2025年高考數學模擬卷（一）

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0063-09

（適合新課標Ⅱ卷省份：甘肅、山西、遼寧、吉林、黑龍江、廣西、海南、重慶、貴州、云南、新疆）

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．若z=1+i，則|iz+3z|=（" ）.

A.充分非必要條件"" B.必要非充分條件

C.充要條件" D.既非充分也非必要條件

4．已知數據x1，x2，x3，…，x10，滿足xi-xi-1=1（2≤i≤10），若去掉x1，x10后組成一組新數據，則新數據與原數據相比，下列說法正確的是（" ）.

A.若x1=1，則數據x1，x2，x3，…，x10的第75百分位數為7.5

B.平均數變小

C.方差不變

D.中位數不變

A.1" B.0" C.3" D.2

8．已知函數f（x）=ax3-3x2+4a（a≠0），若

f（x）存在唯一的零點x0，且x0lt;0，則a的取值范圍是（" ）.

A.（1，+∞）""" B.（-∞，0）∪（0，1）

C.（-∞，-1）∪（0，+∞）D.（-∞，0）∪（1，+∞）

二、多項選擇題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得 6 分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）

11．已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，x=0，x=3是f（x）的兩個零點，且f ′（3）=0，則（" ）.

A.a+b+c=4

B.x=3為f（x）的極小值點

C.f（x）的極大值為4

D.滿足f（x）gt;f（1）的解集是x|xgt;4

第Ⅱ卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12．已知數列an滿足a1=1，且an+1+an=n-1 009（n∈N*），該數列的前n項和為Sn，則S2 025=.

14．初等數論中的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數學家證明.四平方和定理的內容是：任意正整數都可以表示為四個自然數的平方和，例如正整數6=22+12+12+02.設38=a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均為自然數，則滿足條件的有序數組（a，b，c，d）的個數為.（用數字作答）

四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且2b=c+2acosC.

（1）求A；

（1）當a=1時，證明：f（x）≥0；

（2）若函數f（x）有極小值，且f（x）的極小值小于a-a2，求a的取值范圍.

17．如圖3，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，CD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，E，F，G，O分別為PC，PD，BC，AD的中點.

（1）求證：PO⊥平面ABCD；

（2）求點A到平面EFG的距離；

18．某試點高校校考過程中筆試通過后才能進入面試環節.2022年報考該試點高校的學生的筆試成績X近似服從正態分布N（μ，σ2）.其中，μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2.已知μ的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計總體.

（1）假設有84.135%的學生的筆試成績高于該校預期的平均成績，求該校預期的平均成績大約是多少？

（2）若筆試成績高于76.5進入面試，若從報考該試點高校的學生中隨機抽取10人，設其中進入面試學生數為ξ，求隨機變量ξ的期望.

參考數據：若X～N（μ，σ2），則：P（μ-σlt;X≤μ+σ）≈0.682 7；P（μ-2σlt;X≤μ+2σ）≈0.954 5；P（μ-3σlt;X≤μ+3σ）≈0.997 3.

（1）求點A（2，1）的“特征直線”l的方程；

參考答案

1．因為z=1+i，則

iz+3z=i（1+i）+3（1+i）=-1+i+3+3i=2+4i，

故選C.

2．由2-xgt;0可得xlt;2.

由1-xgt;0可得xlt;1.

故p是q的必要不充分條件．

故選B.

故選B.

4．當x1=1時，數據按從小到大順序排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.

因為10×75%=7.5，所以該組數據的第75百分位數是第8個數8，故A錯誤.

由于xi-xi-1=1（2≤i≤10），故x2=x1+1，x3=x1+2，…，x9=x1+8，x10=x1+9，

原來的平均數為

去掉x1，x10后的平均數為

平均數不變，故B錯誤.

原來的方差為

去掉x1，x10后的方差為

方差變小，故C錯誤.

原來的中位數與現在的中位數均為

故中位數不變，故D正確.

故選D.

F1（-c，0），F2（c，0）.

設△PF1F2的內切圓O′與△PF1F2三邊相切的切點分別為A（x0，0），B，C，如圖4所示，則

|PF1|-|PF2|=|PC|+|CF1|-（|PB|+|BF2|）=|AF1|-|AF2|=（x0+c）-（c-x0）=2x0=2a.

即x0=a.

整理，得|4a-3c|=c，

且cgt;a，解得c=2a.

又因為|F1F2|=2c=4，可得a=1，c=2，b2=c2-a2=3.

故選D.

即定義域為（-1，1）.

即f ′（x）≥0，當且僅當x=0時取等號，

即f（x）在（-1，1）上為單調遞增函數.又f（0）=0，所以f（x）僅有一個零點．

故選A.

則D（1，0，0），C1（0，0，2）.設E（0，1，c），其中0≤c≤2，

則點D到直線C1E的距離

設t=（c-2）2+1，因為c∈［0，2］，

所以t∈［1，5］.

故選A.

8．因為f（x）=ax3-3x2+4a，所以f ′（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）.

當x∈（-∞，0），f ′（x）gt;0，f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增；

當x∈（0，+∞），f ′（x）lt;0，f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減；

又x→-∞，f（x）→+∞，

所以f（x）僅有一個負數零點.所以alt;0滿足題意.

綜上，a的取值范圍是agt;1或alt;0．

故選D.

根據余弦函數的單調性可知，此時函數單調遞減，故A正確.

故選ACD.

則a=-14，b2=49，即b=±7.所以點M的坐標為（-14，7）或（-14，-7），故B正確.

當點M的坐標為（-14，7）時，直線MN的斜率為

即8x+15y+7=0.

當點M的坐標為（-14，-7）時，

直線MN的斜率為

即8x-15y+7=0，故C錯誤.

則y1+y2=-2mp，y1y2=-p2.

故選BD.

即b=-9-3a，c=0.則f（x）=x3+ax2-（9+3a）x.

所以f ′（x）=3x2+2ax-（9+3a）.

即f ′（3）=27+6a-（9+3a）=0，

解得a=-6，則b=9.

即f（x）=x3-6x2+9x.

對于A，a+b+c=-6+9+0=3，故A錯誤；

對于B，由f ′（x）=3x2-12x+9，

令f ′（x）gt;0，得xlt;1或xgt;3；令f ′（x）lt;0，得1lt;xlt;3，所以函數f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減，則x=3為f（x）的極小值點，故B正確.

對于C，當x=1時，函數f（x）取得極大值f（1）=4，故C正確.

對于D，由于f（4）=4，畫出函數f（x）的圖象，如圖6，滿足f（x）gt;f（1）的解集是x|xgt;4，故D正確.

故選BCD.

12．S2 025=a1+a2+a3+…+a2 024+a2 025

=a1+（a2+a3）+…+（a2024+a2 025）

=1+（2-1 009）+…+（2 024-1 009）

=1+（-1 007）+（-1 005）+…+1 015

1+1 012×4=4 049.

故答案為4 049.

14．依題意，a，b，c，d均為不超過6的自然數，

最大數為6的情況：38=62+12+12+02，此時共有A24=12個有序數組；

最大數為5的情況：38=52+32+22+02，此時共有A44=24個有序數組；

最大數為4的情況：38=42+32+32+22，此時共有A24=12個有序數組；

當最大數為3時，32+32+32+32lt;38，不滿足題意.

由分類加法計數原理，滿足條件的有序數組（a，b，c，d）的個數是12+24+12=48.

故答案為48

15．（1）因為2b=c+2acosC，由正弦定理可得2sinB=sinC+2sinAcosC.

又sinB=sin［π-（A+C）］=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

所以2sinAcosC+2cosAsinC=sinC+2sinAcosC.

即2cosAsinC=sinC.

（2）由正弦定理，得

所以b=2sinB，c=2sinC.

16．（1）要證f（x）≥0，只需證f（x）min≥0.

令f ′（x）=0，得x=1.當0lt;xlt;1時，f ′（x）lt;0，f（x）單調遞減；當xgt;1時，f ′（x）gt;0，f（x）單調遞增.所以，函數f（x）在x=1處取得極小值，亦即最小值，即f（x）min=f（1）=0.所以f（x）≥0.

當a≤0時，xgt;0，f ′（x）gt;0，此時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

當agt;0時，令f ′（x）=0，可得x=a.

當0lt;xlt;a時，f ′（x）lt;0，f（x）單調遞減；

當xgt;a時，f ′（x）gt;0，f（x）單調遞增.

所以f（x）極小值=

f（a）=lna.

由題意可得lnalt;-a2+a.即a2+lna-alt;0.

令g（a）=a2+lna-a，其中agt;0，且g（1）=0.

不等式a2+lna-alt;0即為g（a）lt;g（1）.

所以函數g（a）在（0，+∞）單調遞增.

又g（a）lt;g（1），則0lt;alt;1.

因此，實數a的取值范圍是（0，1）.

17．（1）因為△PAD是正三角形，O是AD的中點，

所以PO⊥AD.

又因為CD⊥平面PAD，PO平面PAD，所以CD⊥PO.

又AD∩CD=D，CD，AD平面ABCD，

所以PO⊥面ABCD.

設平面EFG的法向量為n=（x，y，z），

所以點M到面EFG的距離為定值

又μ的近似值為76.5，σ=s的近似值為5.5，

所以該校預期的平均成績大約是76.5-5.5=71（分）.

（3）X的可能取值為0，1，2，3，4，

所以X的分布列見表1.

進而得G（4，4），線段GH的方程為y=2x-4（0≤x≤4）.

所以（a，b）滿足b=2a-4（0≤a≤4）.（a，b）所對應方程為x2-ax+2（a-2）=0，解得x1=2，x2=a-2.

因為-2≤a-2≤2，所以|x1|≥|x2|.進而τ（a，b）=2.

（a，b）所對應的方程為

必要性：因為點M在線段CE上，

所以|xc|≥|xd|.

所以點M在線段CE上.