研究一道有關角平分線的聯考試題

摘 要：在解析幾何中，角平分線是一個非常重要的概念，歷年的?？肌⒏呖家约案傎愒囶}中常有考查，學生在解決此類問題時并不是太得心應手.通過探究一道有關角平分線的?？荚囶}，幫助學生發散思維，提升運算能力，增強學生的數學核心素養.

關鍵詞：角平分線；直線方程；橢圓

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0028-04

圓錐曲線問題一直是高考中的難題.新課標卷對導數的考查有所減弱，那么圓錐曲線問題就顯得更加重要，特別值得研究.第19題又是創新題，很難突破，圓錐曲線問題基本上都處于第18題，我們必須充滿信心，并且此類問題還是有規律可循的，只要研究達到一定深度，我們就能有所突破.

1 試題呈現

2 總體分析

本題是2024年安徽蚌埠聯考的一道壓軸填空題，屬于直線與橢圓的綜合題，涉及求角平分線的方程.此題以橢圓為載體，知識背景簡單，但有研究價值.經過研究發現解決這個題目的方法比較多，可以利用軌跡思想、二倍角公式、角平分線的定義、角平分線的性質、向量等突破問題.

3 試題解答

探究該角平分線所在直線方程的求解方法.

視角1 利用軌跡思想求解.

解法1 設M（x，y）為內角∠F1AF2平分線上的任意一點，結合圖象易知角平分線AM（以下簡記為直線l）斜率為負值.

根據角平分線的定義（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），得

解得4x+2y+1=0（x-2y+4=0舍去）.

所以角平分線方程為4x+2y+1=0.

評注 解法1實質上是求點的軌跡方程，結合角平分線的定義（即角平分線上的任意一點到角的兩邊的距離相等），通過設點、尋找幾何關系、列式、化簡等步驟，完成曲線（直線）方程的求解，同時要結合內角平分線位置作出取舍，學生可能會忽略這個切入點.

直線l斜率為k=tanα=-2.

所以tanα=tan（π-∠ANF1）=-2.

評注 本解法利用正切的二倍角公式進行計算，思路自然流暢，教學中注意引導學生結合圖形理順位置關系以及角之間的聯系，利用誘導公式方可快速準確達成求解目標.

視角3 利用角平分線的對稱性求解.

解法3 因為角的兩邊關于角平分線對稱，所以點F2（1，0）關于角平分線l的對稱點F′2在直線x=-1上.

因為F2F′2⊥l，

解得t=-1（t=4舍去）.

故所求直線斜率為kl=-2.

所以角平分線方程為4x+2y+1=0.

解得t=-1（t=4舍去）.

故所求直線斜率為-2.

所以角平分線方程為4x+2y+1=0.

所以|F1F′2|=1.

故點F′2（-1，-1）.

所以角平分線方程為4x+2y+1=0.

視角4 角平分線的性質.

性質1 若AN為△AF1F2的角平分線，則點N到角的兩邊的距離相等.

所以角平分線方程為4x+2y+1=0.

評注 解法6，7是角平分線兩個性質的具體體現，由于AF1⊥x軸，△AF1F2為橢圓的焦點三角形，所以角平分線上的點選擇了與x軸的交點N（x0，0），在很大程度上降低了運算量，這樣才能提高解題的準確率.長期堅持可以啟迪學生的思維，拓寬學生的視野.

視角5 利用等面積法求解.

評注 等面積法是一種靈活的思路，結合角平分線的性質得|NH|=|F1N|，通過等量代換，求解瞬間變得簡單易行，值得學習借鑒.

視角6 利用向量法求解.

所以角平分線方程為4x+2y+1=0.

所以角平分線方程為4x+2y+1=0.

視角7 利用兩角差的正切公式轉化求解.

所以

tan∠NAF2=tan（∠AF2x-∠ANF2）.

所以角平分線方程為4x+2y+1=0.

評注 此法利用兩角差的正切公式進行等價轉化求解，本質上就是應用到角公式解題，針對學有余力的學生，教師可以適當介紹，拓寬學生的視野，提升學生的思維能力.

4 高考鏈接

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求∠F1AF2的角平分線l所在直線的方程.

評注 此題第（2）問和文中的題如出一轍，可以說文中呈現的試題就是根據這道高考真題改編而來，感興趣的同仁們自行求解.

5 拓展推廣

結合解題過程，探究本質，可以作以下推廣：

6 結束語

新教材注重學生核心素養的培養.在日常的教學中，我們引導學生結合自己的思維習慣選擇適當方法進行解答，加強通性通法教學和基本數學思想方法的滲透.同時在解決問題時，應將題目中的題設結論與已經學過的相關知識進行整合，讓知識形成網絡，方法形成體系，解題教學的基本要求就是把一道道題目作為研究對象，而解題過程就是對其進行全方位多角度的探究過程[1]，長期堅持能力和素養就形成了.

“多思少算”是高中數學解題的一種非常重要的策略，能幫助學生拓寬思維，提高解題效率，提升數學核心素養.因此，“多思少算”策略逐漸成為專家和一線教師的研究方向以及命題方向[2]，這需要師生的自覺性和主動性.

參考文獻：

［1］馬文杰，羅增儒.一道高考題的“深度解析”[J].中學數學（高中版），2010（21）：25-27.

[2] 李昌成，賀鳳梅.2024年全國高考新課標Ⅰ卷第16題的研究[J].數理化學習（高中版），2024（08）：20-23.