立足教材習題 聚焦核心素養 培養關鍵能力

摘" "要：以2024年北京卷第20題為例，深入分析RC動態電路放電過程中各物理量的變化規律，并結合計算機作圖來實現定量模擬，從而準確把握導體棒的運動過程。最后，對高考試題進行教材溯源，給出教學建議。

關鍵詞：電磁感應；RC動態電路；數值模擬；教材溯源

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2025）2-0047-5

電磁感應中ＲＣ動態電路是近年來全國各地的高頻考點。２０２４年北京卷第２０題考查了電容器的放電過程，要求學生能在復雜情境中建立動力學模型，分析各物理量的變化規律，并定性畫出導體棒的運動圖像，具有較強的綜合性和創新性。為了更加清晰、準確地把握導體棒運動的全過程，有必要對各物理參量進行嚴謹的定量化研究，以期為教師教學和學生學習提供參考。

１" " 原題再現

例題 （２０２４年北京卷第２０題）如圖1甲所示為某種“電磁槍”的原理圖。在豎直向下的勻強磁場中，兩根相距Ｌ的平行長直金屬導軌水平放置，左端接電容為Ｃ的電容器，一導體棒放置在導軌上，與導軌垂直且接觸良好，不計導軌電阻及導體棒與導軌間的摩擦。已知磁場的磁感應強度大小為Ｂ，導體棒的質量為ｍ、接入電路的電阻為Ｒ。開關閉合前電容器的電荷量為Ｑ。

（１）求閉合開關瞬間通過導體棒的電流Ｉ；

（２）求閉合開關瞬間導體棒的加速度大小ａ；

（３）在圖1乙中定性畫出閉合開關后導體棒的速度ｖ隨時間ｔ的變化圖線。

２" " 定性分析

在開關閉合的一瞬間，電容器充當電源開始對外電路放電，電源電壓為兩極板間的電壓，即U=，所以此時流過導體棒的電流I==。再根據牛頓第二定律可知，安培力即為導體棒所受合力，此時有BIL=ma，故加速度a=。當開關閉合后，由于導體棒受到向右的安培力，所以導體棒由靜止開始向右做加速運動，從而切割磁感線產生反電動勢，且反電動勢不斷增大。因此，電路中的總電動勢，等于電容器極板間的電壓與導體棒產生的動生電動勢之差。隨著電容器的持續放電，板間電壓不斷減小，直到與反電動勢相等時，回路電流為零，即安培力為零，放電過程截止，此時導體棒將以穩定的收尾速度做勻速直線運動。綜上所述，導體棒由靜止開始做加速度減小的加速運動，導體棒的整個運動過程類似于機車恒功率啟動模型。

３" " 認知診斷與思維進階

自新高考實施以來，北京卷物理試題的呈現方式變為依托于創新情境，在物理觀念引領下，綜合應用多種知識以求創造性地解決實際問題。例如，此題就是以教材習題為基礎，要求學生能類比常見物理模型，進而探討深層次問題。這是培養學生形成一系列核心素養（如運動與相互作用觀、能量觀、模型建構和科學推理等）的具體體現。

３．１" " 注重過程分析，回歸數理內涵

問題的完整表征是促進思維進階的重要環節。學生在定性分析本題并得出正確結果后，是否會進一步深入思考如下問題：

（１）電路是否可以不計任何電阻？

（２）電容器放電曲線是怎樣的形式？

（３）導體棒在運動過程中，回路存在哪些形式的能量轉化？

（4）電容器放電結束時，最終所帶電量是否為零？

（5）如果電路趨于穩定后電容器帶電量不為零，如何計算整個過程中流經導體棒的電量？

這些問題的定量探究在２０２４年全國甲卷物理壓軸題中均有所體現。通過對ＲＣ電路運用嚴謹的數理分析，并輔以圖像的形式展示各物理量隨時間的變化規律，將會使電容器的放電過程變得更清晰可見。歷經嚴謹的數理回歸和圖像表征，有助于學生進一步理解教材概念“微元法”的本質，從而強化其模型建構和推理論證等關鍵能力的培養。

３．２" " 開展深度教學，促進教學相長

在實際教學中還發現，部分學生在面對含容直流電路時，由于電容器具有“隔直流，通交流”的作用，誤以為閉合開關瞬間，回路中不會有電流流過導體棒。造成這種認知偏差的原因是教師在平時教學時通常以陳述知識為主，直接拋出結論，過多注重結構良好問題，而忽視結構不良問題對學生關鍵能力的培養。長此以往，學生一旦形成“拿來主義”的認知理念，在面對陌生情境時就容易產生思維定式。因此，教學中應該重視對物理過程的深入探究。當教師呈現出放電曲線時，可以直觀展示出電容器放電過程是指數衰減規律，即有效放電時間很短，而非沒有電流。只有平時注重對規律本質的深度理解和物理方法的培養，才能引導學生掌握必備知識，形成關鍵能力，同時也是提升教師教學研究能力的有效途徑。

４" " 定量分析

下面將從動力學和能量觀兩方面，運用數理分析手段，深入剖析ＲＣ電路從暫態到穩態過程中，導體棒的運動情況及各物理量的變化規律［１］。

首先，對導體棒進行動力學理論分析：

選取電容和導體棒所在的閉合回路，ｑ為流過導體棒的電荷量，根據基爾霍夫電壓定律可知

-BLv=iR（１）

由牛頓第二定律有

FA=BiL=ma（２）

對（１）（２）式，等式兩邊同時微分可得

-dq-BLdv=Rdi（３）

BLdi=mda（４）

由電流的定義式可知

i=（５）

再對導體棒列動量定理

BLidt=mdv（６）

聯立（２）（３）（４）（５）（６）式可得

da=-（+）adt（７）

再對（７）式兩邊同時積分有

da=-（+）dt（８）

根據上文定性分析部分可知a0=，代入上式計算可得

a=e（９）

顯然，加速度隨時間ｔ呈指數衰減，當ｔ＝０時，a=a0=，即為本題第（2）問答案；當t→∞時，ａ＝０，電路趨于穩定狀態。

由加速度的定義可知

dv=edt（１０）

積分可得導體棒運動的速度函數為

v=（1-e）（１１）

不難看出，速度隨時間是單調遞增的，當t→∞時，vmax=，且收尾速度與電阻參量無關，電阻的作用只是延緩了電路從暫態趨于穩態的時間，并不改變最終結果。雖然最大速度與電阻無關，但為了更加清楚地看出電阻的“阻礙”效果，可以利用Ｏｒｉｇｉｎ軟件進行數值模擬。不妨取Ｒ＝１和Ｒ＝１０，其余參量均設置為１，在同一坐標系中，繪制出速度ｖ（左側縱軸）及其導函數即加速度ａ（右側縱軸）的時間圖像，如圖２所示。

由圖２可以直觀地看出，無論阻值多大，加速度最終都會趨近于０，速度趨近于０．５，且阻值越大，延緩效果越明顯，電路趨于穩態所需的時間就越長，這與理論分析結果吻合。綜上所述，導體棒做加速度減小的加速運動。

再來分析整個過程中回路電流及電荷量隨時間的變化規律：

將（９）式代入（2）式，整理可得回路電流隨時間的函數關系為

i=e（１２）

顯然，電流隨時間也是呈指數衰減的，當t→∞時，ｉ＝０，此時電容器極板間的電壓恰好等于導體棒產生的感應電動勢。

又因為dｑ＝ｉdｔ，所以等式兩邊同時積分可得

dq=edt（１３）

換元積分可得

q=（1-e）（１４）

可以發現電荷量隨時間呈單調遞增關系，當t→∞時，qmax=，即電路達到穩態時，最終流過導體棒的電荷量也與電阻參量無關。為了更加清楚地看出阻值大小對電路穩態進程的影響，可以固定其他參量均為１，分別取Ｒ＝ ０、１、１５，在同一坐標系中，繪制出電荷量ｑ（左側縱軸）及其導函數即電流ｉ（右側縱軸）的時間圖像，如圖３所示。

由圖３可知，電荷量隨時間遞增，電流則相反。無論阻值多大，流經導體棒的電荷量最終都趨向于一定值０．５，電流趨近于０。隨著電阻的增大，二者趨向于定值的速度越來越慢，即電路達到穩定狀態所需的時間越長，與上述理論分析結果一致。再考慮極限情況，若Ｒ＝０，則電流恒為０，導體棒感應電動勢始終等于電容器極板間的電壓，運動瞬間可以達到穩定狀態，即放電過程不需要時間就能完成。因此，在電容放電問題中需要設置外電阻，這也就回答了學生一開始思考的“電路是否可以不計任何電阻”這一關鍵問題。

最后，分析能量的轉化：

由于回路有電阻，因此會伴隨能量的損耗，令產生的焦耳熱為ＷＲ。將（１２）式代入焦耳定律有

ＷＲ=（e）2Rdt（１５）

計算化簡可得

ＷＲ=（1-e）（１６）

顯然，ＷＲ單調遞增，當電路穩定時

ＷＲmax=（１７）

由上文分析可知，導體棒做加速度減小的加速運動，穩定時導體棒獲得最大動能，即動能為

dEk=mvdv=mvadt（１８）

將（９）（１１）式代入（１８）式，化簡可得

Ek=（e-e）dt

（１９）

換元積分可得

Ek=

（1+e）-e（２０）

當電路穩定時，即

Ｗkmax==mv（２１）

在整個電路中，電容屬于動態儲能元件，根據電容器儲能公式可知，一開始儲存的電場能為

W=CU=（２２）

由于此過程是一個放電過程，令電容器釋放的電場能為ＷCｔ，則

ＷCｔ=UCdq=dq=

dq-qidt（２３）

將（１２）（１４）式代入（２３）式，化簡可得

ＷCｔ=（1-e）-

（e-e）dt（２４）

對（２４）式換元積分可得

ＷCｔ=（1-e）-

（1+e）-e（２５）

當電路穩定時，即全過程電容器釋放的電場能為

ＷCtmax=（２６）

將（１６）式與（２０）式相加，恰好等于（２５）式；再考慮特殊情況，當t→∞時，觀察（１７）（２１）（２６）式不難發現

+=（２７）

即電容器釋放的電場能時刻等于回路電阻產生的焦耳熱與導體棒運動的動能之和，這也是能量守恒在ＲＣ動態電路中的具體體現。上述分析進一步表明，含容電路在無外力驅動的條件下，達到穩態時能量參量均與電阻因子無關，電阻只是延緩了電路趨于穩態的時間，電阻越大，延緩效果越明顯，這與文獻［２］中充電形式下得到的結論是一致的。

為了更加直觀地展現出ＷＲ、Ｅｋ、ＷCｔ三者的變化規律，方便起見，取Ｒ＝１０，其他參量設置為１，在同一坐標系下繪制出不同形式的能量隨時間變化的圖像，如圖４所示。

可以看出，電容器釋放的能量、回路損失的能量及導體棒獲得的動能均隨時間呈遞增規律，但增幅逐漸減小，最終都趨向于穩定值，且在任意時刻，電場釋放的能量都等于焦耳熱與動能之和。圖像直觀驗證了文中理論研究結果的正確性，根據圖像可知，當電路穩定后，釋放的電場能約為０．３７，小于初始電場能０．５，這表明，放電截止時電容器極板間所帶電量并不為零。

５" " 教學啟示

５．１" " 立足評價體系，助推核心素養

在《中國高考評價體系》的引導下，堅持“一核”“四層”“四翼”的總體要求，２０２４年北京卷試題命制凸顯基礎性、綜合性、應用性和創新性，同時也展現了自己的特色［３］。此題在學生已熟練掌握勻變速直線運動的基礎上進一步深入考查變加速直線運動，從特殊到一般的分析過程體現了學生運用已有知識靈活處理問題的創新能力，是一道值得品鑒和反復推敲的好題。此外，電磁感應類考題往往以力電綜合形式呈現，需要學生具備較強的分析推理能力，這要求教師在平時教學時要循循善誘，不斷引導學生在陌生情境中理清知識脈絡，發展多重思維，將核心素養落到實處。

５．２" " 深挖教材內涵，促進教考銜接

教材是教師教學和學生學習的一手資源，同時也為高考命題專家提供了豐富的情境素材和靈感源泉。高三備考階段要充分挖掘教材問題、課后習題、拓展學習等欄目的教學功能，將隱性知識顯性化。此題的同源情境在多種版本教材中均有出現。例如，人教版教材必修第三冊第十章第4節“電容器的電容”中的“拓展學習”欄目，應用傳感器觀察電容器的放電過程，通過計算機作圖繪制出了ＲＣ動態電路的放電曲線（ｉ－ｔ圖像），并提出思考問題：ｉ－ｔ圖像的面積代表什么物理意義？怎樣根據圖像估算電容器在放電過程中釋放的電荷量及拓展思考充電曲線的形狀［４］，這正是“微元思想”在此類問題中的具體應用。再如，魯科版教材選擇性必修第二冊第一章章末練習第６題，以電磁軌道炮彈為情境，考查ＲＣ電路的放電過程，并求解金屬棒剛開始運動時的加速度大小［５］。不難發現，２０２４年北京卷這道高考試題正是該課后習題的縮影。因此，在習題教學中要積極引導學生重視教材、用好教材，加強對基本概念和基本模型的歸納總結，夯實學生物理素養的根基。

５．３" " 把握教學難度，提升關鍵能力

電磁感應作為高中物理綜合性最強的知識模塊，通常涉及復雜的動力學分析、能量、動量及電路問題的綜合運用，尤其是含容電路的定量研究，往往會涉及競賽層面的知識。建議在平時教學中應適當拓寬知識結構，注重探索復雜問題情境，從現象中尋找事物所蘊含的物理特征，運用多學科知識解決實際問題，培養學科關鍵能力，聚焦學科核心素養。在面對復雜問題的探究時，可以將信息技術融入物理課堂，以可視化方式呈現物理規律，使學生更清晰地把握運動過程的全貌。 參考文獻：

［１］中華人民共和國教育部．普通高中物理課程標準（２０１７年版２０２０年修訂）［S］．北京：人民教育出版社，２０２０．

［２］蔣達東，黃得清．對“電容＋金屬棒”經典模型的深度解析［Ｊ］．物理教學，２０２４，４６（５）：５０－５２．

［３］教育部考試中心．中國高考評價體系［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［４］彭前程，黃恕伯．普通高中教科書物理必修第三冊［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１９．

［５］廖伯琴．普通高中教科書物理選擇性必修第二冊［Ｍ］．濟南：山東科學技術出版社，２０１９．

（欄目編輯" " 陳" 潔）