關于“球槽模型”的研究與拓展

摘 要：對“球槽模型”中的幾個疑難問題進行定量分析，重點討論了小球的運動軌跡、小球的速度及其最大值、球槽之間的彈力及其最大值等問題，并對該模型進行拓展研究，以強化對模型的特點和規律的認識，指出一道常見習題中數據的科學性錯誤及可行的修改方法.

關鍵詞：球槽模型；運動軌跡；最大速度；最大彈力；橢圓擺模型

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0111-05

“球槽模型”是高中物理中的經典模型.如圖1所示，質量為M的勻質凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內有一個半圓形的光滑軌道，圓的半徑為R.質量為m的小球（可視為質點），初始時刻從圓軌道的右端點由靜止開始下滑，整個過程凹槽不翻轉，重力加速度為g.

了彈力的最大值位于凹槽最低點［3］；文獻[4]將小球視為剛體從而考慮小球在凹槽中做純滾動時，發現彈力最大值也存在臨界條件是小球和凹槽的質量相等［4］.本文詳細地討論這些問題，并對該模型進行拓展研究，指出一道常見習題中數據的科學性錯誤及可行的修改方法.

1 模型的研究

1.1 小球的運動軌跡

小球在凹槽中相對于凹槽做圓周運動，由于凹槽相對于地面運動，所以小球相對于地面并不是圓周運動.為了求解小球相對于地面的軌跡方程，以初始時刻凹槽圓心的位置為坐標原點，在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy，圓的直徑位于x軸上，如圖2所示.

設小球在運動的過程中某時刻的坐標為（x，y），則小球向左運動的水平位移為（R-x）.設凹槽向右運動的位移為x1，由水平方向的“人船模型”可得

凹槽移動后的半圓形軌道方程為

（x-x1）2+y2＝R2，（y≤0）②

1.2 小球的最大速度

設小球運動到最低點時相對于地面的速度為v1，凹槽的速度為v2，由系統的水平方向動量守恒和系統的機械能守恒可得

聯立③④式解得

然而，從動力學角度和能量轉化的角度做定性分析，都無法判斷小球的速度大小變化情況.小球的最大速度出現在什么位置？如何求解最大速度？這需要嚴格地定量推導和計算[5].

如圖3所示，不妨以小球相對于凹槽圓心轉過的角度θ為自變量，小球相對于凹槽的速度v相沿圓弧的切線方向，相對于地面的速度為v1，凹槽的速度為v2，則滿足下列表達式

mv1x＝Mv2⑥

v相sinθ＝v1x+v2⑧

v21＝v21x+（v相cosθ）2⑨

聯立⑥⑦⑧⑨式解得

令g′（θ）≥0，則B14式中括號內的式子大于等于0，化簡可得

（k+1）（k+cos2θ）2≥3k（k+1）sin2θ-ksin4θ 15

1.3 球槽間最大彈力

一般情況下，如圖4所示，以地面為參考系，凹槽受到小球的彈力FN在水平方向的分力產生加速度a2，對凹槽在水平方向，由牛頓第二定律可得

FNcosθ＝Ma2 18

而凹槽的加速度可表示為

聯立11 12 18 19式解得

聯立18式消除加速度a2解得

2 模型的拓展

仔細考察可以發現，在“球槽模型”中并不限于特定的軌道約束，可以改為輕繩或輕桿連接，它們的特點和實質相同.從小球運動的軌跡形狀來看，都可以稱為“橢圓擺模型”[7].

2.1 拓展一：球環模型

例1 （多選）如圖6所示，兩個小球A、B用長為L的輕質細繩連接，B球穿在光滑細桿上.初始時，細繩處于水平狀態，現將A、B由靜止釋放，兩球均可視為質點且mA＜mB，不計空氣阻力，重力加速度為g.下列說法正確的是（" ）.

A.A球在豎直平面內做變速圓周運動

B.A球與B球同時達到最大速度

C.A球運動的最大速度大于B球運動的最大速度

D.A球向左運動的最大位移大于B球向右運動的最大位移

2.2 拓展二：球車模型

例2 （多選）如圖7所示，質量為M的帶有四分之一光滑圓弧軌道的小車靜止置于光滑水平面上，圓弧的半徑為R（未知），一質量為m的小球以速度v0水平沖上小車，恰好達到圓弧的頂端，此時M向前走了0.2R，接著小球又返回小車的左端.若M＝2m，重力加速度為g，則（" ）.

A.整個過程小車和小球組成系統動量和機械能都守恒

解析 小車和小球組成系統機械能守恒，但動量不守恒，而是水平方向動量守恒，在小球上升到最大高度的過程中有mv0＝（m+M）v 23

由水平方向動量守恒可得mv0＝mvm+MvM，對時間t微元求和可得

mv0t＝mxm+MxM，v0t＝xm+0.4R 26

其中M向前走了xM＝0.2R，由幾何關系可得

xm＝xM+R＝1.2R 27

質疑：這個問題本質上是橢圓擺模型的拓展，運動規律很復雜.當小球達到圓弧的頂端時，小車的位移和小球的水平位移不是一個設定的數據，而需要嚴格的數學計算和數值模擬.圖8 球車模型的速度關系

如圖8所示，設小球相對于小車圓心轉過的角度為θ，小球相對于小車的速度v相沿圓弧的切線方向，小車的速度為v，由系統水平方向動量守恒定律和機械能守恒定律可得

聯立30 31式解得

利用計算機軟件求得小車和小球的水平位移分別為

由此可見，小車的位移約為0.674R，并不是題給條件0.2R，小球的水平位移約為1.674R，故本題的數據屬于隨意設定或捏造，犯了科學性錯誤.為了防止出現錯誤，可以將小車的位移設置成xM＝kR，那么26 27式將改為

v0t＝xm+2xM＝xm+2kR 32

xm＝xM+R＝kR+R 33

類似的問題如圖9所示，質量為M的小車靜止在光滑的水平軌道上，用一段不可伸長的輕繩懸掛質量為m的小球，現給小球以水平初速度v0，且恰好達到輕繩處于水平狀態，關于小球和小車的運動問題，與上述拓展2的實質相同，都屬于“橢圓擺模型”的拓展延伸.

3 結束語

本文首先對“球槽模型”主要的研究文獻進行綜述，指出已有研究的不足；然后對其中的幾個疑難問題進行定量分析，重點討論了小球的運動軌跡、小球的速度及其最大值、球槽之間的彈力及其最大值等問題；最后對該模型進行拓展研究，以強化對模型的特點和規律的認識，并指出一道常見習題中數據的科學性錯誤及可行的修改方法，為教學提供參考.

參考文獻：

［1］張燕怡.關于力學綜合常見模型“球槽問題”的一點討論[J].物理教學探討，2017，35（4）：52-53，61.

[2] 陳向正，李力，張貴華.“球槽模型”的數理解析和一個錯誤的澄清[J].物理教師，2018，39（5）：57-58.

[3] 馮得會，王猛.再議“球槽模型”最大值位置[J].物理教師，2023，44（8）：87-89.

[4] 李旭斌.“球槽模型”的壓力極值位置分析[J].物理教師，2022，43（12）：58-59.

[5] 段石峰.2023年高考湖南卷壓軸題“球槽模型”的溯源與拓展[J].物理教學，2023，45（09）：74-77.

[6] 劉存輝，劉海英，李萍，等.2023年高考物理湖南卷壓軸題的溯源及拓展[J].中學物理教學參考，2023，52（31）：59-63.

[7] 段石峰.2023年高考物理湖南卷第15題“橢圓擺模型”的研究[J].物理教師，2024，45（02）：90-93.