融入數學文化，探究體積應用

數學文化是數學知識形成與進化的一個基本歷程，在數學知識學習與應用過程中自然而然加以滲透與應用.特別是在高中數學教材中，以教材知識、課后閱讀教材、提升拓展知識等形式來展示，借助教材中的相關欄目，如“探究與發現”“閱讀與思考”“文獻閱讀與數學寫作”等來合理介紹與引導學生閱讀與理解.而巧妙挖掘與綜合應用相應的數學文化知識，對于提升學生的文化內涵、數學綜合應用能力及創新思維等都有很好的幫助，因此，在應用新教材的過程中應加以重點關注.本文中基于教材“探究與發現”進行研究.

1 基于教材欄目

案例人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的《數學》（必修第二冊）第八章“立體幾何初步”第121頁“探究與發現”——祖暅原理與柱體、錐體的體積.

基于教材“探究與發現”欄目的閱讀材料，介紹空間幾何體的體積計算原理——祖暅原理，并在此基礎上進一步探究柱體、錐體、臺體與球體的體積及其應用，全面融入數學文化與公式由來，為數學知識與關鍵能力的應用創設創新應用場景，全面、有效考查各方面的基本能力與應用.

2. 數學文化史話——祖沖之父子與數學

在中國古代，很早就有人提出圓的周長是“圓徑一而周三有余”.特別是由中國數學家劉徽提出的“割圓術”，計算圓周率到小數點后4位數，成為后人研究的一個基本方向.祖沖之基于前人的研究，推算出圓周率π的值在肭數（即3.141 592 6）與盈數（即3.141 592 7）之間，同時確定π的兩個分數形式的近似值，即約率π≈227，密率π≈355113.他的這個研究成果，在當時世界最先進，領先其他研究者900多年.

除了以上圓周率π的計算，祖沖之也是世界上最早得出計算球體積計算公式的數學家，比歐洲人約早1 000年.祖沖之與他的兒子祖暅一起，系統總結了“冪勢既同，則積不容異”的論斷，由此推導出球的體積計算公式并計算出“牟合方蓋”（劉徽提出）體積等，國外直到17世紀才得以重新發現.為了紀念祖氏父子發現這一原理的重大貢獻，數學上也稱為“祖暅原理”.

3 應用場景創設

空間幾何體中除了常規的柱體、錐體、臺體與球體有對應的體積計算公式，一些不規則的空間幾何體就要借助祖暅原理來拓展與研究，這正是數學文化與數學知識交匯與融合的創新應用.

3.1 體積求解

例1〔2024年湖北省宜荊荊高考數學適應性試卷（5月份）〕祖暅原理也稱祖氏原理，其是有關體積的一個著名命題：“冪勢既同，則積不容異.”意思是兩個同高的立體圖形，若在等高處截面積相等，則對應的體積相等.由曲線x24－y23=1，y=±32x，y=±4圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V，則V=.

解析：作出曲線在第一象限的圖象，如圖1所示，當高度為h時，雙曲線x24－y23=1與漸近線y=±32x繞y軸旋轉一周所形成的圖形是圓環.

設小圓的半徑為r，則點（r，h）在直線y=32x上，所以h=32r，解得r=23h.

設大圓的半徑為R，則點（R，h）在雙曲線x24－y23=1上，所以R24－h23=1，解得R2=41+h23.

故圓環的面積為S=πR2－πr2=4π1+h23－43πh2=4π，即圓環的截面積為定值.

根據祖恒原理知，旋轉體的體積是V=4π×8=32π.故填答案：32π.

3.2 參數應用

例2《綴術》中記載了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”在雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）中，如圖2所示的陰影部分是雙曲線C的兩條漸近線、雙曲線C的右支及直線y=1，y=－1所圍成的平面圖形，記雙曲線右焦點到漸近線的距離為d，若陰影部分的平面圖形繞y軸旋轉一周所得幾何體的體積為2dcπ（其中c2=a2+b2），則雙曲線C的離心率為（）.

A.2 B.2 C.3 D.23

解析：依題，雙曲線右焦點（c，0）到漸近線y=bax的距離d=ba×c1+ba2=b.

令y=m（－1≤m≤1），結合圖形的幾何特征可知對應的截面是一個圓環.

聯立y=m和y=bax，解得x=amb；聯立y=m和x2a2－y2b2=1，解得x=±am2+b2b.

結合圓環的圖形特征，可知截面的面積為πam2+b2b2－a2m2b2=πa2.

所以2πa2=2dcπ=2πbc，則有4a4=2b2c2，即2a4=c2（c2－a2），亦即（2a2－c2）（c2+a2）=0，可得c2=2a2，所以e=ca=2.故選擇答案：A.

3.3 最值（或范圍）探究

例3（2024年廣東省廣州市高考二模數學試卷）球臺是指用兩個平行平面去截球體時，夾在兩截面之間的部分.根據祖暅原理，其對應的體積計算公式為V球臺=16πh（3r21+3r22+h2），其中r1，r2分別是兩個平行平面截球所得截面圓的半徑，h是兩個平行平面之間的距離.已知圓臺O1O2的上、下底面的圓周都在球O的球面上，圓臺O1O2的母線與底面所成的角為45°，若圓臺O1O2上、下底面截球O所得的球臺的體積比圓臺O1O2的體積大9π，則球O的表面積S1與圓臺O1O2的側面積S2的比值S1S2的取值范圍為.

解析：如圖3所示，設AB為圓臺的一條母線，過點A作O2B的垂線交O2B于點C，則有∠ABO2=45°.

設圓臺上、下底面圓O1，O2的半徑分別為r1，r2（r2gt;r1），高為O1O2=AC=h，則BC=AC=h，O1A=O2C=r1，即r2=O2B=r1+h，所以h=r2－r1，AB=2BC=2（r2－r1）.

所以球臺的體積V1=16πh（3r21+3r22+h2）=16π（r2－r1）[3r21+3r22+（r2－r1）2]=16π（r2－r1）×（4r21+4r22－2r1r2）；

圓臺的體積V2=13πh（r21+r22+r1r2）=13π×（r2－r1）（r21+r22+r1r2）.

由題意可知V1－V2=9π，則有16π（r2－r1）×（4r21+4r22－2r1r2）－13π（r2－r1）（r21+r22+r1r2）=9π，整理得（r2－r1）3=27，解得r2－r1=3，則h=3.

設圓臺外接球的球心為O，半徑為R，則點O在O1O2所在直線上.設O1O=m，則O2O=h－m=r2－r1－m.由R2=r21+O1O2=r22+O2O2，解得m=r2，R2=r21+r22.

所以，球的表面積S1=4πR2=4π（r21+r22），圓臺O1O2的側面積S2=π·AB·（r1+r2）=2π5（r22－r21）=32π（r1+r2）.

所以S1S2=4π（r21+r22）32π（r1+r2）=22（r21+r22）3（r1+r2）=22（2r21+6r1+9）3（2r1+3）.

令t=2r1+3gt;3，則S1S2=2（t2+9）3t=23×t+9tgt;23×2t×9t=22，即所求比值S1S2的取值范圍為（22，+∞），故填答案：（22，+∞）.