數列與其他知識點的交匯融合

在“知識網絡交匯點處設計試題”是高中數學課標的明確要求與高考數學命題的重要指導思想之一.作為高中數學知識中的一大主干知識，數列模塊知識是考查數學基礎知識與能力綜合的一個基本場所，成為高考數學中創新意識與創新應用的一大重要陣地.

1 等差數列與等比數列的交匯

借助等差數列與等比數列這兩個不同類型的數列之間的交匯，合理“串聯”起數列的基本概念、基本公式與基本性質等，成為數列中常見的一類綜合應用問題.

例1（2024年廣東省深圳市高考數學模擬試卷）已知數列{an}的奇數項成等差數列，偶數項成等比數列，且公差和公比都是2，若對滿足m+n≤5的任意正整數m，n，均有am+an=am+n成立.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）令bn=a2n－1a2n，求數列{bn}的前n項和Tn.

解析：（1）令m=n=1，則a1+a1=a2，即a2=2a1.

令m=1，n=2，則a1+a2=a3.

因為a3=a1+2，所以3a1=a1+2，解得a1=1，a2=2.

所以an=1+2n+12－1，n=2k－1，

2×2n2－1，n=2k，k∈N*，即an=n，n=2k－1，

2n2，n=2k，k∈N*.

（2）由（1）知bn=a2n－1a2n=2n－12n，則

Tn=1×121+3×122+5×123+……+（2n－1）×12n，

12Tn=1×122+3×123+5×124+……+（2n－1）×12n+1.

兩式相減，得12Tn=12+2122+123+124+……+12n－（2n－1）×12n+1=12+2×141－12n－11－12－（2n－1）×12n+1=32－（2n+3）×12n+1.所以Tn=3－2n+32n.

2 數列與不等式的交匯

借助數列與不等式的交匯綜合與應用，可以探究數列中的項或通項、前n項和的最值，以及含參的數列不等式恒成立下參數的最值（或取值范圍）、數列不等式的證明等綜合問題.

例2已知各項為正數的數列{an}滿足a1=12，a2n+1=13a2n+23an，n∈N*.證明：

（1）anlt;an+1lt;1；

（2）a1+a2+……+angt;n－94.

證明：（1）由a2n+1=13a2n+23an，得

a2n+1－1=13a2n+23an－1.

所以（an+1－1）（an+1+1）=（an－1）（an+3）3.

又因為數列{an}為正項數列，則an+1+1gt;0，an+3gt;0，所以an+1－1與an－1同號.

因為a1－1lt;0，所以an+1－1lt;0，即an+1lt;1.

所以a2n+1－a2n=23an（1－an）gt;0，即a2n+1gt;a2n.

因為數列{an}為正項數列，所以an+1gt;an.

綜上，anlt;an+1lt;1.

（2）要證a1+a2+……+angt;n－94，只需證

n－（a1+a2+……+an）lt;94.

因為（an+1－1）（an+1+1）=（an－1）（an+3）3，所以1－an+11－an=an+33（1+an+1）lt;an+33（1+an）=131+21+an≤131+21+a1=79.

因為anlt;an+1lt;1，所以{1－an}為正項數列，且1－an+11－anlt;79，即有1－an1－an－1lt;79，1－an－11－an－2lt;79，……，1－a21－a1lt;79，累乘可得1－an1－a1lt;79n－1.

所以1－anlt;12×79n－1（n≥2）.

所以（1－a1）+（1－a2）+……+（1－an）lt;12×790+12×791+……+12×79n－1=12×1－79n1－79=941－79nlt;94，即n－（a1+a2+……+an）lt;94，即a1+a2+……+angt;n－94，得證.

3 數列與函數的交匯

對于數列與函數的交匯綜合與應用問題，可以借助函數條件來探究數列中的圖象與基本性質，利用數列的有關公式、求和方法等，結合數列關系式來研究對應的函數應用問題等.

例3已知數列{an}的前n項和為Sn，點（n，Sn）（n∈N*）均在函數f（x）=12x2+12x對應的圖象上.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若函數g（x）=4x4x+2，令bn=gan2 025（n∈N*），求數列{bn}的前2 024項和T2 024.

解析：（1）因為點（n，Sn）（n∈N*）均在函數f（x）的圖象上，所以Sn=12n2+12n.

當n≥2時，an=Sn－Sn－1=n；

當n=1時，a1=S1=1，滿足上式，所以an=n.

（2）因為g（x）=4x4x+2，所以g（x）+g（1－x）=1.

由（1）知an=n，所以bn=gn2 025，則

T2 024=b1+b2+……+b2 024=g12 025+g22 025+……+g2 0242 025.①

T2 024=b2 024+b2 023+……+b1=g2 0242 025+g2 0232 025+……+g12 025.②

①+②，得2T2 024=g12 025+g2 0242 025×2 024=2 024，所以T2 024=1 012.

4 數列與創新定義的交匯

借助數列與創新定義的交匯綜合與應用，通過數列中的圖表遷移、新運算、新概念、新情境等形式加以創新定義與應用，特別是抓住創新定義的內涵與實質，或直接利用關系式，或通過定義抽象對應的關系式，進而結合數列的基本概念、基本性質以及基本公式等來分析與應用.

例4（2024年河南省許昌市襄城縣高考數學模擬試卷）已知均為遞增數列的{an}和{bn}，其各項均為正整數的無窮數列.若數列{an}中任意兩個不同的項的和不是數列{bn}中的項，則稱數列{an}被數列{bn}屏蔽.已知數列{cn}中，滿足1c1+3c2+……+2n－1cn=n（n∈N*）.

（1）求數列{cn}的通項公式.

（2）若數列{dn}是首項與公比均為c1+1的等比數列，求數列{cndn}的前n項和Sn；試判斷數列{Sn}能否被數列{cn}屏蔽，請說明理由.

解析：（1）1c1+3c2+……+2n－1cn=n（n∈N*）.③

令n=1，可得c1=1；

當n≥2時，

1c1+3c2+……+2n－3cn－1=n－1.④

③－④，可得cn=2n－1（n≥2）.

而c1=1也滿足上式，故cn=2n－1（n∈N*）.

（2）由于c1=1，結合等比數列的通項有dn=2n，所以cndn=（2n－1）·2n，則

Sn=1×21+3×22+……+（2n－1）·2n，⑤

2Sn=1×22+3×23+……+（2n－1）·2n+1.⑥

⑤-⑥，得－Sn=2+2（22+23+……+2n）－（2n－1）·2n+1=2+23（1－2n－1）1－2－（2n－1）·2n+1=－6+（3－2n）2n+1.

所以Sn=（2n－3）·2n+1+6.

由Sn+1－Sn=（2n－1）·2n+2+6－（2n－3）·2n+1－6=（2n+1）·2n+1gt;0（n∈N*），可知{Sn}是遞增數列，且各項均為偶數.而遞增數列{cn}的各項均為奇數，則數列{Sn}中任意兩個不同的項的和均不是數列{cn}中的項，所以數列{Sn}能被數列{cn}屏蔽.