[Racc=CTx]" " " " " " " " "（5）

式中，[CT]為棉花吸磷量。

磷肥偏生產力（RP）指單位磷肥用量對單位棉花產量的貢獻［12］，其能夠反映農業生產中磷肥的利用效率和經濟效益，計算式如式（6）所示。

[RP=P1x]" " " " " " " " " "（6）

4）磷肥施用量與棉花產量的擬合。在推薦棉花磷肥施用量中，為了提高試驗效率，肥料效應函數種類選擇線性加平臺模型［13，14］，模擬磷肥施用量和棉花產量（y）之間的關系，如式（7）所示。

[y=a+bxx≤Sy=Pxgt;S]" " " " " （7）

式中，a是方程的截距，即當不施肥（x=0）時的棉花產量；b為一次項回歸系數，表示磷肥施用量增加時產量的增長幅度，即單位磷肥施用量對產量的影響；S為直線和平臺的交點，即達到平衡時的施肥量；P為施肥量達到或者超過S時的最大產量。

5）養分平衡法確定最佳施肥量。結合農作物施肥生產實踐中的應用效果，選擇施肥量常用方法——養分平衡法［15］來確定適宜的施肥方案。該方法估算施肥量概念清楚，容易掌握。其數學模型如式（8）所示。

[x=T100×N]" " " " " " " " （8）

式中，T為目標產量；N為養分系數，表示每100 kg棉花所需要的養分量。通過養分系數，根據棉花的需求量和土壤中養分含量的情況，制定適當的施肥方案。養分系數計算式如式（9）所示。

[N=CTy×100]" " " " " （9）

土壤中磷素的供應與棉花對磷素的需求之間的差額，即磷素的盈余或不足量［16］，可以反映土壤中磷素的供應情況與棉花對磷素的實際需求之間的關系。磷素養分盈虧量（V）計算式如式（10）所示。

[V=C2-C1]" " " " " " " （10）

式中，C1、C2分別為施肥前、后的土壤磷素含量。

2 結果與分析

2.1 棉花磷素積累量的變化

試驗地在播種前經過統一耕作處理，施入氮肥、鉀肥，確保除磷肥外的其他養分供應平衡。在同一試驗地進行第二年的試驗，試驗田塊經過同樣的前期處理，以保持試驗條件的一致性。在棉花生長期內，測定棉花植株磷素積累量，2年試驗中磷素平均積累量的變化結果如圖1所示。隨著出苗時間延長，不同磷肥施用量的磷素積累量變化趨勢基本相同。磷肥施用量為100 kg/hm2時，磷素最終的積累量最大，為82.64 kg/hm2，超過100 kg/hm2的施用量時，磷素積累量略微下降。磷肥施用量對磷素積累量的影響是正向的，但是超過一定量后，進一步增加磷肥施用量磷素積累量不再增加，甚至可能出現一定程度的下降。試驗結束時，6個磷肥施用處理的磷素積累量為55.31～82.64 kg/hm2。

2.2 磷肥施用量與土壤速效磷含量的關系

在棉花生長期內，每隔15 d采集土壤樣本，分析速效磷含量，采用指數模型和線性模型確定磷肥施用量與土壤速效磷含量之間的關系，擬合情況如圖2所示。指數模型的[R2=0.918]，說明磷肥施用量與土壤速效磷含量之間的關系擬合較好，具有較高的相關性（圖2a）；線性模型的[R2=0.893]，對數據的擬合情況較好，可以較好地描述磷肥施用量與土壤速效磷含量之間的關系（圖2b）。這表明指數模型更適用于土壤施肥量與土壤速效磷含量之間的擬合。隨著磷肥施用量的增加，土壤速效磷含量呈增加趨勢，說明施肥能夠提高土壤的基礎供肥力。

2.3 磷肥施用量與其利用率的關系

磷肥施用量與Ragr、Racc、RP的擬合結果如圖3所示。磷肥施用量與Ragr擬合關系的R2=0.779，隨著磷肥施用量的增加，Ragr先是緩慢提升至11.98 kg/kg，后逐漸降低，增加磷肥施用量可以提高Ragr，但過量施肥會導致Ragr下降（圖3a）。磷肥施用量與Racc擬合關系的R2=0.855，隨著磷肥施用量的增加，Racc逐漸下降，存在磷肥的過量施入導致的累積效應（圖3b）。磷肥施用量為50 kg/hm2，Racc最高，為1.51%。磷肥施用量與RP擬合關系的R2=0.898，磷肥施用量為50 kg/hm2，RP達最高，為116.11 kg/kg；隨著磷肥施用量的增加，RP逐漸下降，說明過量施肥并不能提高磷肥生產力（圖3c）。因此，應該根據實際情況選擇適宜的磷肥施用量，以提高棉花的生產效率和資源利用效率。

2.4 磷肥施用量與棉花產量的模型關系

采用線性加平臺模型擬合磷肥施用量與子棉產量的關系，如圖4所示。該模型線性部分表示肥料施用量增加時作物產量呈線性增加趨勢，而平臺部分表示當肥料施用量達一定水平后，作物產量達飽和狀態，不再增加。通過將磷肥施用量和子棉產量數據輸入SPSS 15.0軟件進行非線性回歸分析，擬合得到二者的線性加平臺函數方程：y=5 206.337+14.339x（x≤83.998 kg/hm2）。當磷肥施用量在83.99 kg/hm2時，子棉產量達最高，為6 410.784 kg/hm2。之后磷肥施用量再增加，子棉產量始終保持不變。該方法能夠較為合理地確定磷肥施用量，保證經濟效益，并且最接近土壤養分的獲得和支出平衡。

2.5 磷素養分平衡的實現

施磷前后的土壤速效養分情況如表1所示。棉花對磷素的吸收能力為100 kg棉花平均吸收的磷素量為1.12 kg。根據線性加平臺函數的方程及養分系數公式，獲得對應磷肥施用量的養分系數值。綜合考慮土壤類型、pH、土壤有機質等土壤性質，設計棉花磷素輸入量為21.98 mg/kg以充分支持其生長，此時施磷量（P2O5）為82.64 kg/hm2。這個施磷量既能夠保證棉花產量，又能夠達到磷素養分的平衡，使得磷素的輸入和輸出達到平衡狀態。

3 結論

為了提高磷素養分的利用率，研究結合養分平衡法和肥料效應函數法，設計了一種磷肥施用數學模型。結果表明，花鈴期磷素積累量的增長變化最大，不同磷肥施用量對磷素積累量的影響在花鈴期內體現得最明顯，增長量為35.37～40.39 kg/hm2。磷肥施用量與土壤速效磷含量指數模型的R2=0.918，隨著磷肥施用量的增加，土壤速效磷含量逐漸增加。磷肥施用量與農學利用率、累積利用率、偏生產力擬合關系的決定系數分別為0.779、0.855、0.898。增加磷肥施用量可以提高農學利用率，但過量施肥可能導致農學利用率下降。隨著磷肥施用量的增加，磷肥累積利用率逐漸下降，存在磷肥過量施入導致的累積效應。磷肥（P2O5）施用量為50 kg/hm2時，累積利用率最高，為1.51%，磷肥偏生產力也達最高，為116.11 kg/kg。隨著磷肥施用量的增加，磷肥偏生產力逐漸下降，說明過量施肥并不能提高磷肥生產力。另外，施用磷肥能夠提高土壤的基礎供肥力。本研究方法能夠合理分配磷肥施用量，滿足經濟效益。這為棉花生產提供了有價值的信息，同時展示了在優化施肥策略、提高棉花產量和保證養分平衡方面的應用潛力。但試驗可能受到植株采集方法的限制，存在一定的偏差，未來可以設計智能化植株采集機器，有助于提高計算的準確性。

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