兩個歐拉不等式三角形式的再加強及類似

摘要本文對兩個歐拉不等式的三角形式進行了加強研究，并得到了類似的結果.

關鍵詞歐拉不等式；三角形式；加強

1.提出問題

記R，r，s分別為△ABC的外接圓半徑、內切圓半徑、半周長，Σ表示循環求和.

文［1］討論如下涉及∑sinA2、∑cosA2的歐拉三角不等式：

在△ABC中，有R2r≥1+9316（32－∑sinA2）①.

在△ABC中，有R2r≥1+38（332－∑cosA2）②.

隨后文［2］作者改進了上述不等式，得到：

在△ABC中，有R2r≥1+2（32－∑sinA2）③.

在△ABC中，有R2r≥1+239（332－∑cosA2）④.

上述不等式③④中的系數2和239能否繼續改進？筆者借助如下四個引理，對該問題進行了探究.

引理1［3］（Popoviciu不等式）若函數f（t）在定義域I上為下凸函數，則∑ni=1f（xi）+n（n－2）f（1n∑ni=1xi）≥（n－1）∑ni=1f（yi），其中yi=1n－1∑nk=1，k≠ixk，i=1，…，n.當函數為嚴格下凸函數時，不等式等號成立的充要條件是x1=x2=…=xn.

特別地，若f是區間IR到R的下凸函數，那么f（a）+f（b）+f（c）+3f（a+b+c3）≥2f（a+b2）+2f（b+c2）+2f（c+a2），當f是嚴格下凸函數時，除了a=b=c外，不等式嚴格成立.

引理2［2］在△ABC中，有R2r≥1+239（332－∑sinA）.

引理3在銳角△ABC中，有∑cosA+32≤2∑sinA2.

證明設f（x）=－cosx，x∈（0，π2），則f′（x）=sinx，f″（x）=cosxgt;0，

所以∑f（A）+3f（A+B+C3）≥2∑f（B+C2），即－∑cosA－3cosπ3≥－2∑cosB+C2，

所以∑cosA+32≤2∑sinA2.

注引理3實際上是結論∑cosA≤∑sinA2的加強.

引理4在△ABC中，有∑sinA+332≤2∑cosA2.

證明設f（x）=－sinx，則f′（x）=－cosx，f″（x）=sinxgt;0，

則∑f（A）+3f（A+B+C3）≥2∑f（B+C2），

即－∑sinA－3sin（A+B+C3）≥－2∑sinB+C2，

即∑sinA+3sinπ3≤2∑sinπ－A2，所以∑sinA+332≤2∑cosA2.

注引理4實際上是結論∑sinA≤∑cosA2的加強.

利用上述引理，我們得到不等式③④的加強：

定理1在銳角△ABC中，有R2r≥1+4（32－∑sinA2）.

證明在△ABC中，由∑cosA=R+rR可得R2r=1+Rr（32－∑cosA），

由引理3知∑cosA≤2∑sinA2－32，

所以R2r=1+Rr（32－∑cosA）≥1+Rr［32－（2∑sinA2－32）］=1+Rr（3－2∑sinA2）=1+2Rr（32－∑sinA2）

結合歐拉不等式R≥2r得R2r≥1+2Rr（32－∑sinA2）≥1+4（32－∑sinA2）.

定理2在△ABC中，有R2r≥1+439（332－∑cosA2）.

證明由引理2知R2r≥1+239（332－∑sinA），

由引理4知∑sinA≤2∑cosA2－332，

所以R2r≥1+239（332－∑sinA）≥1+239［332－（2∑cosA2－332）］=1+239（33－2∑cosA2）=1+439（332－∑cosA2）.

進一步，由熟知結論∏sinA2=r4R，得∏ cscA2=4Rr，所以1+18（∏ cscA2－8）=R2r，進而得到如下加強不等式：

定理3R2r=1+18（∏ cscA2－8）.

另外在△ABC中，有∏ secA2≥839成立，從而得到：

定理4R2r≥1+9316（∏ secA2－839）.

證明由均值不等式得2p=a+b+c≥33abc，所以p3≥278abc=278·4pRr=272pRr，

則p2≥272Rr.由熟知結論∏ cosA2=p4R，知∏ secA2=4Rp，所以只需證明R2r≥1+9316（4Rp－839），

整理得p≥93Rr2（R+r），由p2≥272Rr，只需證明33Rr2≥93Rr2（R+r），

即（R－2r）（2R－r）≥0，由歐拉不等式R≥2r知顯然成立.故原不等式成立.

定理5在△ABC中，有R2r≥1+12（∑tan2A2－1）.

證明因tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1，所以∑tan2A2=（∑tanA2）2－2，

又因為∑tanA2=4R+rs，所以只要證明R2r≥1+12［（4R+rs）2－1］，等價于s2≥（4R+r）2rR+r，

由Gerretsen不等式s2≥16Rr－5r2，只需證明16Rr－5r2≥（4R+r）2rR+rR≥2r，

這正是歐拉不等式，顯然成立，故原不等式成立.

參考文獻

［1］楊續亮，蘇岳祥.歐拉不等式一個三角形式的類比［J］.數學通報，2018，57（12）：56-58.

［2］梁昌金.歐拉不等式三角形式的改進及其類似［J］.數學通訊，2023（22）：34-37.

［3］葉瑞松，鄒玉茹.應用Popoviciu不等式證明兩族孿生對稱不等式［J］.數學通報，2023，62（10）：60-62.