踐行“理解”滲透“本質”

摘要本文以一道涉及最值問題的模考題的解法教學為例，闡述了解題從問題表征入手的基本原理和利用基本不等式解題的教學過程.

關鍵詞一題多解；基本不等式

基本不等式是高考考查的重點內容之一.利用基本不等式求最值的方法眾多如減元、換元、湊配等，這類題經常出現在單選題和填空題，難度較大，學生在實際求解時不知如何下手.章建躍博士一再指出數學教學要基于“三個理解”，即理解數學、理解學生、理解教學.它是數學教師專業發展的基石，也是數學教學質量的根本保證.理解數學就要理解數學的本質.下面以一道2025屆南通市九月調研試題第14題為例談談基本不等式求最值的本質特征及常用的方法.

1.問題呈現

題目已知3a=2+3b，則2a－b的最小值為.

題中式子結構簡單，是兩個正實數通過加、減、乘、除和開方四種基本運算，產生了算數平均數和幾何平均數的內在關系.基本不等式的本質是什么？它是研究兩個正數的和a+b與積ab的不等關系，利用基本不等式解決問題，實際上就是兩個正數和與積的轉化過程，即“積化和”或者“和化積”的轉化過程.

2.解法探究

交流 先請大家說說，你初次見到此題一些想法和思考.

先讓幾個學生交流一下自己一些不成熟的思考和想法，然后在教師引導下逐步深入，需要關注學生的思維起點和知識結構，再通過教師的逐步引導，深入探究出自然合理的解法.學生都表示知道要用基本不等式，中間需要一些變形和知識鋪墊，結合基本不等式求最值的一些常用方法，由此得到以下6種解法：

解法1因為3a=2+3b，所以32a－b=3a23b=2+3b23b=32b+4·3b+43b=3b+43b+4≥23b·43b+4=8，當且僅當3b=43b，即b = log3 2時取等號，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法2因為3a=2+3b，由基本不等式得3a=2+3b≥22·3b，當且僅當2=3b，即b=log32時取等號，所以3a2≥4·2·3b=8·3b，所以32a3b≥8，所以32a－b≥8，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法3因為3a=2+3b，令3a=λ3bλgt;1，所以λ3b=2+3b，所以3b=2λ－1，3a=2λλ－1，所以32a－b=3a23b=2λ2λ－1=2λ－1+2λ－1+4≥24+4=8，當且僅當λ=2時取等號，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法4因為3a=2+3b，所以3a－3b=2，令3a+3b=tt≥2，所以3a=t+22，3b=t－22，所以32a－b=32a3b=t2+4t+42t－2=t－22+8t－2+162t－2=t－22+8t－2+4≥8，當且僅當t－22=8t－2，即t=6時取等號，所以2a－b≥log38，故2a－b的最小值為log38.

解法5因為3a=2+3b，所以3a－3b=2，兩邊平方得3a－3b2=4，所以32a－2·3a·3b+32b=4，所以32a－2·3a·3b+32b3b=43b，所以32a－b=43b+3a－3b+3a=43b+3a+2=43b+3b+4≥8，當且僅當3b=43b，即b=b=log32時取等號，所以2a－b的最小值為log38.

解法6因為3a+（－3b）=2，所以3a、1、－3b成等差數列.設公差為d（dlt;－1），所以3a=1－d，－3b=1+d，所以a=log3（1－d），b=log3（－1－d ），所以

2a－b=2log3（1－d）－log3（－1－d）=log3（1－d）2－1－d=log3（（－1－d）+4－1－d+4）≥log38，當且僅當d=－3時等號成立，所以2a－b的最小值為log38.

追問1以上我們是利用基本不等式求最值常用的方法求出結果，還有其它解法嗎？

“還有其它解法？”這不經意的一問，學生感到很驚訝，這也引起大家探究問題的興趣，大家你一言我一語討論起來，一致認為，借助二次函數，利用二次函數最值的方法.

解法7因為3a=2+3b，所以3a2－3b2=1，即3b－2a=3b32a=3b3a2=3b3a2×3a2－3b2=12·3b－a－12·3b－a2.令3b－a=ttgt;0，所以32a－b=13b－2a=2t－t2=2－t－122+14≥8，當且僅當t=12時取等號，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法8令2a－b=t，即b=2a－t，因為3a=2+3b，所以3a=2+32a3t，所以13t=13a－2·（13a）2，所以3t=113a－2·（13a）2=1－2（13a－14）2+18≥8，所以t≥log38，即2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

追問2還有其它解法嗎？聽到這一句，多數學生很吃驚，連忙讓大家想一想，在講求最值專題時說過這樣一句話：“沒有辦法的辦法是 ”.請大家把補充完整，哦！大家齊聲說是“求導啊！”

解法9由3a=2+3b得a=log3（2+3b），所以2a－b=2log3（2+3b）－b=2·ln（2+3b）ln3－b.令f（x）=2ln3·ln（3x+2）－x，求導f′（x）=2ln3·3x·ln33x+2－1=2·3x－3x－23x+2，令f′（x）=0，解得x=b=log32，所以f（x）在（－∞，b=log32）上單調遞減，在（b=log32，+∞）上單調遞增，所以f（x）有最小值為f（b=log32）=2ln3·ln4－b=log32=log38，所以2a－b的最小值為log38.

到此，以為解題結束，突然一個學生急忙站了起來說：“老師，我還有一種方法”，我是利用換元，結合三角函數的有界限，由此得到：

解法10因為3a=2+3b，所以3a2－3b2=1.令3a=x2（x≠0），3b=y2（y≠0），則x22－y22=1（x≠0，y≠0）.令x=2cosθ，y=2sinθcosθ（θ≠kπ+π且θ≠kπ+π2，k∈Z），則3a=2cos2θ，3b=2sin2θcos2θ，所以32a－b=4cos4θ×cos2θ2sin2θ=8sin22θ≥8，當且僅當sin22θ=1時取等號，所以2a－b≥log38，.所以2a－b的最小值為log38

你真是太棒了，想到如此巧妙方法！

3.變式訓練

（1）若ex－ey=e，x，y∈R，則2x－y的最小值為 .

（2）已知agt;1，bgt;1，aa－1=2a，bb－1=log2b，則以下結論中正確的是（ ）.

A.a+2a=b+log2bB.12a+1log2b=1

C.a－blt;－2 "D.a+bgt;4

4.教學啟示

在高中數學解題教學中，解題是主旋律.但教師很容易陷入“就題論題”的教學誤區，僅僅停留在把題目的答案求解出來，從而使課堂變得枯燥乏味，缺乏新知的生成，學生思維能力的靈活性和深刻性很難得以進一步提升，所以要讓學生理解問題的本質，關注解題基本模型，聚焦問題表征.學生的知識表征可以是語言、文字、圖像、公式、概念圖、知識結構圖等.同一知識可以用多種方式來表征，教師要引導學生選擇最佳的方式獲取表征知識，幫助學生更好地探索解決問題的思路，猜想結果，發展學生的直觀想象素養.教師在此過程中引導學生思考解決思路的異同，通過類比歸納，尋找解題模型，搭建問題線索，立足從問題表征的角度去比較問題解決思路的異同，形成解題程序.再次，抓住通解通法，形成解題程序.通解通法是解決某類問題最合理的想法、最基本的思路、也是最普遍的操作程序.通過一題多解、多解歸一，讓學生掌握處理一個基本模型的方法，理解方法背后所隱含的數學思想方法，知道如何應用到其他情境中去，發展學生的數學建模素養和邏輯推理素養.變式訓練變化的是題目，不變的是通解通法，通過對問題的變式的探究和原問題的推廣，幫助學生掌握一類數學問題的解法，從而形成解題模塊，讓學生理解數學的本質.