巧解拋體運動射程相關問題

摘 要：文章從常見的“平地”拋出物體射程最大的問題出發，推廣至向“坡上”拋和向“坡下”拋，得出“當物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線拋出時，射程最大”這一普適結論.除了最大射程對應唯一拋射角之外，其他任意射程都可以通過兩種不同的拋射角來實現，兩個拋射方向關于斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線對稱.

關鍵詞：拋體運動；角平分線；射程最大

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0107-04

拋體運動是一種典型的勻變速曲線運動，其中沿平（斜）面的拋體運動是物理競賽知識體系的基礎.通過對斜拋運動中最大射程問題進行分析，得出結論：不論向“坡上”拋還是向“坡下”拋，當物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線拋出時，射程最大.

1 經典原題

從水平面上以相等的速度大小v拋出一物體，不計空氣阻力，試求拋體的最大射程和相應的拋射角[1].

解 如圖1所示，在拋射平面（豎直平面）內分別取水平方向和豎直方向為x軸和y軸方向，建立直角坐標系Oxy，那么拋體運動的分量方程為

欲求拋射體的射程L，可從方程②中取y=0時的x值，得到

從L的表達式易得最大射程和相應的拋射角分別為

即當物體沿水平面與豎直向上方向所成夾角的角平分線拋出時，射程最大.實際上向“坡下”拋還是向“坡上”拋仍然有類似的規律，只不過應修改成當物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線拋出時，射程最大.現就一般情況進行證明.

2 模型推廣

現在討論向“坡上”、向“坡下”拋擲物體的最大射程問題[2].如圖2和圖3所示，令直角坐標的x軸和y軸分別指向沿斜面向上（或向下）和垂直于斜面向上方向，沿坐標軸方向分解物體的速度和加速度，此時x軸和y軸方向的運動均為勻變速直線運動，它們在x軸和y軸方向的分運動方程分別為

vx=vcosθ±（gsinφ）t⑤

vy=vsinθ-（gcosφ）t⑥

方程⑤⑦中，正號為向“坡下”拋，負號為向“坡上”拋.

在圖2中，欲求沿斜坡方向拋射體的射程L，可從方程⑧中取y=0時的x值，得到

對⑨式中含有θ的因子cos（θ+φ）sinθ作積化和差變換

L取最大值

相應的拋射角為

同理，在圖3中欲求沿斜坡方向拋射體的射程L，可從方程⑧中取y=0時的x值，得到

同樣作積化和差處理后得到

相應的拋射角為

3 得出結論

當物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線向“坡上”拋出時，相應的拋射角為

當物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線向“坡下”拋出時，相應的拋射角為

由此還可反推，當射程x一定時，拋射方向沿斜面與豎直方向所成夾角的角平分線時，速度最小.即沿水平面斜上拋v2min=gx，向坡上拋時v2min =

評析 運動的分解是解決曲線運動問題的常用方法，其核心在于建立合適的坐標系，將一個復雜的曲線運動分解成兩個簡單直線運動來討論.合適的坐標系的建立可以起到化繁為簡、事半功倍的效果.在教學過程中應當有意識地引導學生按需建立坐標系，從而提升學生解題能力和思維品質.4 軟件驗證

在GeoGebra軟件中，我們設定了重力加速度為g=9.8 m/s2，并考慮了一系列初速度均為5 m/s的拋射運動，這些運動的拋射方向與x軸正方向的夾角從5°變化到85°，每次增加5°通過繪制這些拋射運動的軌跡（拋物線），我們得到了一個拋物線組合圖像[3].

觀察這個圖像（圖4），我們可以發現一個顯著的特點：當兩個拋射的方向是關于45°這條角平分線對稱時，它們的射程是相等的.進一步地，圖像還表明，在所有可能的拋射方向中，沿著45°這條角平分線方向拋出的物體，在水平面上能夠達到的最大射程是最大的.

現在我們取斜面傾角為30°，向坡上拋，其余設定同上.由圖5可知，當兩個拋射方向關于角平分線60° 線對稱時斜面上的射程相等，且沿角平分線60°線方向拋出落在傾角為30°的斜面上射程最大.

現在我們取斜面傾角為30°，向坡下拋，其余設定同上.由圖6可知，當兩個拋射方向關于角平分線30° 線對稱時斜面上的射程相等，且沿角平分線60°線方向拋出落在傾角為30°的斜面上射程最大.

由三種情形的圖像可得除了最大射程對應的唯一拋射角之外，其他任意射程都可以通過兩種不同的拋射角來實現，兩個拋射方向關于斜面與豎直方向所成夾角的角平分線對稱.

下面我們以向坡上拋為例進行理論分析，通過前面的分析已得

5 具體應用

在傾角α=30°的雪坡上舉行跳臺滑雪比賽，如圖7所示，運動員從坡上方A點開始下滑，到起跳點O時借助設備和技巧，保持在該點的速率不變而以與水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上B點，坡上OB兩點距離L為此項運動的記錄.已知A點高于O點h=50 m，g取10 m/s2，忽略各種阻力、摩擦，求最遠可跳多少米？此時起跳角為多大[4]？

5.1 常規解法

建立如圖8所示的直角坐標系，將初速度和加速度沿x軸和y軸方向正交分解：

x軸方向上的初速度和加速度分別為

vx0=v0cos（θ+α），ax=gsinα

y軸方向上的初速度和加速度分別為vy0=v0sin（θ+α），ay=g

cosα

故在x軸和y軸方向上的位移方程為

運動員落到斜面上時，y=0.

利用三角函數關系

當2θ+α=90°，即θ=30°，L取最大值.

評析 以上解法雖然根據題圖靈活地建立了坐標系，運用了運動的正交分解方法，利用已知的物理定律或原理，將因變量與影響它的一個或多個物理量（即自變量）之間建立起明確的數學關系，然后運用數學方法求函數的極值，但運算較復雜，耗時長且很難保證正確率.

5.2 巧解

6 結束語

本文從運動的合成與分解出發，得到相關結論，并加以剖析，歸納便于學生應用的處理方法，以期對學生在求解這類試題有所幫助.分析此類拋體運動的問題有利于開闊學生眼界、提升學科素養，是高階思維能力培養的難得素材.當然，解答這題對于學習物理競賽的學生而言，就是必備的能力了.

參考文獻：

［1］程稼夫.中學奧林匹克競賽教程：力學篇[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2013.

［2］ 蔣玉兵.斜拋運動的幾個有趣結論[J].物理之友，2018，34（09）：26，30.

［3］ 殷仁勇.物理奧賽拋體問題的處理與運用[J].物理教師，2019，40（11）：95-97.

［4］ 黃國超.由一競賽試題談對斜拋運動的處理[J].物理教師，2009，30（02）：60.