采用離散余弦變換的復合材料構件 制造偏差建模方法

摘要：為能夠更精確、高效地表達碳纖維增強復合材料構件制造偏差，提出了一種基于離散余弦變換的制造偏差建模方法。首先，對構件理論表面進行離散化得到網格模型，計算網格模型節點與對應區域實測點云數據的法向距離以表征制造偏差，進而得到復合材料構件制造偏差場，實現了理論模型與實測數據的融合。其次，采用二維離散余弦正變換，將制造偏差場分解為一系列偏差模態的線性組合，并結合離散余弦變換的能量集中特性與核函數的正交性，對復合材料構件制造偏差場組成模態進行識別與篩選，確定了構成制造偏差場的關鍵模態。然后，對確定的制造偏差場關鍵模態進行離散余弦逆變換，并重構制造偏差場，實現了構件制造偏差場的數據精簡，該方法在保證重構模型精度的同時減少了計算復雜度與數據存儲量。最后，通過復合材料蒙皮構件開展實例驗證。結果表明：點云數據網格尺寸與重構精度、偏差模態總數成反比，當數據刪減率為60.54%時，其相對重構誤差為7.62%。研究結果證明了基于離散余弦變換的偏差建模方法可精確、高效地表征復合材料構件的制造偏差特征。

關鍵詞：離散余弦變換；復合材料構件；制造偏差；模態識別

中圖分類號：TH124 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202503018 文章編號：0253-987X（2025）03-0201-09

Modeling Method for Manufacturing Deviation of Composite Components

Using Discrete Cosine Transform

CHANG Zhengping1， LI Xuewen1， YAN Kanghe1， LI Xiaofeng1， "LUO Qun^1，2， WANG Zhongqi1

（1. School of Mechanical Engineering， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China;

2. AVIC Xi’an Aircraft Industry Group Co.， Ltd.， Xi’an 710089， China）

Abstract：To more accurately and efficiently express the manufacturing deviations of carbon fiber reinforced composite components， a modeling method based on discrete cosine transform is proposed. Firstly， the theoretical surface of the component is discretized to obtain a mesh model. The normal distances between the mesh model nodes and the corresponding region’s measured point cloud data are calculated to characterize the manufacturing deviations， thereby obtaining the manufacturing deviation field of the composite component and achieving the fusion of theoretical models and measured data. Secondly， using the two-dimensional discrete cosine transform， the manufacturing deviation field is decomposed into a linear combination of a series of deviation modes. By combining the energy concentration characteristics of the discrete cosine transform with the orthogonality of the kernel function， the modal composition of the manufacturing deviation field of composite components is identified and selected， determining the key modes that constitute the manufacturing deviation field. Subsequently， the identified key modes of the manufacturing deviation field are subjected to discrete cosine inverse transform to reconstruct the manufacturing deviation field， achieving data simplification of the component’s manufacturing deviation field. This method reduces computational complexity and data storage while ensuring reconstruction model accuracy. Finally， an example verification is conducted on a composite skin component. The results show that the mesh size of point cloud data is inversely proportional to reconstruction accuracy and the total number of deviation modes. When the data reduction rate is 60.54%， the relative reconstruction error is 7.62%. The research results demonstrate that the deviation modeling method based on discrete cosine transform can accurately and efficiently characterize the manufacturing deviation characteristics of composite components.

Keywords：discrete cosine transform; composite component; manufacturing deviations; modal identification

新一代航空航天裝備為滿足高承載、遠航程和高綜合服役性能的要求，其主承力構件趨于大型化、集成化和整體化，大量使用以碳纖維增強樹脂基復合材料為代表的先進材料。如中國商飛正在研制的C929，其復合材料前機身筒段環向壁板分為4塊，通過縱縫拼接而成，單塊最大壁板約長15m，弧約長6m^［1］；空客A350機翼長約32m、寬6m，是目前航空器中尺寸最大的碳纖維復合材料部件^［2］。然而，復合材料構件在成型過程中因材料各向異性、樹脂收縮不均及模具和材料熱膨脹系數差異性等因素而易產生翹曲變形^［3-4］；同時，復合材料層間強度弱，在外力作用下易發生損傷，因此，其對裝配質量控制要求更加嚴格。

另一方面，隨著航空航天產品形狀和性能要求的極端化，傳統基于理論模型的裝配質量預測逐步向基于實測物理特性的裝配性能仿真設計模式轉變^［5］?？湛凸驹跉W盟FP7項目支持下，聯合巴黎大學開發了考慮零件制造偏差、材料屬性、接觸關系和裝配順序的柔性件裝配偏差模擬軟件（ANATOLEFLEX）^［6］，并初步實現了行業應用。波音公司利用機器學習和稀疏傳感數據來預測飛機裝配中的墊片填隙間隙，通常僅需約3%的點云數據即可實現測量公差范圍內99%的間隙預測^［7］。洛·馬公司在CHARLIE項目復合材料組件驗證件上采用全尺寸確定性裝配方法（FSDA），構建了精確的虛擬模型開展裝配工藝規劃以指導實物裝配，實現制孔對齊度100%^［8］。當前，我國相關項目在研制中提出，產品形態要從幾何要素向性能保障跨越，需在裝配精度分析中綜合考慮產品表面形貌與受力變形，其中產品制造偏差精確建模是裝配精度分析的基礎。

近年來，國內外學者針對零件制造偏差建模開展了大量研究，Requicha等^［9］首次提出了漂移公差帶模型，用于描述零部件尺寸和形位公差的空間偏差變動域。Nayroles等^［10］在精度分析中引入小位移旋量（SDT）模型，采用3個移動和3個轉動分量來表示零件名義幾何特征的變動量。Laperriere等^［11］提出采用雅可比旋量矩陣來表示零件結合面的偏差變動范圍。上述方法主要基于理想表面假設給出不同類型表面的名義特征偏差范圍，但無法精確描述該表面的形狀偏差特征。為進一步表征零件真實表面，陸續提出了基于多項式、基函數、模態分解、分形理論的形狀誤差建模方法。陳暉^［12］通過勒讓德多項式和正弦多項式來描述零部件表面的幾何形狀偏差和波紋度偏差。劉檢華等^［13］采用澤尼克多項式來表征圓環面的表面形狀誤差，并基于勒讓德-傅里葉多項式表達圓柱面的形狀誤差。Pan等^［14］基于分形幾何和小波理論研究了微幾何特征對裝配變形的影響。Homri等^［15］提出了基于模態分解的薄壁件表面形狀偏差建模方法，并對常見零件形狀缺陷類模態進行了分析。徐旭松等^［16］基于半空間和多面體的定義，構建了非理想表面的公差多面體不等式組。多項式在表征復雜表面形狀誤差上展現出很大優勢，但在偏差統計分析方面存在一定局限性，而基于基函數和模態分解的制造偏差建模本質上是一組特征基的線性組合。Schleich等^［17］采用膚面模型描述零件制造和裝配過程中的形狀偏差，其表面采用離散幾何方式表示，包含大量點云數據，不利于存儲、計算和統計分析。易揚等^［18-20］通過小波分析理論將零件表面模型進行多尺度形貌誤差表征與成分合成，但其表面模型的偏差采用抽樣分析合成，與零件真實表面存在一定的偏差。

綜上，諸多學者采用模態分解、多項式組合等方法構建零件制造偏差場模型，在一定程度上提高了零件制造偏差的建模精度。然而，復合材料構件成型精度較低，制造偏差與裝配變形之間呈現出復雜的映射關系。采用傳統的規律性偏差描述方法易導致裝配偏差預測結果與實際相差較大，裝配時易造成構件裝配變形和應力集中；而直接采用點云膚面模型構建零件制造偏差場模型，處理效率較低。因此，綜合考慮建模精度與效率的復合材料構件制造偏差場模型建模方法仍有待研究。

為此，本文提出了一種基于離散余弦變換（DCT）的制造偏差場模型構建方法，首先對理論模型與點云數據進行格柵化處理，選取適宜的網格尺寸建立構件制造偏差場模型。其次對構件制造偏差場模型進行模態分解、識別與重構，實現制造偏差場關鍵模態識別，并采用部分關鍵模態實現制造偏差場高精度重構。最后以復合材料蒙皮構件制造偏差建模為例開展驗證，確保制造偏差模型精度的同時減少計算復雜度與數據儲存量，提高制造偏差建模效率。

1 制造偏差場建模

本文以復合材料平板類構件為例，針對理論模型與點云數據進行網格化處理，建立基于實測數據的復合材料構件制造偏差場。然后，利用離散余弦變換的能量壓縮特性和核函數的正交性，實現制造偏差場模態分解、識別與重構。其優勢在于在保障制造偏差場模型精度的基礎上，采用少量的數據實現偏差場重構，以簡化數據存儲和計算的復雜度，具體流程如圖1所示。

復合材料構件制造偏差主要由固化以及加工過程中引入的制造偏差組成。一般采用激光掃描儀、三坐標測量機等測量儀器實現構件表面真實形貌點云數據的采集，但構件理論模型的名義特征由各曲面組成，難以直接嵌入3D點云數據。故以理論模型作為基準，基于實測數據對構件非理想表面進行建模，首先對構件理論模型表面特征進行網格化，用得到的網格模型節點與對應實測點云數據的法向距離來表征制造偏差，如圖2所示，最終得到構件表面的制造偏差場。

此過程中需將網格化處理后的三維點云數據與基于理論模型生成的網格節點模型進行配準，確保實測數據的采樣點與理論模型中的網格節點一一對應。通過比對網格尺寸與偏差模型重構精度、制造偏差模態數量間的關系，選擇合適的網格粒度對點云數據進行精簡，并確定適宜的理論模型網格尺寸，實現實測數據中采樣點與理論模型網格節點的配準^［21］。

最終得到的構件制造偏差場f（m，n）可表示為

f（m，n）=fa（m，n）－fn（m，n）（1）

式中：fa（m，n）表示采樣點的實際測量值；m、n表示采樣點在x、y方向上的編號；fn（m，n）表示采樣點的名義值。

2 制造偏差場分解、識別與重構

離散余弦變換是一種以余弦函數為核的可分離正交變換方法，一般用于對信號場的精簡重構。在二維圖像處理中，可以將像素點在橫縱軸上的變化視為信號，人眼易于識別的信號為低頻變化信號，不易識別的信號為高頻變化信號。當對二維圖像進行 DCT 正變換后，圖像的關鍵特征信息主要集中在低頻部分，這就實現了信號的能量集中^［22-24］。

非理想表面模型建模需要在不同精度層級上構建其幾何偏差，可以將模型的非理想表面視為二維偏差信號場。通過DCT方法的能量集中特性，在保證制造偏差場模型精度的同時，使用較少的數據以減輕數據存儲與計算難度；利用DCT的正交特性使不同精度層級上的偏差模態具有線性可疊加性，疊加和即為制造偏差。充分利用DCT方法的能量集中特性和核函數的正交性，可實現基于DCT的復合材料構件制造偏差場模型構建，其具體流程如圖3所示，其中加紅色圈的為重要模態。

2.1 制造偏差場模態分解

將式（1）所得構件制造偏差場進行2D-DCT正向變換

C（μ，ν）=∑M－1m=0∑N－1n=0f（m，n）g（m，n，μ，ν）（2）

g（m，n，μ，ν）=

2c（μ）c（ν）MNcos（2m+1）μπ2Mcos（2n+1）νπ2N（3）

c（μ）=1/2，μ=0 1，其他; c（ν）=1/2，ν=0 1，其他

式中：g（m，n，μ，ν）為DCT正變換核函數；μ、ν為頻率；m，μ=0，1，…，M－1；n，ν=0，1，…，N－1；M、N為兩方向上的采樣點總數；C為DCT正變換系數矩陣。

通過DCT正向變換，制造偏差數據存儲到DCT正變換系數矩陣C（μ，ν）中，由于余弦函數具有正交性，正變換系數矩陣C（μ，ν）中各系數相互獨立，每個系數經過DCT逆變換后均代表一種制造偏差模態，通過將整體C（μ，ν）進行DCT逆變換即可得到構件表面實際制造偏差

f（m，n）=∑M－1μ=0∑N－1ν=0C（μ，ν）h（m，n，u，ν）（4）

h（m，n，μ，ν）=

2c（μ）c（ν）MNcos（2m+1）μπ2Mcos（2n+1）νπ2N（5）

式中：h（m，n，μ，ν）為DCT逆變換核函數。對比式（3）與式（5）可得，正、逆變換核函數一致，其本質上都是一組基函數，構件表面制造偏差通過DCT基函數組以變換系數為權重加權疊加而成。

2.2 制造偏差場關鍵模態識別

對于給定的構件，當離散采樣點數量越多，構件制造偏差的重構精度越高。然而，過多的采樣點經過變換后會生成大量的制造偏差模態，給數據的存儲和計算帶來了困難，為了縮減計算量，需要利用DCT方法的能量集中特性，對偏差模態進行取舍。通過保留少量對構件制造偏差場貢獻度較大的模態，舍棄貢獻度小的模態，使其在滿足制造偏差建模精度的前提下實現數據的精簡。

根據Parseval定理^［25］，信號在時域和頻域上計算得到的總能量相等。將構件表面制造偏差場視為時域信號，經過DCT變換后，時域信號轉換到頻域下，結合Parseval定理，采用能量壓實度和單個貢獻度來識別關鍵偏差模態。每個模態的貢獻可通過模態參數|C（μ，ν）|的大小來表征，該模態下信號能量表征為C2（μ，ν），其具體表達式如下

∑M－1μ=0∑N－1ν=0C2（μ，ν）=∑M－1m=0∑N－1n=0f2（m，n）（6）

引入能量壓實度E，用選定的重要偏差模態i的能量C2i（μ，ν）與采樣數據的總能量f2（m，n）之比表示

∑ΩC2i（μ，ν）∑M－1m=0∑N－1n=0f2（m，n）×100%≥E， Ci（μ，ν）∈Ω （7）

式中：Ω為模態集；E為能量壓實度，0≤E≤100%。E與偏差模態數量呈正相關，即能量壓實度E間接反映制造偏差建模精度。當E達到100%，代表保留所有偏差模態，后續重構的偏差場模型與基于實測點云重構偏差模型完全一致，表明能量壓實度E可間接體現制造偏差場的建模精度。

在對關鍵模態進行識別過程中，將不可避免引入一些不重要的制造偏差模態，影響制造偏差場模型的重構效率。為此，引入貢獻度閾值η衡量單一制造偏差模態對整個偏差場模型建模的貢獻度

C2i（μ，ν）∑M－1m=0∑N－1n=0f2（m，n）×100%≥η（8）

對比式（7）和式（8）發現，當只給定能量壓實度E而沒有對單一制造偏差模態進行貢獻度估算，可能會引入若干個不重要的制造偏差模態而舍棄關鍵制造偏差模態，通過對每個制造偏差模態貢獻度進行預估能避免關鍵模態不能被準確識別的問題。因此，本文通過不斷調整貢獻度閾值η實現既定能量壓實度E，從而在保障偏差場模型重構精度的前提下，使采樣數據進一步縮小。

2.3 制造偏差場重構及精度評價

將已進行關鍵模態識別的DCT變換系數矩陣進行DCT逆變換，可重構復合材料構件的制造偏差場（m，n）。該重構制造偏差場（m，n）的均方誤差θ為

θ=∑M－1m=0∑N－1n=0［（m，n）－f（m，n）］2MN（9）

相對重構誤差δ為

δ2=θMN∑M－1m=0∑N－1n=0f2（m，n）（10）

通過均方誤差θ和相對重構誤差δ可以表征構件表面制造偏差的建模精度，若重構表面的精度不滿足設計需求，重新調節能量壓實度E和貢獻度閾值η，以滿足精度要求。

3 實例分析

采用前文基于DCT的制造偏差場分解、識別和重構方法，本節通過復合材料蒙皮構件進行制造偏差場建模實例分析。先通過真空輔助樹脂灌注（VARI）成型工藝來制備具有同等規格的3件復合材料層合板，制備的構件尺寸為400mm×550mm，構件鋪層采用準各向同性對稱鋪層，鋪層順序為［45°/0°/－45°/90°/90°/-45°/0°/45°］，單層名義鋪層厚度為0.225mm。VARI成型工藝示意圖如圖4所示。

首先在模腔中預先依次放置規定尺寸和鋪層角度的碳纖維布，然后通過真空泵將模腔內部抽成真空狀態，進行密封。再通過氣壓將樹脂灌注到模腔內部，待樹脂充滿整個模腔后放入烘箱進行固化成型，固化完成后進行脫模得到復合材料層合板，最后對層合板進行裁剪以達到設計尺寸。

采用三維激光掃描儀HandySCAN 700（測量精度為0.03mm）在距離構件約0.3m處進行掃描，獲取復合材料蒙皮構件（550mm×400mm×1.8mm）表面的點云數據；同時，在構件表面貼一定的靶標點以確定構件與設備間的相對位置，提高測量精度。

將實測點云數據進行網格化處理，并分割成規則的網格單元，取每個網格單元內的點云數據平均值以代表整個網格單元的偏差特征，達到簡化點云數據的目的；再計算平均絕對誤差，求取精簡后點云相對誤差，進而得到點云精簡后的精度。點云相對誤差表示為

e=∑M×Nj=1∑T（j）i=1P（i，j）－（j）∑sm=1P（i，j）（11）

式中：M、N為x、y方向上的網格總量；j是網格標號；T為網格j中點的總數；i是第j個網格內點的標號；P（i，j）為精簡前點云高度特征；（j）為每個網格單元內的點云數據平均值；s為點的總數；e為精簡后點云的相對誤差。

選取其中1件復合材料蒙皮構件進行數據分析，圖5所示為該構件點云數據網格尺寸與處理后精度間的關系，發現當網格尺寸在10mm以內時，點云模型精度超過99%。

制造偏差場模態總數近似等于采樣點數，為了盡可能精確完整地描述構件的制造偏差特征，在保證計算效率的情況下需要采用盡可能多的采樣點，網格尺寸與制造場偏差模態數量關系如圖6所示。

從圖5與圖6可知，隨著網格密度的增加，構件表面的重構精度在一定程度上得到了提高，這是因為更高的網格密度意味著更多的采樣點，能夠捕捉到更細微的表面細節，從而提高了模型的精度。然而，網格密度增加也會帶來數據處理和存儲的挑戰。因此，在實際應用中，需要在建模精度與計算效率之間取得平衡。為了提高數據處理效率，偏差模態總數不宜超過50000，本文選取的網格尺寸為2.5mm（模態數量為35200），此時蒙皮表面采樣數據點為220×160。復合材料構件的表面偏差特征包含波紋度和形狀偏差，忽略尺度較小的粗糙度特征，基于網格節點的制造偏差場數據集f（m，n）如圖7所示。

基于DCT正變換實現制造偏差模態分解，獲得變換參數矩陣C（μ，ν），通過單個貢獻度準則，計算各個模態對應貢獻度，剔除貢獻度較小的制造偏差模態，且保證99%的能量壓實度，從而實現關鍵制造偏差模態識別，如表1所示。

在給定能量壓實度E為99%的情況下，制造偏差場模型的絕對重構誤差為0.0054mm，相對重構誤差為7.62%，制造偏差模態從35200個刪減到13891個，數據刪減率達到60.54%，實現了保障重構精度與簡化數據的效果。

如圖8所示，在保證制造偏差場模型相對重構誤差在10%以內時，制造偏差模態最多可減少至10660個，數據刪減率高達69.7%，能量壓實度基本保持在98％以上。與快速傅里葉變換（FFT）重構方法^［26］相比，在同一重構誤差率情況下，DCT重構方法可用更少的數據來表征構件制造偏差，重構精度較高，減少了運算難度，且建模過程更加簡潔，表明基于離散余弦變換的制造偏差場模型構建方法對復合材料構件制造偏差分析的準確性和效率更高。

4 結 論

本文以復合材料構件制造偏差為研究對象，提出了一種基于離散余弦變換的制造偏差場模型建模方法。首先，選擇適宜的網格尺寸，生成基于理論模型的網格節點模型，建立了二維網格節點與三維實測點云間的映射關系。然后，通過對網格節點模型與實測數據融合得到制造偏差場數據集，利用離散余弦變換正變換，將制造偏差場分解成一系列偏差模態的線性組合，采用能量壓實度和單個貢獻度指標對關鍵模態進行識別，并利用離散余弦變換逆變換，完成構件制造偏差場模型的重構。最后，以復合材料蒙皮構件開展制造偏差實例分析，實驗結果表明：制造偏差場模型重構精度和偏差模態總數與點云數據網格尺寸成反比，當數據刪減率為60.54%時，其相對重構誤差為7.62%，表明了本文提出的建模方法能夠更精確、高效地表征復合材料構件制造偏差場。

DCT的計算復雜度較低，能夠以較低的計算成本對基于平面的大規模點云數據進行處理。由于可展面可以在不發生拉伸、壓縮或剪切變形的情況下展開成一個平面，使得該方法在可展面的非理想表面模型重構上具有較高的實用性：能夠快速提供制造偏差的定量分析結果，支持實時質量控制和反饋；能夠精細地捕捉到微小的幾何偏差，特別是在高精度制造要求的領域，能夠提供比傳統方法更為準確的偏差檢測結果。但是，對于部分具有復雜曲面和自由形狀的構件，DCT的離散化過程可能會丟失形狀細節，從而導致偏差場模型的準確性下降，這也是下一步需要關注的研究點。

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（編輯 杜秀杰）