“重心”很小 能量很大

摘 要：以一道2024年高考真題為切入點，研究輕繩懸掛系統類平衡問題并將其模型化，提出用“重心法”求解并列出一些模型示例，有利于培養學生橫向拓展的發散性思維能力和縱向延伸的深度學習能力.

關鍵詞：懸掛；平衡；重心法

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0101-03

學生在學習時常問“還有什么？”這是橫向拓展和縱向延伸的新起點，決定著知識體系構建的深度、廣度、豐度和牢固度.本文受一道高考題啟發，著重討論“還有什么”引發的解題模型探索.

1 真題呈現（2024年全國新課標卷理科綜合第18題）如圖1，兩根不可伸長的等長絕緣細繩的上端均系在天花板的O點上，下端分別系有均帶正電荷的小球P、Q，小球處在某一方向水平向右的勻強電場中，平衡時兩細繩與豎直方向的夾角大小相等.則（" "）[1].

A.兩繩中的張力大小一定相等

B.P的質量一定大于Q的質量

C.P的電荷量一定小于Q的電荷量

D.P的電荷量一定大于Q的電荷量

2 一題多解，引發思考

（1）規范作圖法：對小球Q、P受力分析、正交分解，用力的圖示體現相互作用力FPQ=FQP，如圖2，兩球各自受力均平衡，顯然：mPgt;mQ、TPgt;TQ.

（2）正交分解法：由圖2，對小球Q、P受力分析、正交分解，根據共點力平衡條件，可列方程組求解.

（3）重心法：

若撤去電場，系統會偏向左邊，如圖3.過O點的豎直線與PQ的交點M是兩球系統的重心，顯然rPMlt;rMQ，根據重心性質mPrPM=mQrMQ，得出mPgt;mQ.

可以證明，如圖4，若不撤去電場，將系統電場力與重力合成為F，則力F平行于OM.“重心法”可總結為：在均勻重力場中，輕繩單懸點的系統平衡時，若無側向外力，系統的重心在懸點的正下方；若有側向穩恒外力，系統的重心與懸點的連線平行于系統重力與穩恒外力的合力.

3 剖開真題，建立模型

改變真題題設條件以及待求關系，把學生引向高階思維.取一個角度：系統有無側向外力，討論.

例1 如圖5，兩根等長的細線各懸掛質量為mA和mB的小球，懸點為O，兩小球在自身排斥力的作用下張開一角度時，α=30°，β=60°，求mA∶mB.

評析 （1）顯然，從思維難度、受力分析和解題過程來看，重心法都更為簡潔，推薦使用；（2）此例具有鮮明的特征：單懸點、無側向外力，梳理模型如表1.

上表中各類變式問題也可使用相似三角形法或正交分解法求解，但重心法最為簡單，讀者可以自行嘗試.變式：例1中，懸點為兩個點，繼續討論.

例2 如圖10，兩根長度均為l的細線各懸掛質量分別為mA和mB的小球，mA=1.5mB，球A的懸點為O1，球B的懸點為O2，兩懸點間距也為l，兩小球之間通過一根輕桿連接，平衡時，兩小球懸線與豎直方向的夾角分別為α和β，剛好滿足α+β=90°求α.

解析 如圖11，延長兩繩的方向交于點O，點O視為新的懸點，O點正下方C點為系統的重心，根據“重心法”，可解得α=37°.

評析 此例具有鮮明的特征：雙懸點、無側向外力.“重心法”解題路徑是將兩繩延長相交，以交點作為新的懸點，從而將雙懸點問題轉化為單懸點問題求解.梳理模型如表2.

以上兩類問題屬于無側向外力的情形，有側向外力的情形又如何？側向外力往往怎么來的？梳理模型如表3.

F1為系統的慣性力[2]（側向外力來源）.

評析 側向外力的來源比較廣泛，可以是直接施加外力、風吹帶來的側向力，也可以通過電場施加的電場力或通過磁場施加的安培力，還可以是慣性力等.

4 結束語

筆者闡述的“重心法”是整體法，可用于高中階段解輕繩懸掛系統類平衡問題，本質是處于平衡狀態的系統所受外力為共點力.從建模意義來看，“重心法”解題一是從理解“重心”性質到運用“重心”的性質解決問題，加深對物理概念的理解；二是拓展解題方法，一題多解，訓練學生的發散性思維，擇優去劣，提高解題效率.

參考文獻：

［1］高考理科綜合考試委員會.2024年全國高考理科綜合試題新課標卷［M］.北京：人民教育出版社，2024：12.

[2] 陳新學.例談質心和質心系在解題中的應用[J].數理化解題研究，2023（19）：123-125.