核心素養下的高中數學概念課教學的實施路徑

高中數學課堂教學多以數學概念課為主，那么我們如何有效進行高中數學概念課的教學呢？高中數學概念課教學實施的步驟是什么？它有哪些基本的步驟？換而言之，高中數學概念課的實施路徑有哪些？基于高中數學概念課的本質特征，結合筆者多年的教學實踐研究及其相關的理論依據，本文總結了高中數學概念課教學實施路徑的六大環節：創設情境，激發興趣→交流合作，歸納共性→界定概念，精準解讀→正反辨析，深刻理解→概念應用，反思總結→濃縮概念，回歸本質。

一、創設情境，激發興趣

數學概念一般有其豐富的歷史背景及知識背景，在教學中如果教師舍去這些背景，直接把數學概念講授給學生，就會使學生感到茫然。如果教師通過數學概念的知識背景創設情境，揭示概念發生、形成的過程，讓學生在含有豐富知識背景的問題情境中學習數學概念，會使學生認為學習的數學概念是可理解的、合理的。由此也會調動學生學習的積極性，激發學生學習的興趣，培養學生積極的情感，加深學生對所學數學概念的感知和理解。創設情境往往需要借助具體事例，如從數學概念體系的發展過程或解決實際問題中引入概念。創設情境的方式主要有以下幾種。

（一）問題情境

問題情境常常有生活問題情境、歷史問題情境、趣味問題情境、學科問題情境和動手操作問題情境等。如函數概念、等差數列前n項和公式、復數概念、頻率與概率等。

函數概念的教學：人教A版數學教材通過四個生活問題情境，讓學生從中感受與體會它們的共同點，然后歸納、提煉這些共同特點，形成四個生活情境的共同特征：（1）兩個非空數集。（2）一個對應關系。（3）單向唯一性。這些共同特征就是函數的本質屬性。這樣通過生活問題情境引入，讓學生在生活問題情境中發現、歸納、總結函數的概念，達到激發學生學習興趣的目的。

等差數列前n項和公式的教學：教師可引入歷史情境問題。例如，因為班級自習課吵鬧，高斯的算術老師為了處罰全班學生而臨時編寫的數學試題：計算從1加到100的和是多少。讓算術老師沒有想到的是，10歲的高斯能在短時間內用簡便的方法迅速計算出正確結果。這樣會讓學生產生好奇的心理，高斯是如何迅速計算從1加到100的呢？他是如何觀察的？他用什么方法進行計算呢？這樣通過歷史情境引入教學，讓學生帶著好奇投入數學課堂，達到讓學生快速進入課堂教學的目的。

復數概念的教學：教師通過引入方程x2+1=0在實數集中無解，讓學生產生認知上的沖突，聯想數系發展與擴充的整個過程，尋找解決矛盾的方法，讓學生在尋求解決求判別式小于0的實系數一元二次方程根的學科問題引入情境，達到迅速吸引學生進行思考的效果。

頻率與概率的教學：教師首先假設事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”，讓全班所有學生分組進行拋擲硬幣的實驗，然后統計出現正面朝上與反面朝上的次數并計算頻率，再把全班學生統計的數據進行匯總，最后與其概率進行比較，讓學生發現頻率與概率的關系。這樣通過探究重復拋擲兩枚質地均勻硬幣的試驗，利用動手操作問題情境引入概念，能夠快速吸引學生進入課堂。

（二）借原引新

借原引新即在學生原概念的基礎上引入新概念，讓學生根據它們之間的聯系，找出它們之間的相似或相同之處，區分它們之間的不同性質，充分利用原概念引出新概念。從原概念引入新概念，常用類比、對比、逆反關系，運用概念的延伸或內涵的聯系等引入新概念。例如，在直棱柱概念的基礎上，教師可由增加內涵而直接引入正棱柱的概念；類比等差數列的概念引出等比數列的概念；利用逆反關系，由指數函數概念引出對數函數概念；由銳角三角函數的坐標定義推廣引出任意角三角函數的定義等。

（三）認知矛盾

認知矛盾即由數學本身內在需要引入概念，課堂教學中教師常常基于學生已有的認知結構，創設問題情境，引導學生思考與自己原有知識中出現的一些新問題，形成他們認知上的沖突、矛盾或困惑，打破原有心理平衡，從而讓學生產生疑問，激發學生的探究欲望。顯然，過去已有知識解決不了該問題，需要引入新的知識才能解決，自然而然地引出新概念。如“復數”概念的引入教學，讓學生計算沒有實數根的一元二次方程。然后教師提出問題：“這個一元二次方程真的沒有根嗎？事實上，是有根的，只是這個根不是實數根，歷史上許多數學家為了解決這個問題付出了非常艱辛的努力，你想知道數學家是如何解決這個問題的嗎？”這樣就形成了學生認知上的矛盾沖突，從而引出復數的定義。

（四）直觀形象

直觀形象即用直觀圖形、實例、實物、模型或故事引入概念，主要表現在兩個方面：一是通過數學理論的基礎經過多次抽象而獲得的結論；二是從事物本身的數量關系和空間形式反映的概念。直觀形象可使學生獲得十分豐富且合乎實際的感性材料，因此在教學新概念時，教師要盡量用學生熟悉的直觀形象引入，使學生獲得大量與數學概念有關的感知認識，然后進行抽象概括，形成新的概念。例如，頻率和概率教學一定要讓學生動手操作。通過多次拋擲硬幣、拋擲骰子等，學生親身體驗數學家發現新概念的過程，從中體會頻率的穩定性，從而用頻率估算概率得出隨機事件概率的概念。隨機變量的概念教學可通過以下事例進行描述：（1）拋一枚骰子出現的點數。（2）拋兩枚骰子出現的點數之和。（3）隨機抽取一件產品，有“抽到次品”和“抽到正品”。（4）拋一枚硬幣出現的結果。（5）隨機抽查學生的體育綜合測試成績。（6）試驗：從100個電子元件中隨機抽取三個進行檢驗。（7）拋一枚硬幣直到出現正面為止。最后借助函數的概念歸納隨機變量的概念。

二、交流合作，歸納共性

教師通過創設情境引入新課，可使學生迅速回歸課堂。那么教師用什么方式導出數學概念呢？這時需要讓學生經歷高中數學概念的產生與發展的整個過程。引導學生在概念的學習中主動參與概念的發現、聯想、類比、歸納、總結、提煉的過程。因此我們可以把概念生成過程的步驟歸納為觀察—思考—交流—猜想—合作—歸納—提煉。通過學生的交流、合作、共同歸納共性得出概念。例如，人教A版數學教材在函數概念引入的四個問題情境基礎上，設計一些問題，引導學生逐步抽象揭示四個實例的共同屬性。先讓學生觀察四個問題有什么特點，然后試著讓學生探究它們有什么共同特征，再通過自主思索描述這些問題的共同特征。然后通過小組合作的方式進行探討學習，在此基礎上結合小組的智慧結晶猜想函數的概念。最后在猜想與合作中共同歸納出函數的概念，通過問題串的方式讓學生經歷觀察、試探、思索、合作、猜想、歸納的整個過程。導出函數概念的問題串可以這樣設計：上述四個問題各有什么特點？你能根據這些特點發現它們有哪些共同特征嗎？你能用數學語言描述這些共同特征嗎？你們小組討論后得出什么結論？函數的概念是如何定義的？通過上述問題串，學生會發現四個問題都涉及兩個集合，且都是非空數集；一個對應關系：雖然對應關系的表示形式不同（解析式、圖象法、表格法等），但本質一樣，即單向唯一性。這樣的教學過程會讓學生從中深度理解函數的概念。

三、界定概念，精準解讀

學生通過對問題情境的歸納總結出它們的共同點，在積極思考和正誤辨析中統一到正確的認識上來，揭示出概念的本質屬性，找出新概念與原認知結構中的知識聯系，弄清錯誤認識的原因，抓住本質屬性，最后形成新概念，納入概念體系。形成新概念后，教師給出準確文字和符號的數學語言描述，解讀概念所包含的最根本的屬性及其概念的內涵與外延。

仍以函數概念的引入為例，在歸納出四個生活問題情境共同特點的基礎上，教師引導學生提煉四個生活問題的共同特點，挖掘函數的本質屬性，然后對函數的概念進行精準的界定。函數的概念有三個特點：兩個非空集合、一個對應關系、單向唯一性，這樣就概括得到了函數的概念。然后對函數的概念進行精準的解讀，函數概念有三要素：定義域、值域、對應關系，當兩個函數的三要素都相同時，這兩個函數是同一個函數。這僅僅是對函數概念的本質屬性的正確理解。通過教材上的四個生活實例與函數概念的本質屬性的分析，再結合具體實例，我們會發現，兩個函數相等的條件不需要函數的三要素都相同，只需要函數的定義域與對應關系相同即可，因為定義域相同，對應關系相同，則函數的值域也相同，這樣就能夠精準地解讀函數的概念。

對數概念是學生學習起來比較困難的概念之一，主要原因是對數概念是學生從未接觸過的內容，因此非常難理解。那么，我們在教學中如何來解決這類新問題呢？首先對數概念的界定需要通過指數相關運算進行，在理解對數概念時都是通過指數進行精準的解讀，甚至包括對數的運算法則、換底公式等的推導過程，都是借助指數的運算進行，利用指數與對數的關系把對數的有關問題轉化成指數的有關問題。通過學習讓學生明白對數與指數的關系事實上是互為逆運算的關系，這樣就能夠界定概念、精準解讀。

四、正反辨析，深刻理解

揭示概念定義后，為更加突出概念的本質特征，教師可通過概念的正例深度分析概念中的關鍵語句，并借用反例深化概念的深度理解，在此之前教師不宜直接進行相關的解題訓練。例如，離散型隨機變量的教學，可以利用判斷題進行辨析，通過列舉一些離散型隨機變量與連續性隨機變量讓學生進行正反辨析。如離散型隨機變量的實例：某射擊運動員射擊一次可能命中的環數為X，它的可能取值為0，1，2，…，10；某網頁在24小時內被瀏覽的次數為Y。連續性隨機變量的實例：種子含水量的測量誤差X1、某品牌電視機的使用壽命X2、測量某一個零件的長度產生的測量誤差X3。這些不同類型的實例可以讓學生深刻理解離散型隨機變量的本質特征。又如，二項式定理中的二項式系數與系數是學生容易混淆的兩個概念，教師可以引導學生通過兩組例題的學習進行正反辨析，達到深度理解的目的，其中一組例題為求二項式展開式中的某一項的二項式系數，而另一組例題為求二項式展開式中的某一項的系數，讓學生通過兩組不同的例題，進行對比。教師通過引導學生發現這兩組例題的不同之處與相同之處，特別是在完成這兩組練習中出錯的學生，其印象會更加深刻。這樣就達到了深刻理解二項式展開式中的系數與二項式系數的概念。

教師通過正反辨析、深刻理解開展比較典型的教學有冪函數、指數函數、對數函數的概念教學。這里以對數函數的概念教學為例。形如y=logax（a＞0，且a≠1）叫做對數函數，教師通過正反例讓學生判斷y=log2（x+1），y=log2x2，y=2log2x等是否為對數函數，讓學生深刻理解冪函數、指數函數、對數函數的概念，達到事半功倍的效果。

五、概念應用，反思總結

教師通過適當的練習可以讓學生在解決問題的過程中理解、掌握概念，用概念作為判斷問題的理論依據，形成用概念判斷的具體步驟。學生可通過練習的正確與否反思概念學習的有效性，再通過不斷總結錯誤的成因與根源，進一步加深對概念的理解。

以函數概念為例，函數概念的應用除了給出訓練函數三要素的練習之外，還可以利用已知函數解析式構建實際的數學問題，培養學生發現和提出問題的能力。例如：（1）y=x2，x∈R對應構建的實際問題是：任意一個實數對應于它的平方。（2）y=x2，x∈（0，10］對應構建的實際問題是：正方形的邊長對應于它的面積。（3）y=x（10-x），x∈（0，10］對應構建的實際問題是：長方形的邊長之和為20，一邊長對應它的面積。

通過練習，學生可以總結函數的三要素是函數的本質特征。在此基礎上，學生總結函數主要是一對一或者多對一，但不可一對多。此外，學生還可以通過圖象等來識別與總結函數概念的本質屬性。

在教學三角函數的概念后，教師讓學生對三角函數的概念進行反思、總結，如引導他們總結三角函數的概念這一部分主要有三個知識點：（1）三角函數概念的兩種定義：在單位圓中（定義）和不在單位圓中（課本的例2）。（2）符號看象限（頭腦中有平面直角坐標系）。（3）誘導公式一。這三個概念都是后面學習三角函數的誘導公式及其圖象與性質的基礎，特別是三角函數概念的理解是眾多學生的難點，主要是學生不會利用三角函數的概念解決相關的問題。方法是需要多練習才能解決問題。學生可以利用單位圓上點的坐標（三角函數的概念）來記憶0°，90°，180°，360°的三角函數的值。而對于30°，45°，60°特殊銳角三角函數值的記憶可以借鑒初中總結的內容來幫助記憶。教師在教學中讓學生了解三角函數的概念是后面推導其他知識的基礎，三角函數符號的確定是誘導公式的基礎。

在教學三角函數圖象與性質后，教師讓學生學會應用三角函數的圖象解決求三角函數的值域或最值及其取得最值的自變量取值，三角函數單調區間的求法，特別是有限制范圍的三角函數單調區間的求法等問題。學習三角函數的圖象與性質后，學生總結求復合型限制條件的三角函數的單調區間的兩種方法：（1）由自變量的區間求整體區間的取值范圍，然后在整體區間的取值范圍內找到所需的單調增區間或減區間，再把含有自變量的式子帶入，求出自變量的取值范圍。（2）直接利用函數的整體代換思想求出自變量在整個定義域上的單調區間，然后再討論k的取值，再結合原自變量的區間求單調區間。

六、濃縮概念，回歸本質

通過界定概念、練習、反思、總結，數學概念就會存留在學生的大腦中。這時，學生要學會濃縮所學的概念，抓住概念中凸顯概念本質的關鍵詞，對關鍵詞的解析就是概念的本質屬性。概念的濃縮，就是抓住反映概念的本質屬性的語句，把所學概念納入整個數學學科的知識體系中，構建整個數學學科的知識體系。

例如，學習完函數的概念之后，教師可以針對函數三要素的本質屬性，不斷地進行辨析與運用，直到讓學生熟練掌握為止。特別是函數的“多對一”或“一對一”的理解，需要教師進行點撥，這是學生容易混淆與不易理解的點。最后，教師還要在后續的學習中不斷強化函數的三要素的學習，在函數的表示、分段函數、函數的性質、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數的學習中再次加深對三要素的學習與理解，回歸函數的本質。另外，對于三角函數概念的學習，筆者通過初中的角度制引入高中的弧度制，然后利用弧度制與初中的三角函數關系及其單位圓等知識定義任意角的三角函數，看似把三角函數進行了內涵與外延的拓展，但通過對比銳角三角函數的定義，筆者發現，任意角的三角函數定義進行了高度的濃縮，只需要在單位圓中進行概念的定義，利用單位圓中的橫坐標與縱坐標定義整個三角函數，這樣的處理方式才能真正做到濃縮概念、回歸本質。

（作者單位：貴州省麻江縣第一中學）

編輯：張俐麗