多目標優化基坑雙邊耦合變形控制設計建模及求解方法

摘要：在城市建設中，基坑工程的安全性和經濟性至關重要。由于傳統的基坑圍護結構設計方法通常依賴保守策略并主要關注強度控制，導致其在精確控制變形方面效率低下，無法滿足現代城市建設的復雜需求。為解決這些問題，提出一種新的逆向設計多目標優化模型，該模型融合了變形控制與經濟性，旨在提高基坑圍護結構設計的效率和經濟效益。該模型包含一個雙邊耦合的基坑圍護變形計算模型、一個整合變形控制和成本優化的多目標框架、一個基于元啟發式算法的求解策略。與四種元啟發式算法的比較和結合實際工程案例的深入分析表明，該方法不僅能實現基坑圍護結構的精確變形控制，同時優化了成本效益，特別是半經驗半隨機的啟發式算法在處理復雜優化問題時表現出的更高效率和廣泛適用性。

關鍵詞：多目標優化模型；逆向設計；結構優化；元啟發式算法；基坑；圍護結構

中圖分類號：TU433 """"文獻標志碼：A """"文章編號：2096-6717（2025）02-0126-08

Multi-objective optimization modeling and solution methods for deformation control design of pit support structures

DING Xiaowen¹，"LONG Sihua²，"YE Kuai¹，"WAN Qiwei²，"DING Haibin²，"XU Changjie²

（1. Jiangxi Transportation Research Institute Co.， LTD.， Nanchang 330200， P. R. China；"2. Jiangxi Engineering Research Center for Intelligent Construction and Maintenance of Civil Infrastructure；"Jiangxi Key Laboratory of Geotechnical Infrastructure Safety and Control， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， P. R. China）

Abstract： In urban construction， the safety and economic efficiency of pit excavation projects are crucial. Traditional pit support structure design methods typically rely on conservative strategies and focus primarily on strength control， which leads to inefficiencies in precise deformation control and fails to meet the complex demands of modern urban construction. To address these issues， this paper introduces a new reverse-design multi-objective optimization model that integrates deformation control with economic efficiency， aimed at enhancing the effectiveness and cost-effectiveness of pit support structure designs. The model includes a bilaterally coupled deformation calculation model for pit supports， a multi-objective framework that integrates deformation control and cost optimization， and a solution strategy based on metaheuristic algorithms. Comparative analysis with four types of metaheuristic algorithms， along with in-depth case studies of actual engineering projects， demonstrates that this method not only effectively achieves precise deformation control but also optimizes cost efficiency. Notably， the semi-empirical and semi-random heuristic algorithms demonstrate superior efficiency and versatility in addressing complex optimization challenges.

Keywords： multi-objective optimization model；"reverse design；"structure optimization；"meta-heuristic algorithm；"foundation pit；"retaining structure

作為高層建筑和地下空間開發的先導工程，基坑工程在城市建設中的安全性十分重要，地鐵車站開挖圍護結構的造價占總造價的40%以上，因此，基坑工程的安全性和經濟性受到了廣泛關注。作為基坑工程的核心內容，基坑圍護結構的優化設計方法研究受到高度關注。傳統的基坑圍護結構設計往往依賴經驗和簡化的計算模型，設計原則往往僅考慮強度控制，當前，城市基坑對工程的變形控制提出了更高的設計要求^[1-2]。土木工程領域的變形控制設計相關研究成果不斷涌現，且隨著計算機技術和優化算法的快速發展，基于元啟發式算法的逆向優化設計方法應運而生，并展現出強大的優化能力^[3-5]。

當前，基坑圍護結構設計仍以強度控制為主，通過保守設計粗略控制變形。若在設計階段降低保守設計的程度，在無具體理論和指導方法的情況下，容易造成施工期間變形超限，反而需要在施工過程中進行加固。根據現場監測數據，Xu等^[6]提出了控制變形的施工方法改進措施，通過分析施工情況，Xu等^[7]提出了通過增加施工圍護結構形式和調整開挖順序的方法控制變形，Cui等^[8]通過工后加固的形式對基坑圍護結構進行變形控制加固設計。這種在施工過程中加固的方法既費時費力，又在經濟上造成浪費，急需建立基坑圍護結構優化設計理論模型，在設計階段一定程度上實現基坑圍護結構的變形精確控制。

大部分基坑工程的圍護結構都處于非對稱受荷狀態，大量研究表明，非對稱受荷情況下基坑圍護結構會相互作用，發生推回變形^[9-11]。需要對基坑圍護結構兩側變形建立變形耦合模型，并進一步建立同時考慮變形控制和經濟性的多目標優化模型設計理論，在設計階段實現精確變形控制和經濟優化。目前，雙邊耦合的變形計算方法有理論法^[11-12]、有限元法、邊界元法、離散元法等，這使得優化模型的目標函數和優化條件的表達更加復雜，超出了傳統優化模型的求解能力。

運籌優化領域常采用元啟發式算法求解復雜巖土優化問題^[13-14]。元啟發式算法是一種快速搜索算法，其基本原理往往來自大自然的物理或生物規律。常用的元啟發式算法包括遺傳算法^[15]、模擬退火算法^[16]、蟻群算法^[17]、最近鄰算法^[18]、粒子群算法^[19]和布谷鳥算法^[20]等，但哪種算法適用于此類問題，仍需進一步研究。

筆者提出一種基坑雙邊耦合變形控制和經濟性優化的基坑圍護結構逆向設計多目標優化模型，模型總結分析了基坑圍護結構的變形控制準則，引入基坑圍護結構受力變形計算理論，采用元啟發式算法求解該優化模型。分析所提出算法模型的有效性，對比不同算法的適用性，并依托具體工程案例進行具體分析。

1 逆向設計方法

逆向設計方法的核心包括3點：基坑圍護雙邊耦合變形計算模型、同時考慮變形控制和經濟性的多目標優化模型、元啟發式優化模型搜索和求解算法。算法從預期的工程效果出發，反向推導出最優設計參數，以滿足工程穩定性和安全性等多方面要求。

1.1 雙邊耦合變形計算模型及計算參數

雙邊耦合變形計算模型主要是將影響基坑工程安全性和經濟性的設計參數轉化為圍護結構的受力變形規律。目前，基坑圍護結構受力變形預測主要采用理論計算、經驗類比和有限元法等方法。然而，規范中的理論預測方法通常只能實現單邊變形預測，而準確的結果需要耦合兩側變形。

考慮到實際工程施工中關注最不利條件的受力變形情況，選用2D截面受力變形計算方法，基于能量原理和非線性土壓力模型，通過彈性力學的最小勢能原理分析計算出基坑圍護結構的受力變形特性^[11-12]。該模型忽略了邊角效應，模擬了最不利條件，且能夠提高計算效率，適合工程應用。此外，有限元和離散元等計算軟件也可用于替換當前的計算模型。基坑圍護結構的計算簡圖如圖1所示，主要由擋土墻和水平支撐組成。建模前需要進行數據收集，包括：1）對基坑支護結構的力學特性進行初步分析；2）確定反映典型或特別不利條件的橫截面；3）調查選定剖面的地質屬性；4）評估周圍環境的潛在外部影響；5）根據工程規范設計圍護結構的初步布置圖，確定參數范圍。

在基坑工程中，基坑圍護結構的變形受到工程環境固定參數和設計可變參數的共同影響。工程環境參數包括地層物理力學特性、地下水狀況、基坑兩側超載差異、坑底荷載差異及附近交通動載等，這些參數在設計施工過程中通常不變，需通過前期調研準確確定，而設計可變參數如擋土墻的尺寸、支撐數量及間距、支撐截面參數等，由設計者根據工程需要在合理范圍內確定。在可變參數合理范圍內，筆者旨在探索通過優化模型和求解算法平衡變形控制與經濟優化的設計方案。整理2D計算模型所需參數，并給出相應的取值范圍，如表1所示。

為在后續搜索過程中便于整數化處理，表1中部分變量的單位進行了調整，例如圍護墻的設計長度和厚度采用dm作為單位。對于無量綱參數，其單位用“/”表示，而由環境決定的參數取值范圍也用“/”表示。為降低后續計算量，可以根據相關規范預先確定部分設計參數的取值。例如《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2010）中提供了地連墻的強度等級與彈性模量的對應關系，指出混凝土的強度等級越高，其彈性模量越大。一般情況下，地連墻的混凝土強度等級為C30～C40，為了保守計算，地連墻的彈性模量固定為C30對應的30 GPa。通常地連墻的設計厚度范圍為8～20 dm，水平支撐的垂直間距為35 dm，最大設計數量為最大開挖深度除以35后取整。

雙邊耦合計算模型采用高階多項式擬合圍護墻的撓度函數，如式（1）所示。

（1）

式中：w為圍護墻的撓度函數；z為距離圍護墻頂的深度；a₁為多項式中的待定系數。

1.2 變形控制準則

國際上對于基坑工程設計往往考慮結構的服務極限狀態（Service Limit Status， SLS），很少對變形和位移做顯式限制。中國也有很多研究通過統計學方法制定了變形控制標準^[21-22]，但存在較大的地域性。工程上一般采用《建筑基坑工程監測技術規范》的推薦值和指定工程的安全系數確定變形控制的大小，如式（2）和式（3）所示。

（2）

（3）

式中：Imax為最大變形限制值；Itop為樁頂變形限制值；nsafety為變形控制的安全系數。1.3 多目標優化模型

基于變形控制準則，建立圍護結構的變形控制方程，優化模型的目標函數和約束條件如式（4）～式（6）所示，其中式（4）為目標函數，其余為約束條件，優化模型的目標函數取最小值。

（4）

（5）

（6）

式中：w在二維模型中為墻體的撓度函數，在有限元模型中為擋土墻上的節點撓度數組；z為基坑圍護結構距離樁頂的深度。

對于經濟優化模型而言，選取一類考慮材料造價的經濟魯棒性計算模型[23]，結構材料建造成本計算如表2所示。其中，Pw和Ps分別為圍護墻和水平支撐的單位造價，表中的計算參數對應表1。在2D計算模型中，nh的值取通常為1，在其他的3D模型中，nh=D/Shh。當前造價模型計算主要描述了結構本身的材料造價。基于表2，以總造價C最小為目標，造價模型如式（7）所示。

（7）

2 元啟發式算法的引入與求解

由于基坑圍護結構變形計算模型的非線性，涉及到的變形計算優化模型為非線性模型，傳統求解器難以計算精確解，實際應用中一般采用元啟發式算法搜索可行解。根據算法特點，可大致分為以下幾類：純隨機搜索算法（暴力搜索、遺傳算法等）、梯度搜索算法（粒子群算法、可變鄰域搜索等）、半經驗半隨機算法（模擬退火算法、布谷鳥算法等）。在前期測試多種算法的基礎上，為描述研究規律，引入遺傳算法、粒子群算法、模擬退火算法和布谷鳥算法，并分析各類算法的適用性。

2.1 遺傳算法

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是一種模擬生物進化自然選擇機制的優化算法，可用于求解無約束和有約束的非線性優化問題。該算法能夠在設計參數的可行取值范圍內進行搜索，并根據預定義目標函數的適應度進行迭代，以實現變形計算控制的快速收斂。設計參數通過編碼確定各個模式的階數，采用二進制編碼方式構建設計參數組合的個體。遺傳算法全面考慮設計參數的所有取值范圍，并設置目標適應度函數，使之與圍護樁變形與變形控制值的接近程度成正比，適應度函數如式（8）所示。算法通過應用精英選擇和基因變異策略實現針對性的參數組合搜索。

（8）

式中：Ff為適應度函數；max（w）為兩側圍護樁的最大水平變形。

2.2 粒子群算法

粒子群優化算法（PSO）是一種仿生算法，靈感來源于鳥群的覓食行為，其核心思想是將解空間中的每個個體視為鳥群中的一只鳥，每只鳥的位置代表一個可能的解。通過設定合理的目標函數來評估每個個體的性能，以指導粒子群向目標函數值最優的方向進化。在此過程中，粒子的位置和速度不斷更新，模擬鳥群覓食的動態過程，從而在解空間中搜索到滿足條件的最優解。適應度函數的設定可以參考遺傳算法中的做法。PSO算法通過均勻初始化種群來實現全局搜索，其搜索過程主要通過粒子坐標的更新機制來控制，更新公式可表示為式（9）。

（9）

（10）

式中：xk+1id為編號為idid的粒子在k+1步時的坐標；vk+1id為編號為idid的粒子在k+1步時的速度；w為粒子自身慣性的權重；pkid，pbest為在k步時對應的本身歷史最優位置的坐標；c1r1為粒子最優位置的考慮權重；pkd，gbest為在k步時粒子種群全局歷史最優位置的坐標；c2r2為全局粒子最優位置的考慮權重。

2.3 模擬退火算法

模擬退火算法（SA）受金屬加熱冷卻過程的啟發，通過模擬粒子在加熱時變為無序狀態、冷卻時逐漸有序化的物理現象，以實現優化搜索。算法從初始種子出發，在參數的可選取值范圍內進行搜索，每次迭代對參數施加隨機擾動，并根據適應度函數和溫度下降模型決定是否接受新解。初始溫度的選取影響迭代次數和解的質量，而溫度變化曲線則決定算法是否易陷入局部最優。溫度變化方程如式（11）所示，用于控制算法的收斂過程。

（11）

2.4 布谷鳥算法

布谷鳥搜索算法（CSA）是一種受布谷鳥寄生繁殖行為啟發的優化算法。該算法通過模擬布谷鳥在不同鳥巢中產卵的過程，采用Lévy飛行模式進行半隨機的位置更新，以尋找最佳解。在算法中，每只布谷鳥代表一個候選解，而鳥巢的質量由目標函數確定。布谷鳥算法的核心在于Lévy飛行模型的實現和鳥巢適應度的評估，其飛行模型可以表示為式（12），適應度函數的定義與遺傳算法相似。該算法通過模擬布谷鳥的寄生繁殖行為，結合Lévy飛行模型，在參數可取值范圍內高效搜索滿足變形控制要求的參數組合。

（12）

式中：xti為第i個布谷鳥在t時刻所在的巢穴位置；α為步長縮放因子，一般取α=L/10；L是搜索過程的特征尺度，決定了搜索的步長，是一個概率模型，由式（13）控制。

（13）

2.5 逆向設計求解過程

逆向設計求解過程是以變形控制為起點，在設計參數中搜索滿足基坑圍護結構受力和變形要求的合適參數組合，并代入變形計算理論或有限元軟件中驗證。變形控制優化模型通常會生成多個可行解，應結合經濟模型綜合評價，以篩選出符合設計要求且具有最高經濟效益的方案。具體搜索步驟包括：1）確定計算模型及相關參數；2）確定設計參數的取值范圍并初始化搜索種群；3）選擇適合的元啟發式算法進行搜索；4）將得到的可行解代入經濟優化模型，以評估不同方案的經濟性。流程框架如圖2所示。

3 案例分析

3.1 逆向設計

廣州白云區綜合交通樞紐項目包括一個火車站地下廣場和地下廣場下的地鐵隧道，火車站廣場基坑以及地鐵基坑一起構成了坑中坑的工程結構，由于外坑的寬度遠大于內坑，坑中坑的有限土壓力傳遞效應不明顯，對其進行單獨分析。基坑寬度為47.9 m，兩側基坑對稱開挖至12.39 m，基坑一側設置土方車輛運輸道路，估計坑外超載50 kPa，另一側無道路或設計超載。地鐵基坑兩側10 m外設置有自然放坡，可認為存在一定的自然超載。實際工程設計中，基坑超載一側圍護樁設計長度為16.39 m，另一側為14.39 m，擋墻厚度為1 m，基坑圍護結構設計截面圖如圖3所示。

工程地質參數及支撐圍護結構的設計參數分別列于表3和表4。基坑開挖區域主要穿越粗砂和微風化頁巖兩個地層，具有良好的地質條件。基坑變形控制要求在15 mm以內。考慮到一側存在較大超載作用，設計時一側長度為16.39 m，另一側減小2.0～14.39 m。模型中考慮一側坑外超載為50 kPa，另一側不計超載。根據現場環境和設計情況，確定參數取值及搜索范圍，如表5和表6所示。為驗證理論的可靠性，將實際應用的計算參數代入理論中，計算得到的變形曲線與現場實測數據進行對比（如圖4所示），結果表明，計算理論可用于后續的變形控制設計優化。

3.2 啟發式算法計算效能分析

在優化模型中代入相關參數進行設計優化。不論是計算理論還是有限元軟件，完成一個計算案例所需時間基本固定，因此，元啟發式算法性能差異的關鍵在于，能否減少搜索次數，以找到滿足條件的解。在4種算法中，給定相同的初始狀態和初始化種群。種群初始化方法為：左側圍護樁長度按5 dm步長把140～180 dm分為9組；右側圍護樁長度以22 dm步長劃分為6組；圍護樁厚度以3 dm步長劃分為3組；水平支撐數量分別為1、2、3。假設水平支撐的軸向剛度為35，則初始化種群數量為486組。

在啟發式算法迭代過程中，需要設置一個目標函數和迭代停止條件。目標函數（式（14））旨在搜索設計參數組合，使基坑圍護結構的最大變形盡可能大，但不超過變形控制值。迭代停止條件（式（15））設置的目的是，當基坑圍護結構的最大變形達到收斂時，停止計算并輸出結果。

（14）

（15）

式中：f_i為第i次迭代的適應度，迭代終止條件可以描述為：在連續5次迭代后，最大適應度函數的變化率小于0.1時停止迭代。將初始化后的種群代入元啟發式算法進行迭代，在Windows 10操作系統的軟件平臺，CPU I7 12700、32 G內存的硬件平臺上進行搜索。分析粒子群算法（PSO）、遺傳算法（GA）、模擬退火算法（SA）和布谷鳥算法（Cuckoo）的搜索結果，如表7所示，各類算法在單次試驗條件下的最大適應度函數收斂曲線如圖5所示。

由表7可見，理論算法的單次時長穩定在27 s左右，因此，影響計算效率的主要是元啟發式算法在搜索過程中的試錯次數。根據表7中的數據可以看出，半經驗算法的搜索效率優于其他兩類算法。然而，從工程應用角度來看，不同算法的最優適應度差異并不顯著，對實際設計的影響可以忽略。由于基坑圍護結構的變形大小與單個設計參數的取值呈顯著單調關系，而半經驗搜索能夠更好地擬合這類關系，且包含隨機性能夠避免陷入局部最優。在半經驗算法中，Cuckoo算法的適應度函數值略劣于SA，原因主要為不同布谷鳥個體飛行路線重合度較高，易陷入局部最優，收斂更快，而SA算法在迭代過程中隨機性會逐漸減弱，因此，能更穩定地模擬模型的內在聯系并獲得更高適應度的結果。考慮到當前的模型結構和實際應用的計算精度要求，Cuckoo算法更適用于當前問題。

分別整理不同水平支撐道數下的最優設計方案，并基于經濟學模型計算不同設計方案的經濟效益，如表8所示，表中符號與單位的含義同表1。由表8可知，當前的設計方案還能進一步優化。

4 結論

提出多目標優化基坑雙邊耦合變形控制設計建模及求解方法，并分析不同的元啟發式算法的適用性，得到以下主要結論：

1）現有經濟模型較為簡化，未來需要深入研究設計方案與工期、人工成本及機械費用之間的關聯，進一步提高模型的精確度和實用性。

2）逆向設計方法框架中的力學計算模型可以替換為有限元、離散元等其他常用的計算模型，增強設計過程算法選擇的多樣性和魯棒性。

3）半經驗半隨機搜索算法能夠較好地模擬優化模型中內部的數據關聯性，提高搜索效率。其中隨機性更強的布谷鳥算法收斂更快，但適應度函數略低于"SA，更適合用于解決當前問題。

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（編輯""胡玲）