y=ax與y=logax交點個數(shù)的解法探究

摘 要：文章針對y=ax與y=logax的交點問題，給出了差函數(shù)，結合反函數(shù)與兩曲線相切；給出了換元法、取對法、同構法、指數(shù)逼近法等多種解法.

關鍵詞：指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；交點

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0002-07

指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax是最基本、應用最廣泛的函數(shù).兩函數(shù)的交點情況如下：

筆者通過探究發(fā)現(xiàn)，兩函數(shù)交點個數(shù)問題有多種解法，且各解法之間相互關聯(lián).這些解法可以從不同角度闡釋指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象特征和代數(shù)性質，還可以為函數(shù)交點這一類問題提供多種解題模板.

1 構造差函數(shù)

令h（x）=ax-logax，則

令g（x）=xaxln2a-1，則

g′（x）=axln2a（1+xlna）.

當0lt;alt;1時，要使函數(shù)有交點，需x∈（0，1）.

對g（x）max分類討論.

g（x2）=0.相應的，x∈（0，x1）時，h′（x）gt;0；x∈（x1，x2）時，h′（x）lt;0；x∈（x2，1）時，h′（x）gt;0.故h（x）在（0，x1）單調遞增，（x1，x2）單調遞減，（x2，1）單調遞增.

又x→0時，h（x）→-∞，

又h（1）=agt;0，故h（x）在（0，1）內有三個零點，此時y=ax與y=logax有三個交點[2].

agt;1的情形因過于復雜而難以討論.

簡析 交點問題轉化為差函數(shù)的零點問題，是處理

函數(shù)問題的基本方法，其流程大致為：①構造差函數(shù)h（x）；②求出h′（x），在本題中，需要對差函數(shù)無法確定符號的部分繼續(xù)使用導數(shù)處理；③結合二階或更高階導數(shù)，函數(shù)的極限、端點、極值點、相關點等處的值，對導函數(shù)的正負進行判斷，得到差函數(shù)的增減情況；④利用極限、端點、極值點、相關點等處的值，結合根的存在性判定定理，得出差函數(shù)的零點個數(shù)和大致區(qū)間.在尋找相關點、判定多個值正負時，依舊要反復用到上述流程.無法確切得到某些區(qū)間和零點時，我們還需“隱”零點.只要隱零點范圍估算合理，并不影響對零點個數(shù)的判斷.

2 利用反函數(shù)與兩曲線相切等函數(shù)性質

兩曲線相切：若兩條曲線有公共點，且在該點處有相同的切線，稱這兩條曲線在該點處相切，該切線為這兩條曲線的公切線.若公切線“切過”兩條曲線，并且兩條曲線在切點附近分布在切線兩側，我們稱這種相切為“異側切過”.若兩條曲線在切點附近分布在曲線的同一側，我們稱這種相切為“同側切過”.

反函數(shù)：一般來說，設函數(shù)y=f（x）（x∈A）的值域是B.若能找到一個函數(shù)g（y）在每一處g（y）都等于x，這樣的函數(shù)x=g（y）（y∈B）叫做函數(shù)y=f（x）（x∈A）的反函數(shù)，記作x=f-1（y）.反函數(shù)x=f-1（y）的定義域、值域分別是函數(shù)y=f（x）的值域、定義域.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關于直線y=x對稱.點（m，n）關于直線y=x的對稱點為（n，m）.顯然，y=ax與y=logax為一對反函數(shù).

當0lt;alt;1時，y=ax與y=logax有交點，則交點在x∈（0，1）上.先考慮臨界情況，即y=ax與y=logax只有一個的交點且為切點.顯然.此時y=ax與y=logax同側切過，且切點在直線y=x上，此時公切線斜率為-1.

簡析 本解利用函數(shù)的凹凸性、反函數(shù)等性質，兩曲線相切的有關知識，快速“鎖定”了切點、公切線斜率.再從臨界情況出發(fā)，結合底數(shù)變化對指對函數(shù)的影響，討論了不同的交點情況.利用反函數(shù)、兩曲線相切等性質，我們還能得到交點的相關性質，對函數(shù)的理解更加透徹.

3 換元法

令f（x）=ax-logax，當0lt;alt;1時，對應的x∈（0，1）.

令a=e-t（tgt;0），則

下面對t分情況進行討論.

①當0lt;t≤e時，即e-e≤alt;1時，φ（x）≥0，故h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上單調遞增.又x→0時，h（x）→-∞；h（1）=1gt;0.即e-e≤alt;1時，兩函數(shù)有一個交點.

又h（1）=1gt;0，故h（x）在（0，x1），（x1，x2），（x2，1）各有一個零點.即0lt;alt;e-e時，兩函數(shù)有三個交點.

4 換元法結合切線界定

①當-me≥m2，即m≥-e，e-e≤alt;1時，f ′（x）≥0，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增.x→0時，f（x）→-∞；f（1）=agt;0.故此時f（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個零點，即y=ax與y=logax有一個交點.

②當-melt;m2，即mlt;-e，0lt;alt;e-e時，設

y=e-mx與y=m2x交于M（x1，y1），N（x2，y2），（x1lt;x2）.故x∈（0，x1）時，f ′（x）gt;0；x∈（x1，x2）時，f ′（x）lt;0；x∈（x2，1）時，f ′（x）gt;0，故f（x）在（0，x1）上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減，在（x2，1）上單調遞增.下面證明f（x1）gt;0，f（x2）lt;0.

證f（x1）gt;0，f（x2）lt;0.故當0lt;alt;e-e時，f（x）在區(qū)間（0，1）上有三個零點，即y=ax與y=logax有三個交點.

簡析 y=ax與y=logax求導相對復雜，使用et換元，能夠使求導變得容易.解法3和解法4，是對解法1的改進.在換元后，解法3遵循流程，逐步討論，屬于基本方法.解法4利用指數(shù)函數(shù)的切線，迅速完成了對參數(shù)m的討論.而對于f（x1）和f（x2）正負的討論，先找到零點x3，再利用f ′（x3）lt;0界定了x3范圍.充分利用了已求得信息和圖象特點，使得解答變得簡潔.

5 取對數(shù)

①當lna+e≥0時，即e-e≤alt;1時，g′（x）min≥0，g（x）在（0，1）上單調遞增，g（x）在（0，1）上只有一個零點，即y=ax與y=logax只有一個交點.

6 同構

y=ax與y=logax有交點，即ax=logax有解.即ax·lna=lnx.即有ax·xlna=xlnx，即exlna·xlna=elnx·lnx.

當0lt;alt;1時，需0lt;xlt;1.此時，lnxlt;0，

xlnalt;0.令g（t）=tet（tlt;0），則g′（t）=（t+1）et.令g′（t）gt;0，則-1lt;tlt;0；令g′（t）lt;0，則tlt;-1.故g（t）在（-∞，-1）單調遞減，在（-1，0）上單調遞增.

交點，記為（x1，y1），（x2，y2）（x1lt;x2）.

簡析 本解中，對于0lt;alt;1的情形，由于同構函數(shù)在相關區(qū)間上不單調，我們需要利用交點的性質，結合極值點偏移和不等式等性質，最終完成了關于不同交點情況下a范圍的討論.在本題中，還可以利用ax·lnax=xlnx，將同構函數(shù)轉化為g（t）=tlnt.

7 指數(shù)擬合逼近

①當a∈（0，e-e）時，y=ax與y=logax有三個交點，其中一組關于直線y=x對稱，另一個在y=x上.

③當a∈（e-e，1）時，y=ax與y=logax有一個交點.

8 結束語

在處理函數(shù)的有關問題中，我們需要數(shù)形結合，以“形”覓“數(shù)”，以“數(shù)”論“形”；關注基本概念，如單調性、極值、最值等；掌握基本方法，如函數(shù)求導、零點判定等；熟悉常見技巧，如指數(shù)取對、極限情況；洞悉函數(shù)特征，如反函數(shù)、公切線；發(fā)掘問題本質，如自然對數(shù)底數(shù)e的由來.多視角觀察問題，多角度思考問題，多途徑解決問題，在多種解法中，逐步達到對知識的深度理解.

參考文獻：

［1］宗敏.對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像的交點個數(shù)的再探討[J].考試周刊，2010（03）：80.

[2] 祝廣文.介紹一種不超綱的證法：再談指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)[J].中國數(shù)學教育，2019（20）：62-64.