例談用導數處理含參函數單調性策略

摘 要：用導數處理含參函數單調性問題是歷年來高考考查的熱點，里面涵蓋了多種數學思想方法.文章詳細闡述利用導數研究含參函數單調性的類型以及一般策略.

關鍵詞：導數；含參函數；單調性；分類討論

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0052-03

利用導數研究含參函數的單調性時，因為參數的不確定性，從而導致導函數的符號不確定，繼而原函數的單調性不確定，所以常常對參數進行分類討論以便確定導函數的符號.討論的關鍵是化不確定為確定，結合導函數的式子的類型及結構特點找到討論節點，具體可參考以下步驟［1］：

（1）明確原函數的定義域；

（2）對原函數求導，對導數進行通分、因式分解等變形，判斷導函數各個部分的符號，找到影響導函數符號的關鍵部分，將其設為一個函數，例如設為

g（x），以下把g（x）記為“導后有效部分”；

（3）對“導后有效部分g（x）”在定義域上的符號進行分析，具體操作如下：

①導后有效部分g（x）是什么類型函數；

②導后有效部分g（x）=0是否有根，有幾個根，根的大小是否確定；

③對參數進行分類，明確根的大小，再結合函數g（x）的類型，畫出

g（x）大致簡圖；

④根據原函數的定義域確定以上的分類是否需要細分，結合g（x）大致簡圖，直觀得出在不同區間上的符號.

1 “導后有效部分g（x）” 為“一次型”

例1 設函數f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（agt;-1），求f（x）的單調區間；

當-1lt;a≤0時，f ′（x）lt;0恒成立，函數f（x）的減區間為（-1，+∞），無增區間；

評注 此題中的“一次型”，即導函數的分子呈現自變量最高次項為一次的代數形式，在處理此類問題時，部分學生會分三種情況處理，即a=0，agt;0，-1lt;alt;0，實則是走入了初高中銜接階段處理含參不等式的誤區.在用導數處理含參函數單調性問題時，主要是討論導函數在定義域內與0的大小關系，而非不同的不等式結構，在解題策略上應該先寫其大小關系是恒成立的情況.

2 “導后有效部分g（x）”為類“一次型”

例2 已知函數f（x）=ex-ax，其中a∈R，討論函數f（x）在［0，1］上的單調性.

解析 （1）由f（x）=ex-ax，得f ′（x）=ex-a.因為x∈［0，1］，所以ex∈［1，e］，當a≤1時，f ′（x）=

ex-a≥0，f（x）在［0，1］上單調遞增，當1lt;alt;e時，令f ′（x）=ex-a≥0，解得x≥lna，即f（x）在［lna，1］上單調遞增.令f′（x）=ex-alt;0，解得xlt;lna，即f（x）在0，lna上單調遞減.當a≥e時，f′（x）=ex-a≤0，f （x）在［0，1］上單調遞減.

評注 此題中的“類一次型”非數學專業術語，可解釋為通分后分子上導函數含參，但參數不影響導函數單調性，一般是一個單調的基本初等函數加上參數，我們可以根據基本初等函數的單調性分析出導函數和0的大小關系，從而確定分類標準.

3 “導后有效部分g（x）”為二次型且能分解因式

評注 此題中的“二次型”，即導函數分子呈現自變量最高次項為二次的代數形式，且能因式分解.在處理此類問題時，①根據二次項系數的正負（即二次函數的開口）通常分三類a=0，agt;0，alt;0進行第一次分類討論；②開口確定后根據方程的兩根的位置關系進行第二次討論；③畫好草圖以后再對根是否在定義域內進行第三次討論，從而判斷其導函數在定義域內的符號.

4 “導后有效部分g（x）”為類二次型能分解因式

例4 （2017年新課標Ⅰ卷）已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，討論f（x）的單調性.

解析 由f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，得

f ′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（2ex+1）（aex-1）.

因為e2xgt;0，exgt;0，所以當a≤0時，f ′（x）lt;0，所以f（x）在R上單調遞減.

評注 此題中的“類二次型”不是數學專業術語，也不嚴謹，但在講解此類問題中，用“類二次型”的表述能讓大多數學生接受并理解.導函數f ′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1進行因式分解得ex的二次函數型，因為指數函數的恒正性，要首先考慮恒成立情況，即a≤0，導數恒負，繼而確定分類標準.

5 “導后有效部分g（x）”為二次型但不能分解因式

數，討論函數f（x）的單調性．

解析 函數f（x）的定義式為（0，+∞），

令g（x）=ax2+（2a+2）x+a，則方程ax2+（2a+2）x+a=0的根的判別式△=8a+4.

（1）當a≥0時，g（x）gt;0在（0，+∞）上恒成立，所f ′（x）gt;0，所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

當0lt;xlt;x1時，g（x）lt;0，f ′（x）lt;0，函數f（x）單調遞減；當x1lt;xlt;x2，g（x）gt;0，f ′（x）gt;0，函數

f（x）單調遞增；當xgt;x2時，g（x）lt;0，f ′（x）lt;0，函數f（x）單調遞減．

評注 此類問題只需要通過對判別式△的符號進行討論.①若△lt;0，則方程沒有實根，接下來判斷二次函數的開口是否確定，不確定時進行分類討論，根據開口和△lt;0，畫出導后有效部分g（x）的草圖，直觀看出g（x）的符號；②若△=0，則方程有兩個相等的實根，下面的處理同①；③若△gt;0，則方程有兩個不同的實根，記為x1，x2，接下來判斷二次函數的開口是否確定，不確定時進行分類討論，根據開口方向和兩個實根，畫出導后有效部分g（x）的草圖，直觀看出g（x）的符號.最后加入定義域確定以上的分類是否需要細分，畫出g（x）的草圖明確各個分類在定義域內的符號.

6 “導后有效部分g（x）”為求導型

當-1lt;xlt;0時，g（x）gt;g（0）=0，

所以f ′（x）gt;0，所以f（x）在（-1，0）上單調遞增．

當xgt;0時，g（x）lt;g（0）=0，f ′（x）lt;0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞減.故函數f（x）的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為（0，+∞）.

評注 此類問題難點在于要對原函數求二階導數進而判斷導函數的單調性，其次還要對導函數進行試根，寫出極值點，判斷其與0的大小關系，進而寫出原函數的單調性.

7 結束語

含參問題是一種綜合題型，該題型的考查目的是訓練和檢查學生的邏輯推理能力和分析能力.而運用導數處理含參數函數的單調性，則是一類常見的探索性問題.參數問題形式多種多樣，技巧性也強，方法更是靈活多變，所以面對某些“含參函數”題目要知道解決的策略多種多樣，我們要不斷提升自己的數學思維，以不變應萬變.

參考文獻：

［1］ 嚴厚飛.利用導數求解含參數函數單調性問題的策略[J].高考，2018（35）：192.