優化運算 彰顯素養

摘 要：數學運算是高中數學六大核心素養之一，是獲取數學知識、有效參與數學活動、積累數學經驗的基本要求.文章以“向量法求解立體幾何探索性問題”為例，從明晰運算對象、探究運算邏輯、巧妙設置參數、優化運算思路、提升運算素養等環節開展教學實踐，實現從提升解題技能向發展運算素養的轉變.

關鍵詞：運算素養；優化運算；立體幾何；向量法

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0045-04

良好的數學運算素養是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養，主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等[1].優化運算是指在具體情境中，能夠綜合考慮問題的特點、運算的復雜性和個人計算能力等因素，選擇最合理、最簡潔的運算策略.

高中數學課程將立體幾何分為兩個部分，必修中的“立體幾何初步”和選擇性必修中的“空間向量與立體幾何”，第一部分綜合法注重邏輯推理能力、幾何直觀能力和空間想象能力，也是我們研究立體幾何的基礎；第二部分引入空間向量，為解決立體幾何問題提供了新的視角.將幾何問題代數化，從而降低了思維的難度，只要建立適當的空間直角坐標系，無需刻意了解圖形的所有細節結構，無需進行復雜的作圖與說理，通過向量的運算性質就能進行幾何關系的判斷，在證明幾何元素的位置關系、計算角度和距離時優勢明顯.

1 向量法求解立體幾何探索性問題的實踐策略

用向量法求解立體幾何中的探索性問題是從代數的角度研究幾何問題，避免不了代數運算.如何進行有效地運算并優化運算，以提升學生的數學運算核心素養值得研究.

1.1 明晰運算對象

立體幾何探索性問題中，我們的運算對象是幾何圖形的基本元素和基本關系.向量集數與形于一體，既是數的運算，也是圖形的運算，所以用向量法解決幾何問題，要以對立體圖形的組成要素及其形狀、位置關系的分析為基礎，選擇適當的基底，并利用基底表示出相應的幾何元素和基本關系，才能使計算與圖形特征融為一體[2].

1.2 探究運算邏輯

運算邏輯是我們解題的關鍵，它指的是如何利用向量的運算性質來求解幾何問題，建立空間向量與立體圖形的聯系，實際上就是向量基本定理的應用，它反映了空間向量在立體幾何中應用的本質.明確運算對象后，以圖形結構特征為基礎，運用向量的基本概念和運算性質，將復雜的幾何關系轉化為更容易處理的代數關系.

1.3 巧妙設置參數

一個問題中的設參方式是多樣的，合適的設參方式也需要解題經驗和智慧的積累.綜合設參后計算量的大小做出最優的選擇，不僅凸顯了向量法在解決立體幾何探索性問題中的獨特優勢，也豐富了數學思維體系，提高應用數學的能力.

例如，在解決“線段上是否存在點滿足特定要求”這類問題時，我們可以根據動點所在線段的位置來選擇合適的設參方式.如果動點所在的直線與坐標軸平行，一般直接設點求點；反之，當動點既不在坐標軸上，也不在坐標平面內時，可以根據三點共線的條件，利用向量共線定理a=λbb≠0引入參數搭建橋梁，將相關的點或者目標向量坐標用參數表示[3].

1.4 優化運算思路

以向量法求解立體幾何探索性問題為例，把握“設而不求”的方法，在解題過程中體會其內涵.在具體應用中，根據已知條件考慮表示相關點坐標難易程度、計算量大小等因素選擇表示點坐標的最優方式.實際上，在很多立體幾何探索性問題中，動點坐標的參數表示并不是最終目的，而是表示出與動點相關的向量坐標，所以在實際操作中，我們往往可以不寫出動點坐標的參數表示，而是利用向量的線性運算直接寫出和動點相關向量的坐標參數表示.這種運算思維不僅簡化了解題過程，而且極大地提高了解題效率[4].

1.5 提升運算素養

在解題過程中，鼓勵學生采用一種探究的態度，通過對比和實踐，綜合考慮問題的特點、運算的復雜性以及個人的計算能力，從而選擇最合理、最簡潔的運算策略.這種以提高數學運算素養為目標的教學方法，有助于學生在數學學習中形成系統的思維模式，提升運用數學知識和技能解決實際問題的能力，從而在數學素養上得到全面的提升.

2 教學實踐與案例分析

解決這類問題的突破口是在線段上探尋一點滿足特定條件時，如何選擇合適的設參方式表達和動點相關的目標向量，實則選擇的本質都是從優化數學運算的角度出發.

解析 設O是AD的中點，連接OP，OB，

所以OP⊥平面ABCD.

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，

所以△ABD是等邊三角形.所以OB⊥AD.

故OA，OB，OP兩兩垂直.

設平面BDM的法向量為n=x，y，z，

思路點撥

在解決立體幾何問題時，運算能力的體現不僅在于計算的準確性，還在于優化算理和深刻理解“設而不求”的本質.

例2 "如圖3，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，DC=AD=PD=1，AB=2，E為線段PA上一點，點F在邊AB上，且CF⊥BD.

解析 由題意可得DA，DC，DP兩兩垂直，以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖4所示，則D0，0，0，A1，0，0，B1，2，0，C0，1，0，P0，0，1.

設點F1，t，0，t∈0，2，

設平面PFC的法向量為n=x，y，z，

令x=1，則y=2，z=2，即n=1，2，2.

設EF與平面PFC所成角為θ，

思路點撥

在本題中，我們面臨兩處探索性問題，分別是點F的位置和點E的位置.在設定參數時，考慮動點所在直線與坐標軸的關系，選擇合適的設參方式.動點F所在的邊AB與y軸平行，則直接設動點F的坐標為1，t，0，t∈0，2，根據動點滿足的CF⊥BD這個條件，等價

3 結束語

高中數學課程致力于培養學生的數學思維能力，其中運算素養是數學思維的具體體現，也是數學教學的核心目標之一.在數學學習的過程中，對運算對象的理解、運算方向的明確、運算方法的選擇、運算程序的設計以及運算法則的掌握等方面都提出了更高的要求，這些都是培養運算思維的關鍵.運算素養的提升不僅僅是通過記憶和重復練習來實現，更重要的是通過深入理解運算背后的數學原理和邏輯關系，培養學生的數學思維和問題解決能力.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

［2］ 章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律：“空間向量與立體幾何”內容分析與教學思考[J].數學通報，2021，60（06）：1-6.

［3］ 陶治國.立體幾何中基于向量法的坐標求解算法研究[J].數理天地，2024（01）：17-18.

［4］ 孫平.巧用向量法解一類立體幾何中的探索性問題[J].中學生數理化，2024（02）：34-37.

［5］ 苗興振.例談立體幾何探究問題中的引參法[J].高中數理化，2023（01）：67-69.