基于GeoGebra的高中數學可視化教學

可視化教學是一種十分有效的教學方法，它能夠激發學生學習興趣、提高教學效率、更好地滿足學生的多樣化需求.但進行數學的可視化教學時，需要考慮哪些原則？如何在設計高中數學內容的可視化教學時保持合理和科學？運用現代技術進行教學時應該注意哪些問題？在思考上述問題的基礎上，以認知負荷理論、數學多元表征學習等理論為支撐，筆者對高中數學可視化教學設計進行了深入思考，以高中數學“橢圓及其幾何性質”為例，借助GeoGebra軟件探索高中數學可視化教學，以期對可視化教學貢獻一點經驗.

1 可視化教學與GeoGebra

可視化教學是一種教學方法，利用圖像、圖表、動畫、模擬和多媒體等可視化工具，幫助學生更好地理解和學習知識.通過可視化教學，教師可以將抽象的概念和復雜的知識轉化為直觀、形象的形式，使學生能夠更容易地理解和記憶;GeoGebra是一款功能強大的數學軟件，旨在助力學生的數學學習和教師的高效教學.它集成了幾何、代數、微積分和統計等數學工具，提供直觀界面和動態演示功能.用戶可以創建、探索和修改各種數學對象，觀察數學概念和關系.依托GeoGebra平臺可以有效地進行可視化教學.

2 可視化設計原則

2.1 學生主體原則——培養核心素養

學生主體原則強調將學生置于學習的核心位置，以學生的學習需求、興趣和能力為出發點和中心，教學內容、過程和方法都應與學生相契合.

2.2 信息組塊原則——促進深度學習

可視化教學的過程中，學生接受到的信息是有限的，為了提高教學效率，促進核心素養的形成，在教學前應該合理地設計“信息塊”.構建“信息塊”的目的是降低學生的認知負荷，因此“信息塊”的設計不宜過于復雜，且數量也不應過多，否則學生在學習的過程中一旦產生倦怠心理，就會適得其反.

2.3 雙通道原則——降低認知負荷

一般來說，“可視化教學都是視覺表征，大腦認知的過程主要發生在視覺通道中”[1].然而，由于視覺通道所能接受的信息容量是有限度的，這可能會導致視覺通道接收的信息超負荷.因此，在組織可視化教學內容的信息時，應盡量采用\"視聽結合\"的雙通道形式，以充分呈現“信息塊”，降低學習者的認知負荷.也就是說在教學中應該盡量避免使用大段的文字描述，而宜采用動態演示和教師講解相結合的教學手段，這樣可以有效降低認知負荷，提高教學效率.

3 教學過程示例

橢圓是高中數學課程的一個重要知識點，在實際教學過程中一般是利用黑板作圖建立直觀，然后通過代數進行表達.但是要更直觀地認識橢圓的幾何特征和相關性質，需要將信息技術與課堂教學深度融合.通過使用動態幾何軟件作圖，可以直觀地演示抽象概念，展示動點的運動變化規律，并探究圖形之間的關系.通過引導學生觀察參數的變化，實現可視化教學，從而更好地理解圓錐曲線的定義及性質.

3.1 問題情境導入

在授課之前創設情境，聯系學生實際情況，引發他們的興趣，以便更好地進行教學.

“取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是一個圓.如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1，F2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？”[2]

3.2 概念動態演示

在所展示的GeoGebra界面上，對滑動條施加動畫效果，動態演示上述情境的軌跡圖，幫助學生深刻理解橢圓的定義.這一過程要遵循信息組塊原則，動態展示準備的過程不宜展示，也不能只為學生展示一個橢圓的圖形，而應該將關鍵的圖形、對應的參數整合成有意義的信息塊（如圖1），使學生直觀地理解知識點.這種方式可以激發學生學習的積極性，降低他們的認知負荷，將核心素養中的幾何直觀落地，而不是架在空中樓閣.

通過GeoGebra展示橢圓定義的本質，學生可以清晰地觀察到橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和始終保持不變，如圖2.這種直觀的演示，使學生在動態變化中直觀感知橢圓的軌跡特征，從而加深對橢圓定義的理解.

3.3 學生求解方程

教師根據圖形，設P（x，y），A（－c，0），B（c，0）.學生根據教師的指導，利用橢圓定義自主分析出動點P的軌跡方程為x2a2+y2b2=1.這一過程中應該充分體現學生主體原則，教學不只是教師的灌輸性講解，而是要在講解過后，發揮學生的課堂主體性，通過自己的分析得到問題的答案，這樣才能形成數學思維.

3.4 性質探索

動態數學軟件在橢圓教學中的應用，為學生提供了一種直觀且富有互動性的學習方式.與傳統的靜態圖形或文字描述相比，動態可視化的演示更貼合學生的認知習慣，有助于他們從具體情境中抽象出橢圓的幾何特征，準確把握橢圓的性質.

在講解橢圓的幾何性質時（如圖3），動態數學軟件同樣展現出獨特的優勢.通過教師利用GeoGebra講解橢圓的基本幾何性質，學生可以直觀地觀察到橢圓的取值范圍、對稱性、長短軸、焦距、頂點和離心率等幾何性質.例如，當離心率參數調整時，學生可以清晰地看到橢圓從接近圓形逐漸變得扁平的過程，從而深刻理解離心率對橢圓形狀的直接影響.這種動態演示不僅吸引了學生的注意力，還促使他們在觀察和思考中主動建構知識，有效促進了對橢圓幾何性質的理解和掌握.

在教學過程中，教師應邊演示邊講解，遵循雙通道原則.這種多感官協同的教學方式，有助于學生更好地吸收和理解知識，提高教學效率.GeoGebra在橢圓教學中的應用，借助直觀的演示和多感官的協同教學，有效促進了學生對橢圓定義及其幾何性質的理解和掌握，提升了教學效果.

課后，筆者通過問卷及訪談調查收集學生的反饋，結果顯示，絕大部分學生認為動態數學軟件的演示使他們對橢圓的定義和幾何性質有了更清晰的認識，學習興趣也得到了顯著提升.這表明，動態數學軟件的應用不僅提高了學生的學習效果，還激發了他們的學習熱情.通過可視化的演示，學生更好地理解了橢圓的概念及其性質的實質.

3.5 習題強化理解

學生了解橢圓的定義及其性質并得到橢圓標準方程后，教師應隨即給出幾道習題以深化學生對定義及性質的理解，問題不必過多，但需要構造難度遞進的問題鏈供學生學習，問題的設置應盡量覆蓋課堂教學內容，促進學生的深度理解.

問題1橢圓x29+y22=1的焦點為F1，F2，點P在橢圓上，若|PF1|=4，則|PF2|=，離心率為，△PF1F2的周長為.

問題2橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=12，且過點（23，3），則橢圓的方程為.

問題3已知橢圓C：x24+y23=1的左、右兩個焦點分別為F1，F2，A（1，2），P為橢圓C上的動點，則|PA|－|PF1|的最小值為.

GeoGebra與高中數學的有效融合可以提高學生對數學知識的理解，增強對數學的學習興趣.其實構建可視化教學展示示例的過程就是數學思維建構的過程.在可視化教學的過程中不只是要理解數學，還要理解學生，要以學生為中心，使他們更直觀地體驗數學知識的魅力.同時，教師要明確融合的目的，不是為了展示而展示、為了炫技而展示，而是要根據教材協助教學，落腳于學生的發展，而不是演示者自己的狂歡.教學時呈現形式應簡潔凝練、操作過程應盡量簡單，同時不失其內涵，充分利用信息組塊的原則合理設計展示內容;操作的關鍵在于展示過程直觀形象，并且應鼓勵學生參與操作過程，感受更加具象的數學知識;教學不能只是一味地利用GeoGebra進行展示，要找準學生的最近發展區，不過度依賴信息技術.

參考文獻：

[1]張志勇.高中數學可視化教學：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺[J].數學通報，2018，57（7）：2124，28.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書數學選擇性必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019：105106.