2025年高考數學模擬卷(三）

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0081-11

第Ⅰ卷 （選擇題 共58分）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）

A.-i" B.i" C.-1" D.1

3.若直線l經過點P（1，2），且點A（2，3），

B（0，-5）到它的距離相等，則l的方程為（" ）.

A.4x-y-2=0""" B.4x-y+2=0

C.x=1或4x-y-2=0D.4x-y+2=0或x=1

4.在等比數列an中，a1+an=82，a3·an-2=81，且前n項和Sn=121，則此數列的項數n等于（" ）.

A.3" B.4" C.5" D.6

5.某校為數學興趣小組購買了一些數學特色專著：《數學的意義》《現代世界中的數學》《數學問題》，其數量分別為x，y，z（單位：本）.現了解到：

①xgt;ygt;zgt;0;②4zgt;x+y，則這些數學專著至少有（" ）.

A.9本" B.10本" C.11本" D.12本

6.六氟化硫，化學式為SF6，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結構為正八面體結構（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖1所示，正八面體E-ABCD-F的棱長為a，下列說法中正確的個數有（" ）.

②異面直線AE與BF所成的角為45°；

A.1個" B.2個" C.3個" D.4個

二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題 6分，共計 18 分.在每小題列出的四個選項中至少有兩項是符合題目要求的，部分選對得部分分，有選錯的得0分）

9.甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人.設第n次傳球后球在甲、乙、丙手中的概率依次為An，Bn，Cn，n∈N*，則下列結論正確的有（" ）.

10.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中，正確的命題是（" ）.

A.若A=30°，b=4，a=3，則△ABC有兩解

C.若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），則ABC是等腰三角形

第Ⅱ卷（非選擇題共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.設數列an的前n項和為Sn，若Sn=2an-n，則a6=．

14.已知拋物線C：y2=2px（pgt;0）的準線l與x

三、解答題（本題共5個小題，共77分.解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，說明過程或演算步驟）

15.（本小題13分）仙人掌別名老鴉舌、神仙掌，這一獨特的仙人掌科草本植物，以其頑強的生命力和獨特的形態在自然界中獨樹一幟，以其形似并攏手指的手掌且帶有刺的特征而得名.仙人掌不僅具有極高的觀賞價值，還具有一定的藥用價值，被譽為“夜間氧吧”，其根莖深入土壤或者干燥的黃土中使其能夠吸收足夠多的水分進行儲藏來提高生存能力，我國某農業大學植物研究所相關人員為了解仙人掌的植株高度y（單位：cm），與其根莖長度x（單位：cm）之間是否存在線性相關的關系，通過采樣和數據記錄得到如下數據（見表1）：

（1）由表1數據計算相關系數r，并說明是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系（若|r|gt;0.75，則可用線性回歸模型擬合，計算結果精確到（0.001）；

（2）求y關于x的線性回歸方程．

附：對于一組數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關系數r的公式分別為

（1）證明：平面A1B1C⊥平面ABB1A1;

（1）求直線AB和雙曲線C的方程;

（2）設F1，F2為雙曲線C的左、右焦點，M為線段AF2的中點.求證：∠MTF2=∠TF1A.

（2）若g（x）有兩個極值點a，b（alt;b）．

（ⅰ）證明：mgt;e-1；

（ⅱ）證明：ablt;1．

19.（本小題17分）

已知（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*）.

（1）求a0+a1+a2+…+an;

（2）我們知道二項式（1+x）n的展開式（1+x）n=

C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn，若等式兩邊對x求導得n（1+x）n-1=C1n+2C2nx+3C2nx2+…+nCnnxn-1，令x=1，得C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=

n·2n-1.利用此方法解答下列問題：

①求a1+2a2+3a3+…+nan；

②求12a1+22a2+32a3+…+n2an．

參考答案

故選C.

所以sinAgt;2cosA.

所以tanAgt;2（cosAgt;0）或tanAlt;0（cosAlt;0）.

所以tanA=-3.

故選A.

3.根據題意，分情況討論可得：

（1）當兩個點A（2，3），B（0，-5）在所求直線的異側時，即過線段AB的中點（1，-1）．此時直線的斜率不存在，即滿足題意的直線方程為x=1.

（2）當A（2，3），B（0，-5）在所求直線同側時，直線AB與所求的直線平行.

所以所求的直線斜率為kl=kAB=4.

所以直線方程為y-2=4（x-1）.

化簡，得4x-y-2=0.

綜上，滿足條件的直線為4x-y-2=0或x=1.

故選C.

4.由等比數列的性質可得

a1an=a3·an-2=81.

又a1+an=82，

所以a1和an是方程x2-82x+81=0的兩根，

解方程可得x=1或x=81.

若等比數列an單調遞增，則a1=1，an=81.

因為Sn=121，

解得q=3.

所以81=1×3n-1，解得n=5.

若等比數列an單調遞減，則

a1=81，an=1.

因為Sn=121，

綜上，數列的項數n等于5．

故選C.

5.由已知，①xgt;ygt;zgt;0，②4zgt;x+y，并且x，y，z∈N*，可得

4zgt;x+ygt;2y.

所以2zgt;ygt;z．

當z=1時，2gt;ygt;1，不合條件；

當z=2時，4gt;ygt;2，所以y=3，這時x≥4，

其中若x=4，則4z=8gt;7=x+y，滿足條件，這時x+y+z=9；

若x≥5，則4z=8≤x+y，不合條件；

當z≥3時，一定有x+y+zgt;9．

綜上，這些數學專著至少有x+y+z=9（本）．

故選A.

6.由正八面體，則EF與AC垂直相交，且長度相等，如圖3，設交點為O，則O即為正方形ABCD的中心.

由正八面體棱長為a，

則八個面均為邊長為a的正三角形.

則此八面體的表面積為

故①正確.

由EF與AC垂直相交，且長度相等，

則四邊形AECF為正方形，AE∥FC.

則直線AE與BF所成的角，即為BF與CF所成的角.

在正△BCF中∠BFC=60°，

故異面直線AE與BF所成的角為60°，

故②錯誤.

則外接球體積為

由題意可知O到各面的距離相等，設為h，由

VE-ABCD=VO-ABE+VO-BCE+VO-CDE+VO-ADE，

故③正確.

故④錯誤.

綜上，正確的有①③，共2個，故選B.

7.如圖4，設橢圓的左焦點為F′，根據橢圓的對稱性可得

|AF′|=|BF|，|BF′|=|AF|.

所以|AF′|+|AF|=|BF|+|AF|=6=2a，

解得a=3．

解得b≥2.

又因為blt;a，

所以2≤blt;3．

故選C.

因為f（x+2）=2f（x），

對x1∈［-2，0］，x2∈［-2，1］，使得g（x2）=f（x1），所以f（x）在［-2，0］上的值域是g（x）在［-2，1］上的值域的子集.

當agt;0時，g（x）單調遞增，

g（x）在［-2，1］上的值域為［-2a+1，a+1］，

當alt;0時，g（x）單調遞減，

g（x）在［-2，1］上的值域為［a+1，-2a+1］，

當a=0時，g（x）單調遞減，即g（x）=1，不符合題意.

故選D.

9.第一次傳球后到乙或丙手中，故A1=0.

故A正確.

第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個結果，它們等可能.3次傳球后球在乙手中的事件有：

甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個結果，

故B錯誤.

第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4種結果，它們等可能，

所以2次傳球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1個結果，

故C正確.

即Ak+2Ak+1=1，

故D正確．

故選ACD.

10.對于A，因為A=30°，b=4，a=3，

由正弦定理可得

因為bgt;a，所以B有兩解，即△ABC有兩解.

所以A正確.

設CD=x，CB=2x，在△BCD中，由余弦定理得

在△BCD中，可得

在△ABC中，由余弦定理可得

所以△ABC的面積為

所以B正確.

對于C，由（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）·

sin（A+B），

可得（a2+b2）（sinAcosB-cosAsinB）=

（a2-b2）（sinAcosB+cosAsinB），

整理，得2a2sinBcosA=2b2sinAcosB.

由正弦定理，得

sin2AsinBcosA=sin2BsinAcosB.

可得sin2A=sin2B.

因為A，B∈（0，π），

可得2A=2B或2A=π-2B.

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

所以C不正確.

由正弦定理可得△BCD外接圓的直徑為

所以D正確．

故選ABD.

則x=1.

所以當xgt;1時，f ′（x）lt;0，函數f（x）單調遞減，

當xlt;1時，f ′（x）gt;0，函數f（x）單調遞增.

所以x=1是函數的極大值點，也是最大值點.

若函數f（x）有兩個零點，則

故A正確.

對于選項B：若f（x）≤0恒成立等價于f（x）max≤0.

故B錯誤.

設h（x）=ax2-2g（x），

則h（x）在（0，+∞）上單調遞減.

即h′（x）=2ax-2ex+2≤0.

令k（x）=xex-ex+1，

所以k′（x）=xexgt;0.

所以k（x）單調遞增.

因為當x=0時，xex-ex+1=0，

所以s（x）單調遞增，恒大于0.

所以a≤0，

故C正確.

對于選項D：因為g′（x）=ex-1，

故h（x）min=h（1）=1.

所以g（x）與h（x）必有交點.

故D錯誤.

故選AC.

12.n=1時，a1=1.

n≥2時，Sn-1=2an-1-（n-1）.

故an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1.

所以an=2an-1+1.

即an+1=2an-1+2.

所以an+1=2（an-1+1）.

即數列{an+1}為首項為2，公比為2的等比數列.

所以a6+1=2×25.

即a6=63．

故答案為63．

13.如圖6，分別取A1C1，AC的中點M，N，連接B1M，MN，MC，C1N，CB1.

由題意知B1M⊥側面ACC1A1，且四邊形MNCC1為正方形.

設MC，C1N的交點為H，CB1的中點為O，連接HO，則HO∥B1M.

所以HO⊥側面ACC1A1.

所以點P在以O為球心，OC為半徑的球面上.

又點P在側面ACC1A1內，

所以點P的軌跡為側面ACC1A1內以H為圓心，HC為半徑的一段圓弧.

因為正方形MNCC1中，MC⊥C1N，

所以CC1=2，AC=4.

14.如圖7，過點A，B分別作拋物線C的準線l的垂線，垂足分別記為點M，N，過點A，B分別作x軸的垂線，垂足分別記為點D，E．

因為|BF|=4|AF|，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

因為點A，B在拋物線上，

所以由y22=16y21，得2px2=16×2px1.

解得x2=16x1.

因此AB的中點到準線l的距離為

15.（1）根據題意可得

因為|r|gt;0.75，所以可用線性回歸模型模擬.

故線性回歸方程為y=11.8x-55.4．

設平面A1B1C的法向量為n=（x0，y0，z0），則

設平面ABB1A1的法向量為

m=（x1，y1，z1），則

由于n·m=0，則平面A1B1C的法向量與平面ABB1A1法向量垂直.

則平面A1B1C⊥平面ABB1A1;

設平面PCD的法向量為p=（x2，y2，x2），則

設平面A1B1C與平面PCD的夾角為θ，則

即（a+3）2=（a+2）2+3，解出a=-1.

則點P到平面ABB1A1的距離為

17.（1）由題意，直線AB的方程為

由題意，△=24-8（2+a2）=0，

解得a2=1.

所以|TF2|2=4.

又∠F1F2T=∠TF2M，

所以△F1F2T∽△TF2M.

故∠MTF2=∠TF1A.

18.（1）由題意知f（x）=2ex-x2.

則f ′（x）=2ex-2x.

所以f ′（0）=2.

又f（0）=2，

所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x+2．

則g′（x）=2ex-2mx-2xlnx-2．

令h′（x）=0，得x=1.

當x∈（0，1）時，h′（x）lt;0，h（x）單調遞減，

當x∈（1，+∞）時，h′（x）gt;0，h（x）單調遞增，

所以h（x）min=h（1）=e-1．

由g（x）有兩個極值點，可得方程g′（x）=0有兩個實根.即h（x）=m有兩個實根.

則mgt;e-1．

（ⅱ）由題意知a，b是方程g′（x）=0的兩個實根，即h（a）=h（b）=m，且0lt;alt;1lt;b．

則當x∈（1，+∞）時，

故m（x）在（1，+∞）上單調遞增.

故m（x）gt;m（1）=0.

故當x∈（1，+∞）時，F′（x）gt;0.

故F（x）在（1，+∞）上單調遞增.

故F（x）gt;F（1）=0.

由（?。┛芍猦（x）在（0，1）上單調遞減.

19.（1）對于（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，取x=1得

a0+a1+a2+…+an=（2-1）n=1.

（2）①對（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn兩邊求導得

2n（2x-1）n-1=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1.

取x=1，得

a1+2a2+3a3+…+nan=2n.

②將2n（2x-1）n-1=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1兩邊乘以x，得

2n（2x-1）n-1·x=a1x+2a2x2+3a3x3+…+nanxn，

兩邊求導得2n［2（n-1）（2x-1）n-2x+（2x-1）n-1］=a1+22a2x+32a3x2+…+n2anxn-1.

取x=1，得

12a1+22a2+32a3+…+n2an=4n2-2n.