高中數學解題中化歸思想的應用

摘 要：文章在明確了化歸思想應用原則的基礎上，分析了化歸思想在解決向量、數列、函數、不等式及立體幾何等問題中的應用.通過構造轉化、數形轉化、直接及坐標轉化等多種方法，能夠提高學生的解題能力，提升學生的數學學習效率.

關鍵詞：高中；數學；化歸思想

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0035-03

化歸思想作為一種貫穿于數學學習始終的核心理念，不僅能夠提升解題的效率，還能夠鍛煉學生的抽象思維能力和創造性解決問題的能力.尤其是在高中階段，隨著數學知識深度和廣度的增加，面對諸如數列、函數、不等式、立體幾何等復雜問題時，恰當地運用化歸思想，可以有效地降低問題的復雜度，使學生能夠更清晰地把握問題的本質，從而達到事半功倍的學習效果.因此，深入探討化歸思想在高中數學學科各知識板塊中的應用策略具有重要意義.

1 高中數學解題中化歸思想的應用原則

1.1 簡單化原則

簡單化原則是指在解題過程中，盡量將復雜的問題簡化為更基礎、更易于處理的小問題[1].這一原則的目的是降低問題的難度，使之更加易于理解和解決.在實際應用中，教師可以通過分解問題、提取問題的關鍵部分或是采用特殊值法來實現問題的簡化[2].例如，將一個復雜的代數問題拆分成幾個簡單的方程組，或是借助特定條件下的特例，分析抽象的幾何構造問題，從而找到解決問題的突破口.

1.2 熟悉化原則

熟悉化原則是指將遇到的新問題或不熟悉的問題轉化為已經掌握的、熟悉的問題類型.這一過程通常涉及將新問題與已知概念、定理或方法建立聯系，使其成為學生更加熟悉的形式，便于學生應用已有的知識解決相關問題.例如，在解決一個陌生的函數問題時，教師可以嘗試將其轉化為已知的基本函數模型，通過類比或借用已解決的相似問題的解法，幫助學生解決當前問題.

1.3 直觀化原則

直觀化原則強調通過圖形、圖表或者其他直觀的方式，幫助學生理解問題的本質，從而找到解決問題的路徑.直觀法比較適用于幾何和函數問題，通過繪制圖形或函數圖象，抽象的關系變得具體可見，便于學生觀察和分析，即使是在代數或數論問題中，使用直觀的方法也能夠幫助學生更好地把握問題的關鍵所在.例如，在解決立體幾何問題時，教師可以通過繪制三維圖形，直觀地展現各個元素之間的關系，進而使學生找到解決問題的方法.

2 高中數學解題中化歸思想的應用

2.1 構造轉化，解決數列問題

構造法是化歸思想中的一個重要分支，指的是在解題過程中根據問題的特點，主動構造出輔助量、輔助表達式，進而將問題轉化為易于解決的形式.構造新對象，能夠使復雜的條件得到簡化，或者將問題引向學生熟悉的已有結論.應用構造法時，首先要明確問題的關鍵結構，尋找適合的構造方法；其次要確保新構造的表達式或數列能準確反映原問題的本質；最后在得出解答后還需要回到原問題進行驗證，確保解答的正確性和完整性.

2.2 數形轉化，解決函數問題

數形轉化法是通過將數的抽象問題轉化為幾何圖形的直觀問題，或將幾何圖形的直觀問題轉化為數的表達，從而簡化解題過程.這一方法強調數與形之間的相互聯系，用圖形的直觀性揭示數的變化規律，或用代數的嚴謹性來刻畫圖形的精確性質.在實際運用數形轉化法時，首先要結合問題的特點確定函數或表達式的圖象特征，或者構造適當的幾何圖形來描述數的性質；其次，要通過分析圖形或數的特點找出問題的解答思路.

解析 根據題目可知，f（x）在（0，2]的圖象為一個上半圓，并且由于其奇偶性和周期性，f（x）在整個實數軸上關于原點對稱（如圖1）.要使得f（x）=g（x） 在 （0，9] 區間有8個交點，只需確保這兩個函數的圖象在該區間存在 8 個交點.

2.3 直接轉化，解決不等式問題

化歸思想中的直接轉化法是指通過一系列合乎邏輯的步驟，將原問題轉換為一個或多個更為簡單的問題，從而求解原問題.這種方法適用于那些看似復雜但實際上可以通過某種方式簡化或轉換為標準形式的不等式問題.直接轉化法的核心在于找到合適的轉換方式，使問題變得易于理解和解決.在使用直接轉化法時，需要注意每一步轉化都應該是等價的，即不能改變原本問題的真假性，同時每一步都要保持清晰的邏輯關系，確保轉化后的形式可以直接或間接地得出結論[3].

2.4 坐標轉化，解決立體幾何問題

在高中數學解題過程中，化歸思想中的坐標轉化法是指通過引入坐標系或將已有的坐標系進行變換，將立體幾何問題轉化為坐標系下的代數問題.這種方法適用于涉及空間位置關系、距離計算或角度測量的立體幾何問題.通過坐標轉化，可以將復雜的幾何描述轉變為數值計算，從而簡化問題的求解過程.使用坐標轉化法時，需要準確地確定幾何元素的位置，并且要確保坐標系的選擇或變換能夠方便地表述問題中的幾何關系.

例4 已知三棱錐A—BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，其中∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，點P為線段AB上的動點，若

線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ和AC形成30°的角，求線段PA的取值范圍.

解析 如圖2，在三棱錐中作直角坐標系.

結合題目信息，可得B（-1，0，0），C（1，0，0），設點P的坐標為（s，0，t），點Q的坐標為（1，m，0），

3 結束語

綜上所述，化歸思想不僅是一種有效的解題策略，更是培養學生數學思維和問題解決能力的關鍵.通過構造轉化、數形轉化、直接轉化以及坐標轉化等多種方法，學生能夠將復雜難解的數學問題轉化為簡單明了的形式，從而輕松找到解題的突破口.因此，在高中數學解題中，教師應注重化歸思想的滲透和應用，還應不斷嘗試和探索新的解題方法，有效培養學生的綜合能力.

參考文獻：

［1］李碩.“轉化與化歸”思想在高中數學解題教學中的應用[J].中學數學，2023（23）：58-59.

［2］ 裴偉.新高考下化歸思想在高中數學解題中的應用[J].數理天地，2023（05）：41-43.

［3］ 舒華瑛.轉化與化歸思想在高中數學解題教學中的應用研究[J].延邊教育學院學報，2021，35（06）：190-195.