數(shù)控機(jī)床熱誤差分組建模優(yōu)化研究

摘要：對(duì)于加工參數(shù)突變的較長加工過程，傳統(tǒng)多變量回歸熱誤差模型會(huì)產(chǎn)生局部較差的預(yù)測精度。為此，提出分組建模以改善預(yù)測精度。首先借助硬分?jǐn)帱c(diǎn)和軟分?jǐn)帱c(diǎn)設(shè)計(jì)對(duì)溫度變量、熱誤差變量采樣數(shù)據(jù)序列分組的方法；其次，以熱誤差擬合殘差和為目標(biāo)函數(shù)，利用遺傳算法實(shí)現(xiàn)硬分?jǐn)帱c(diǎn)的優(yōu)化選擇；第三，給出組間熱誤差模型系數(shù)更替的判別依據(jù)。最后在一臺(tái)車削中心上針對(duì)徑向熱誤差進(jìn)行建模驗(yàn)證，驗(yàn)證數(shù)據(jù)來自有限元仿真。從熱誤差預(yù)測結(jié)果看，誤差預(yù)測精度隨著硬分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)的增加而增加，但增加幅度越來越小，且硬關(guān)鍵點(diǎn)位置具有相對(duì)穩(wěn)定性；當(dāng)分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)從0增加至4時(shí)，徑向熱誤差擬合殘差和從0.1153 mm減少到0.0331 mm。因此，分組熱誤差模型對(duì)提高預(yù)測精度是有效的。

關(guān)鍵詞：熱誤差；數(shù)控機(jī)床；優(yōu)化分組；建模；遺傳算法

中圖分類號(hào)：TH161"""""""""""""""""""""""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A"""""""""""""""""""""nbsp;"" doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2025.02.002

文章編號(hào)：1006-0316 （2025） 02-0008-08

Research on Optimized Group-Wise Modeling of Thermal Errors in a CNC Machine Tool

ZHAO Haitao，LEI Ming，CHEN Hailian，LING Xiaohui

（ Physical Science and Technology College， YiChun University， Yichun 336000， China ）

Abstract：For a long machining process with abrupt changes of machining parameters， the conventional multivariate regression analysis based thermal error model can produce a local poorer prediction accuracy， so a group-wise modeling method is proposed in this paper. Firstly resort to hard break points and soft break points， design a method for grouping of the sampling data series for temperature variables and thermal error variables. Secondly realize the optimized selection of hard break points using genetic algorithm with the sum of fitting residuals of thermal errors as the objective function. Thirdly provide a method for updating of coefficient vectors for different soft groups. The validation test results for the radial thermal error for the given working conditions on a turning center show that the prediction accuracy increase with the more number of the hard break points， but the increasing magnitude becomes smaller， furthermore the locations of the hard break points are relatively fixed; the fitting residual sum for the radial thermal errors decreases from 0.1153 mm to 0.0331 mm when the number of hard break points is from 0 to 4， which means the group-wise thermal error model is helpful to improve the predicting accuracy.

Key words：thermal error；CNC machine tool；optimized grouping；modeling；genetic optimization

熱誤差補(bǔ)償是控制機(jī)床熱誤差的主要方法之一。實(shí)施熱誤差補(bǔ)償前要建立相應(yīng)的熱誤差模型來實(shí)時(shí)根據(jù)溫度變化預(yù)測熱誤差，熱誤差模型的預(yù)測精度直接決定補(bǔ)償效果。因此，研究熱誤差建模技術(shù)具有重要意義。

很多獨(dú)特的建模方法已經(jīng)被開發(fā)和應(yīng)用到行業(yè)中。作為簡單有效的經(jīng)典建模方法，多變量回歸分析建模法及其各種改進(jìn)形式經(jīng)常被用于熱誤差預(yù)測工作[1-3]。Naeem等[4]使用有限元技術(shù)開發(fā)了一種離線建模方法，結(jié)合高效在機(jī)測量方法確定對(duì)模型進(jìn)行標(biāo)定的策略，有效降低建立機(jī)床熱響應(yīng)所需的停工時(shí)間。Soichi等[5]運(yùn)用五軸機(jī)床的運(yùn)動(dòng)模型，通過精加工試件的尺寸變化導(dǎo)出了熱引起的轉(zhuǎn)動(dòng)軸中線位置和方向誤差。李有堂等[6]針對(duì)熱誤差建模問題，結(jié)合布谷鳥算法的隨機(jī)萊維飛行機(jī)制和最小二乘支持向量機(jī)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化與線性規(guī)劃等優(yōu)點(diǎn)，提出基于布谷鳥算法優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)的熱誤差建模方法。隨著研究的進(jìn)展，人工智能技術(shù)開始用于熱誤差建模，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)[7-11]和遺傳優(yōu)化技術(shù)[12]。理論上這些具有人工智能特性的建模方法能夠適應(yīng)各種復(fù)雜工況，但必須經(jīng)過大量復(fù)雜工況的學(xué)習(xí)訓(xùn)練才能達(dá)到滿意的預(yù)測精度，成本較高，這也限制了其應(yīng)用。

多變量回歸建模時(shí)，通常是將所有時(shí)刻的采樣數(shù)據(jù)同時(shí)代入一個(gè)溫度變量的多項(xiàng)式模型中，得到一組方程個(gè)數(shù)遠(yuǎn)超溫度變量個(gè)數(shù)的方程組，運(yùn)用最小二乘原理求得多項(xiàng)式模型各項(xiàng)系數(shù)，這樣得到的熱誤差模型不可避免會(huì)引起局部較大預(yù)測誤差。這是因?yàn)橐环矫妫瑱C(jī)床在任意時(shí)刻的熱誤差只受此時(shí)刻前機(jī)床熱狀態(tài)的影響，而與此時(shí)刻后機(jī)床熱狀態(tài)無關(guān)；另一方面，加工過程中加工參數(shù)變化時(shí)，也會(huì)引起溫度關(guān)鍵點(diǎn)溫度與熱誤差間映射關(guān)系發(fā)生較大變化。為解決此問題，本文提出基于遺傳優(yōu)化的分組建模方法，并在一臺(tái)車削中心上進(jìn)行了仿真預(yù)測驗(yàn)證。

1 自適應(yīng)分組建模方法

1.1 多變量回歸分析模型特性分析

熱誤差建模的主要工作是確定溫度變量與熱誤差變量之間的映射關(guān)系。對(duì)于多變量回歸模型，這種映射關(guān)系表達(dá)為：

（1）

式中：為待預(yù)測的熱誤差；為待求解的系數(shù)行向量，包括M個(gè)待求系數(shù)，即M個(gè)溫度變量；為溫度變量列向量。

每一次采樣數(shù)據(jù)代入式（1）得到一個(gè)關(guān)于未知系數(shù)X的方程，將所有N次采樣數(shù)據(jù)代入式（1）得到一組包含N個(gè)方程、M個(gè)未知數(shù)的方程組。通常N遠(yuǎn)大于M，因此利用最小二乘法可求得系數(shù)向量X。熱誤差預(yù)測精度可用擬合殘差和表示為：

（2）

式中：R為擬合殘差和；和分別為第i次采樣的實(shí)際熱誤差和相應(yīng)的模型預(yù)測熱誤差。

溫度變量數(shù)M越多，意味著獲得的機(jī)床溫度分布越準(zhǔn)確，因此R隨M的增多而減小，特別當(dāng)M＝N時(shí)，由于方程數(shù)與未知變量數(shù)相等，則R＝0。然而在機(jī)床上布置如此多的傳感器不現(xiàn)實(shí)，即使有這么多傳感器，導(dǎo)出的熱誤差模型也會(huì)由于失去了最小二乘法本身具有的統(tǒng)計(jì)效果而使預(yù)測精度變差。因?yàn)楝F(xiàn)場預(yù)測時(shí)，不可能保證實(shí)測溫度值與建模時(shí)用的采樣溫度值相等。因此，將采樣數(shù)據(jù)序列按采樣時(shí)間進(jìn)行分組，在每組內(nèi)建立獨(dú)立的熱誤差模型，可間接起到增加傳感器數(shù)量的作用，從而提高熱誤差預(yù)測精度，這也是本文進(jìn)行分組建模研究的出發(fā)點(diǎn)。

1.2 遺傳優(yōu)化分組建模法變量分組處理及分?jǐn)帱c(diǎn)優(yōu)化

分組建模方法的關(guān)鍵工作是確定分?jǐn)帱c(diǎn)的數(shù)量和位置，分?jǐn)帱c(diǎn)本身也是溫度或熱誤差采樣數(shù)據(jù)序列的一個(gè)元素。傳統(tǒng)多變量回歸模型可看作分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)為0的特例。確定分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)量的總原則是，在滿足預(yù)測精度要求的前提下使用最少數(shù)量的分?jǐn)帱c(diǎn)。實(shí)踐中可從1開始進(jìn)行試選。對(duì)于分?jǐn)帱c(diǎn)的位置，由于侯選點(diǎn)眾多、沒有明顯的判據(jù)，比較難確定，這也是分組建模方法要解決的主要問題之一。

本文將分?jǐn)帱c(diǎn)分成兩類：硬分?jǐn)帱c(diǎn)和軟分?jǐn)帱c(diǎn)。相應(yīng)的分組過程也分兩步進(jìn)行：①使用硬分?jǐn)帱c(diǎn)進(jìn)行硬分組，②同時(shí)使用軟分?jǐn)帱c(diǎn)和硬分?jǐn)帱c(diǎn)進(jìn)行軟分組。硬分組是指直接從選定的分?jǐn)帱c(diǎn)處把采樣數(shù)據(jù)序列分成前后兩組，分?jǐn)帱c(diǎn)本身可放在任一組，本文分?jǐn)帱c(diǎn)放在前組，所選定的分?jǐn)帱c(diǎn)即為硬分?jǐn)帱c(diǎn)。分組時(shí)必需保證溫度和熱誤差的采樣數(shù)據(jù)序列按同樣的分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)量和位置進(jìn)行分組。現(xiàn)以第i（1≤i≤M）個(gè)溫度變量STi的采樣數(shù)據(jù)序列STSi為例進(jìn)行分組說明。設(shè)分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)為p，分組后STSi表示如式（3）所示。采樣數(shù)據(jù)序列被分隔成p＋1個(gè)硬組，表示為HGroup，如式（4）～（6）所示。

STSi＝[STSi（1）STSi（2）…STSi（brk（1））…STSi（brk（2））…STSi（brk（p））…STSi（N）]"""""""""""""" """"（3）

HGroup（1）＝[STSi（1）STSi（2）…STSi（brk（1））]""""""""nbsp;"""""""""""""""""""""""""""""""" （4）

HGroup（j）＝[STSi（brk（j－1）＋1）STSi（brk（j－1）＋2）…STSi（brk（j））]""""""""""""""""""""""" （5）

HGroup（p＋1）＝[STSi（brk（p）＋1）STSi（brk（p）＋2）…STSi（N）]""""""""""""""""""""""""""" "（6）

式中：STSi（brk（1））、STSi（brk（2））和STSi（brk（p））分別為第1、第2和第p個(gè)硬分?jǐn)帱c(diǎn)；brk（j）為待求解的第j個(gè)硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置，用與其對(duì)應(yīng)的采樣個(gè)體STSi（brk（j））在采樣數(shù)據(jù)序列里的序數(shù)來表示；2≤j＜p。

根據(jù)多變量回歸分析的特性，建立在硬組HGroup（j）內(nèi)的熱誤差模型只適用于本組所限定的溫度變化范圍區(qū)間[STSi（brk（j－1）＋1）， STSi（brk（j））]，因此如果采樣溫度落在區(qū)間[STSi（brk（j））， STSi（brk（j）＋1）]，將沒有對(duì)應(yīng)熱誤差模型可用，這里STSi（brk（j））和STSi（brk（j）＋1）分別為第j硬組的最后一個(gè)元素和第j＋1硬組的第一個(gè)元素。

為解決這個(gè)問題，執(zhí)行第二步軟分組。首先將式（3）中硬分?jǐn)帱c(diǎn)STSi（brk（j））的位置brk（j）減小n得到相應(yīng)的軟分?jǐn)帱c(diǎn)STSi（brk（j）－n），然后重新使用軟分?jǐn)帱c(diǎn)和硬分?jǐn)帱c(diǎn)分組，使得除第一組第一個(gè)元素默認(rèn)為采樣數(shù)據(jù)序列的第一個(gè)元素外，其余各組第一個(gè)元素均從軟分?jǐn)帱c(diǎn)開始，并且除最后一組最后一個(gè)元素默認(rèn)為采樣數(shù)據(jù)序列的最后一個(gè)元素外，所有組的最后一個(gè)元素均以硬分?jǐn)帱c(diǎn)結(jié)束，這樣得到的分組稱為軟組。軟分組后，各軟組SGroup（1）、SGroup（2）、SGroup（j）和SGroup（p＋1）又可記為STSi（1，;）、STSi（2，;）、STSi（j，;）和STSi（p＋1，;），其內(nèi)部元素如式（7）～（9）所示。

SGroup（1）＝[STSi（1） STSi（2）…STSi（brk（1））]""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" （7）

SGroup（j）＝[STSi（brk（j－1）－n＋1） STSi（brk（j－1）－n＋2）…STSi（brk（j））]"""""""""nbsp;""""""" （8）

SGroup（p＋1）＝[STSi（brk（p）－n＋1） STSi（brk（p）－n＋2）…STSi（N）]"""""""""""""""""""""" （9）

可以看出，第一軟組和第一硬組元素相同，并且任意兩個(gè)相鄰軟組間有n個(gè)共同元素，因此只要在軟組內(nèi)建立熱誤差模型就可解決上述問題，這時(shí)軟組間共同元素部分可適用于兩個(gè)軟組內(nèi)任一熱誤差模型。這里n稱為軟組偏置數(shù)，主要作用是形成相鄰兩組的重疊，通常為大于1的整數(shù)即可。為不改變?cè)加步M特性，n數(shù)值不宜過大，這里取n＝3。軟分?jǐn)帱c(diǎn)主要起輔助軟分組的作用，其位置并非獨(dú)立，而是通過硬分?jǐn)帱c(diǎn)進(jìn)行偏置得到，因此熱誤差模型特性主要由硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置決定，確定硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置成為接下來的主要工作。一般數(shù)據(jù)采樣頻率遠(yuǎn)高于熱誤差的變化速度，因此硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置在較小范圍內(nèi)變動(dòng)并不會(huì)對(duì)熱誤差預(yù)測產(chǎn)生較大影響，這本質(zhì)上可將找到硬分?jǐn)帱c(diǎn)的過程歸類于優(yōu)化問題，適合用遺傳算法求解。本文主要利用MATLAB軟件的遺傳優(yōu)化工具箱進(jìn)行硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置優(yōu)化工作。

進(jìn)行遺傳優(yōu)化操作首先要建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，然后通過優(yōu)化參數(shù)使目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最小，此時(shí)的參數(shù)就是最優(yōu)解。優(yōu)化硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置的目的是提高熱誤差模型的預(yù)測精度，因此，這里目標(biāo)函數(shù)用分組后熱誤差模型預(yù)測熱誤差與實(shí)際熱誤差在各采樣點(diǎn)處的擬合殘差和Rg表示，硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置brk（j）做為參數(shù)，表示為：

Rg＝Rg（1）＋Rg（j）＋Rg（p＋1）－Rgc（k） （10）

式中：Rg（1）、Rg（j）和Rg（p＋1）分別為第1、第j、第（p＋1）軟組的擬合殘差和，可利用式（1）和式（2）計(jì)算得到；Rgc（k）為相鄰兩軟組重疊部分元素所產(chǎn)生的擬合殘差和。

設(shè)X（j）為第j軟組熱誤差模型的系數(shù)向量，則可在MATLAB軟件中計(jì)算為：

X（j）＝SDS（j，;）/STS（j，;）"" 1≤j≤p＋1" （11）

式中：SDS（j，;）為對(duì)應(yīng)熱誤差變量SD的采樣數(shù)據(jù)序列SDS所分成的第j軟組，其起始點(diǎn)和終止點(diǎn)序數(shù)與對(duì)應(yīng)溫度變量STi的采樣序列STSi所分成的軟組序數(shù)應(yīng)一致；STS（j，;）為由所有溫度變量STi（1≤i≤M－1）各自對(duì)應(yīng)的采樣數(shù)據(jù)序列所分成的第j軟組形成的溫度采樣矩陣。

由于現(xiàn)場實(shí)施熱誤差時(shí)，重疊部分是在后一軟組模型中預(yù)測，所以這里Rgc（k）應(yīng)利用前一軟組模型計(jì)算為：

（12）

由于硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置brk（j）是以采樣數(shù)據(jù)序列中元素的序數(shù)表示，是整數(shù)形式，而目標(biāo)函數(shù)是各采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合殘差和，二者不方便直接寫為等式形式，因此，利用MATLAB函數(shù)定義功能將目標(biāo)函數(shù)寫為一個(gè)M文件形式，并以函數(shù)句柄形式在遺傳優(yōu)化程序中進(jìn)行調(diào)用。為保證優(yōu)化過程快速、可靠完成，還應(yīng)滿足以下約束條件：

n＜brk（j）＜N"""""""""""""""""""" （13）

brk（j－1）＜brk（j）"""""""""""""""" （14）

brk（j）－brk（j－1）＞cM""""""" """""（15）

式中：c為兩相鄰硬分?jǐn)帱c(diǎn)間距系數(shù)。

為保證多變量回歸模型具有自身要求的統(tǒng)計(jì)特性意義，相鄰兩個(gè)硬分?jǐn)帱c(diǎn)間的元素?cái)?shù)要足夠多，以使最小二乘法的作用得以顯現(xiàn)，但同時(shí)，硬分?jǐn)嚅g元素太多會(huì)使硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置的靈活性受損。因此綜合考慮，這里將c預(yù)設(shè)為3。實(shí)際上，經(jīng)過適當(dāng)修改目標(biāo)函數(shù)，c也可與硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置同步優(yōu)化。硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置確定后，即可通過式（11）得到各軟組內(nèi)的熱誤差模型系數(shù)向量X（j）。

1.3 組間熱誤差模型系數(shù)向量改變機(jī)制

在現(xiàn)場預(yù)測熱誤差時(shí)，分組熱誤差模型應(yīng)能夠根據(jù)實(shí)時(shí)采樣溫度變化正確選擇合適的組內(nèi)熱誤差模型，也就是選擇正確的X（j）。這里提供一個(gè)使用單溫度變量采樣數(shù)據(jù)來判斷更新模型系數(shù)的方法。考慮到隨著加工條件變化引起的溫度波動(dòng)（非單調(diào)變化），可通過式（16）來決定模型系數(shù)更新：

SX（j）＝SITSe（i）－STSe（i）""" （16）

式中：SX（j）為系數(shù)更新閾值；SITSe（i）為現(xiàn)場預(yù)測時(shí)STe的第i個(gè)采樣值；STe為所選作為判據(jù)的溫度變量，可以從ST1～STM中任選一個(gè)；IC為當(dāng)前采樣的次數(shù)；STSe（i）為建模時(shí)對(duì)應(yīng)STe的采樣數(shù)據(jù)序列的第i個(gè)元素；1≤j≤p。

基于上述判別式的熱誤差模型系數(shù)變更流程如圖1所示。

當(dāng)執(zhí)行預(yù)測熱誤差時(shí)，j首先被初始化為1，然后通過程序根據(jù)判別式SX（j）進(jìn)行系數(shù)更新。實(shí)施預(yù)測時(shí)必須保證實(shí)時(shí)采樣頻率與建模時(shí)對(duì)應(yīng)溫度采樣數(shù)據(jù)序列STSe的采樣頻率一致，否則系數(shù)更新可能出現(xiàn)混亂、無法保證組間系數(shù)正確更新。適當(dāng)增大軟組偏置數(shù)n可使相鄰軟組重疊元素增加，可在一定程度上預(yù)防系數(shù)更新混亂，但n值過大會(huì)導(dǎo)致分組優(yōu)勢下降，使熱誤差預(yù)測精度提高效果下降。

2 熱誤差預(yù)測證實(shí)

為檢驗(yàn)分組熱誤差模型預(yù)測效果，在一臺(tái)車削中心上進(jìn)行驗(yàn)證工作。所需建模數(shù)據(jù)主要按給定的工況要求通過仿真獲得，并對(duì)分組建模熱誤差模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行分析。

2.1 建模數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

考慮實(shí)驗(yàn)的時(shí)間、經(jīng)濟(jì)成本，仿真已成為機(jī)床熱誤差補(bǔ)償研究中獲得相關(guān)數(shù)據(jù)的重要手段。本文主要利用ANSYS軟件進(jìn)行瞬態(tài)熱結(jié)構(gòu)耦合仿真來獲得相關(guān)熱誤差采樣數(shù)據(jù)序列以及關(guān)鍵點(diǎn)的溫度采樣數(shù)據(jù)序列。給定工況為非切削狀態(tài)，無進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，主軸空轉(zhuǎn)，首先啟動(dòng)機(jī)床3000 s，然后停止1000 s，再啟動(dòng)4000 s，接著停1000 s，最后啟動(dòng)到熱平衡狀態(tài)。這時(shí)主軸箱熱變形為熱誤差的主要來源，因此僅針對(duì)主軸箱進(jìn)行溫度場及熱變形仿真計(jì)算，主軸軸承為主要熱源。

主軸轉(zhuǎn)速為2000 r/min時(shí)，前后軸承發(fā)熱量分別為102 W和85.4 W[13]。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)流換熱系數(shù)設(shè)為10 W/（m2·K）。材料密度為7.8×103 kg/m3，熱容為502.4 J/（kg·K），熱傳導(dǎo)系數(shù)為46.4 W/（m·K），熱膨脹系數(shù)為1.06×10-5 K-1，泊松比為0.3，彈性模量為209×109 N/m2，所用元素為適合熱結(jié)構(gòu)耦合分析的226號(hào)元素。主軸箱熱平衡時(shí)仿真計(jì)算得到的溫度場云圖和熱變形如圖2、圖3所示。瞬態(tài)仿真時(shí)間步對(duì)應(yīng)采樣頻率，這里設(shè)定為100 s。所有時(shí)間步上仿真計(jì)算的熱誤差數(shù)據(jù)構(gòu)成了對(duì)應(yīng)熱誤差變量SD的熱誤差采樣數(shù)據(jù)序列SDS，所有時(shí)間步上計(jì)算得到的各結(jié)點(diǎn)溫度數(shù)據(jù)構(gòu)成了對(duì)應(yīng)溫度變量ST的溫度采樣數(shù)據(jù)序列，這里每個(gè)有限元模型結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于一個(gè)溫度變量（溫度傳感器）。

2.2 分組熱誤差模型預(yù)測熱誤差結(jié)果分析

針對(duì)2.1節(jié)給出的機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)工況，建立不同硬分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)的徑向熱誤差模型，分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)為0代表無分組多變量回歸熱誤差模型，即退化為傳統(tǒng)多變量回歸模型。徑向熱誤差預(yù)測結(jié)果如表1所示，不同分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)徑向熱誤差預(yù)測曲線與真實(shí)曲線擬合狀態(tài)如圖4所示。

（a）p＝0""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" （b）p＝1

（c）p＝2""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" （d）p＝4

由表1可以看出，熱誤差預(yù)測精度隨著硬分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)的增加而增加，但增加幅度越來越小，說明分組建模可有效改善預(yù)測精度，且分?jǐn)帱c(diǎn)越少，精度改善性價(jià)比越高；然而，有時(shí)也會(huì)有局部例外，如2個(gè)硬分?jǐn)帱c(diǎn)比1個(gè)硬分?jǐn)帱c(diǎn)的擬合殘差和小0.0145 mm，而3個(gè)硬分?jǐn)帱c(diǎn)比2個(gè)硬分?jǐn)帱c(diǎn)的擬合殘差和小0.0241 mm，后者改善幅度變大了，說明有些條件下兩個(gè)分?jǐn)帱c(diǎn)間存在相互制約關(guān)系，并不完全獨(dú)立，可利用這種特性輔助調(diào)整硬分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)量。如果兩個(gè)相互制約的硬分?jǐn)帱c(diǎn)對(duì)預(yù)測精度影響較小，可同時(shí)除去這兩個(gè)硬分?jǐn)帱c(diǎn)，減輕系數(shù)更新判別的復(fù)雜性。表1第三列顯示有些硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置具有一定的穩(wěn)定性，不會(huì)隨數(shù)量變化而出現(xiàn)大幅度改變，這是因?yàn)橛卜謹(jǐn)辔恢猛ǔ７从臣庸?shù)的變化，與分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)量不是強(qiáng)相關(guān)。當(dāng)然，如果兩個(gè)相互制約的分?jǐn)帱c(diǎn)的總擬合精度大于其它任意一個(gè)分?jǐn)帱c(diǎn)的擬合精度時(shí)，分?jǐn)帱c(diǎn)的位置會(huì)出現(xiàn)較大變化，如表1中4個(gè)分?jǐn)帱c(diǎn)和3個(gè)分?jǐn)帱c(diǎn)位置變動(dòng)較大，其42與29和49相隔均較遠(yuǎn)。圖4較直觀地展示了分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)增加引起的擬合精度變化趨勢。

理論上，只要增加分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)量即可提高熱誤差模型的預(yù)測精度，但同時(shí)，增加分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)量會(huì)導(dǎo)致每組的采樣數(shù)據(jù)變少，使得熱誤差模型的統(tǒng)計(jì)效果降低，由于各種條件制約，現(xiàn)場采樣數(shù)據(jù)不可能與建模時(shí)的采樣數(shù)據(jù)相等，這時(shí)較小的差異就會(huì)導(dǎo)致較大預(yù)測誤差，即熱誤差模型的抗干擾能力變差了。因此，在保證預(yù)測精度的同時(shí)，分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)量越少越實(shí)用。不同于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型經(jīng)大量訓(xùn)練后可適用于各種工況，分組熱誤差模型是工況特定的，只能適用于建立模型所用的工況，工況變化時(shí)必須重新建立對(duì)應(yīng)新工況的分組模型才能正確進(jìn)行熱誤差預(yù)測。由于軟組間存在交叉，同工況下即使采樣時(shí)刻稍有不同，只要采樣頻率不變，也能保證正確預(yù)測熱誤差。同樣，分組建模也可用于類似情況的其它領(lǐng)域。

3 結(jié)論

本文針對(duì)多變量回歸分析模型在加工參數(shù)變化大時(shí)會(huì)引起預(yù)測熱誤差精度下降這一問題，提出一種優(yōu)化分組建模方法。為使最終分組熱誤差模型覆蓋所有采樣數(shù)據(jù)范圍，引入硬分?jǐn)帱c(diǎn)和軟分?jǐn)帱c(diǎn)對(duì)采樣數(shù)據(jù)序列進(jìn)行硬分組和軟分組，并以熱誤差擬合殘差和為目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用遺傳優(yōu)化原理實(shí)現(xiàn)了硬分?jǐn)帱c(diǎn)位置優(yōu)化選擇。給出了依據(jù)單溫度變量采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷系數(shù)更新時(shí)機(jī)的方法。通過車削中心給定工況仿真建模實(shí)驗(yàn)可看到，分?jǐn)帱c(diǎn)數(shù)從0增加至4時(shí)，徑向熱誤差擬合殘差和從0.1153 mm減少到0.0331 mm，因此，分組熱誤差模型對(duì)提高預(yù)測精度是有效的。分組建模方法可適用于各溫度變量和熱誤差變量采樣數(shù)據(jù)序列被連續(xù)記錄的各種復(fù)雜工況，也可用于類似情況的其它領(lǐng)域。

參考文獻(xiàn)：

[1]MartinMare?，OtakarHorej?，Luká?Havlík. Thermal error compensation of a 5-axis machine tool using indigenous temperature sensors and CNC integrated Python code validated with a machined test piece[J]. Precision Engineering，2020，66（11）：21-305.

[2]LI Y，ZHAO W H，LAN S H，et al. A review on spindle thermal error compensation in machine tools[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2015，95（4）：20-38.

[3]LIU H，MIAO E M，WEI X Y，et al. Robust modeling method for thermal error of CNC machine tools based on ridge regression algorithm[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2017（113）：35-48.

[4]NAEEM S MIAN，S FLETCHER，A P LONGSTAFF，et al. Efficient estimation by FEA of machine tool distortion due to environmental temperature perturbations[J]. Precision Engineering，2013（37）：372-379.

[5]SOICHI IBARAKI，RIN OKUMURA. A machining test to evaluate thermal influence on the kinematics of a five-axis machine tool[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture. Volume，2021（163）：103702.

[6]李有堂，湯雷武，黃華，等. 基于優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)的數(shù)控機(jī)床熱誤差建模分析[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2022，48（3）：35-41.

[7]KANG Y，CHANG C W，HUANG YUANRUEY，et al. Modification of a neural network utilizing hybrid filters for the compensation of thermal deformation in machine tools[J]. International Journal of Machine Tools amp; Manufacture，2007（47）：376-387.

[8]R RAMESH，M A MANNAN，A N POO，et al. Thermal error measurement and modeling in machine tools. Part II. Hybrid Bayesian Network-support vector machine model[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2003（43）：405-419.

[9]A M ABDULSHAHED，A P LONGSTAFF，S FLETCHER，et al. Thermal error modelling of machine tools based on ANFIS with fuzzy c-means clustering using a thermal imaging camera[J]. Applied Mathematical Modelling，2015，39（7）：1837-1852.

[10]ENEKO GOMEZ-ACEDO，AITOR OLARRA，JAVIER ORIVE，et al. Methodology for the design of a thermal distortion compensation for large machine tools based in state-space representation with Kalman filter[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2013（75）：100-108.

[11]YANG J，SHI H，F(xiàn)ENG B，et al. Applying neural network based on fuzzy cluster pre-processing to thermal error modeling for coordinate boring machine[J]. Procedia CIRP，2014（17）：698-703.

[12]HOU R S，YAN Z Z，DU H Y，et al. The application of multi-objective genetic algorithm in the modeling of thermal error of NC lathe[J]. Procedia CIRP，2018（67）：332-337.

[13]T A HARRIS. Rolling Bearing Analysis[M]. New York：Wiley 1991：540-560.