挖掘特征巧換元，最值求解妙突破

摘要：基于代數式最值（或取值范圍）問題的求解，換元法是比較常見的一種技巧、方法.本文中結合題設場景的不同形式，就比較常見的分式問題、積式問題、混式問題及創新問題等典型實例加以剖析與應用，歸納總結換元技巧與對應策略，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：代數式；最值；分式；積式；基本不等式

借助換元法思維處理代數式的最值（或取值范圍）問題，是基于不等式的基本性質、基本不等式的放縮與應用下的一種基本思維方式.根據不同問題場景，對應的換元技巧與方法也各不相同，依托比較常見的分式問題、積式問題、混式問題及創新問題等幾類典型應用場景，采用不同的技巧、方法加以變形與轉化，進而結合換元法思維來處理，實現最值（或取值范圍）問題的突破與求解.

1 分式問題分母為主

分式問題，是指題設條件中或所求結論中的代數式含有分式關系式的和，此時經常采用雙變量換元法來處理.

例1〔2024年浙江省杭州市學軍中學高考數學模擬試卷（4月份）〕（1）已知正數x，y滿足1x+2y+12x+y=1，則x+y的最小值為.

（2）已知x，y為正實數，則x2x+y+yx+2y的最大值為.

（3）若x＞0，y＞0，且x+2y=1，則x2x+1+2y2y+2的最小值為.

解析：（1）令x+2y=m，2x+y=n，則1m+1n=1，m+n=（x+2y）+（2x+y）=3（x+y）.

利用基本不等式，可得x+y=m+n3=13×（m+n）1m+1n=132+mn+nm≥132+2mn×nm=43，當且僅當mn=nm，即m=2，n=2時等號成立，此時x=y=23.

所以x+y的最小值為43.

（2）令2x+y=m，x+2y=n，則x=2m－n3，y=－m+2n3，且m＞0，n＞0.

利用基本不等式，可得x2x+y+yx+2y=2m－n3m+－m+2n3n=43－n3m+m3n≤43－2n3m×m3n=23，當且僅當n3m=m3n，即m=n時等號成立，此時x=y.

所以x2x+y+yx+2y的最大值為23.

（3）令m=x+1，n=y+2，則x=m－1，y=n－2，則x+2y=m－1+2（n－2）=1，即m+2n=6.

利用基本不等式，可得x2x+1+2y2y+2=（m－1）2m+2（n－2）2n=m+2n+1m+8n－10=1m+8n－4=161m+8n（m+2n）－4=162nm+8mn+17－4≥1622nm×8mn+17－4=16，當且僅當2nm=8mn，即m=65，n=125時等號成立，此時x=15，y=25.

所以x2x+1+2y2y+2的最小值為16.

點評：解決此類代數式的最值問題時，往往以分式問題的分母為主加以雙變量換元處理，進而利用配湊或者常數代換法的拓展，結合基本不等式的放縮與應用來分析與求解.

2 積式問題因式分解

積式問題，是指題設條件中的代數式或關系式可以進行因式分解，轉化為兩個多變量的一次式線性關系的乘積為定值的問題，此時經常采用雙變量或單變量換元法來處理.

例2〔2024年江蘇省鹽城市亭湖區伍佑中學高三（上）第一次段考數學試卷〕已知0＜a＜1，0＜b＜1，且4（a+b）=4ab+3，則a+2b的最大值為（）.

A.2B.22C.3－2D.3－22

解析：因為4（a+b）=4ab+3，所以4ab－4a－4b+3=0，配湊可得4ab－4a－4b+4=1，兩邊同時除以4得ab－a－b+1=14，即（1－a）（1－b）=14.

令x=1－a＞0，y=1－b＞0，則a=1－x，b=1－y，y=14x.

利用基本不等式，可得a+2b=1－x+2（1－y）=－x－2y+3=－x－12x+3=－x+12x+3≤－2x×12x+3=3－2，當且僅當x=12x，即x=22時等號成立，此時a=1-22，b=1-24.

所以a+2b的最大值為3－2.

點評：解決此類代數式的最值問題時，往往基于積式問題的因式進行雙變量或單變量換元處理.其代數式或關系式的特征是條件式子復雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理.例如，最常見的因式分解式為a+b+ab+1=（a+1）（b+1）.

3 混式問題整體思維

混式問題，是指題設條件中的代數式或關系式是一個多變量的一次式的和、一個多變量分式的和這兩類式子混合在一起的關系式，此時經常結合所求結論采用單變量換元法來處理.

例3（2024年安徽省江淮十校高考數學第三次質檢試卷）已知正數a，b滿足a+b+1a+4b=10，則a+b的最大值是.

解析：設a+b=x，則1a+4b=10－x.因為a，b均為正數，所以xgt;0，

10－xgt;0，解得0＜x＜10.

利用基本不等式，可得x（10－x）=（a+b）1a+4b=5+ba+4ab≥5+2ba×4ab=9，當且僅當ba=4ab，即b=2a=6時等號成立.

所以x（10－x）≥9，即x2－10x+9≤0，解得1≤x≤9，滿足0＜x＜10.

所以a+b的最大值為9.

例4〔2023—2024學年吉林省長春二中高一（上）第一次月考數學試卷〕已知x，y＞0，若x+4y+6=4x+1y，則4x+1y的最小值是.

解析：設4x+1y=k（k＞0），則x+4y+6=k，所以4x+1y（x+4y+6）=k2，所以4x+1y×（x+4y）+6k=k2，整理得k2－6k－8=16yx+xy.

由x，y＞0，利用基本不等式，可得k2－6k－8=16yx+xy≥216yx×xy=8，當且僅當16yx=xy，即x=4y=8k時等號成立.

所以k2－6k－16≥0，解得k≥8或k≤－2（舍去），即當x=1，y=14時等號成立.

所以4x+1y的最小值為8.

點評：解決此類代數式的最值問題時，比較常見的處理辦法有三種.（1）問誰設誰，換元處理，即求誰，設誰就是k；（2）代入整理，構建關系，即整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；（3）合理放縮，確認最值，即方程有解（或不等式用均值放縮），從而確定最值.

借助換元法思維處理代數式的最值（或取值范圍）問題，關鍵在于合理挖掘題設條件與所求結果中對應的代數式或關系式的結構特征，進而加以合理變形與轉化，利用結構性質進行單變量換元、雙變量換元或多變量換元等處理，進而將問題進行合理變化，依托不等式的基本性質、基本不等式等來合理放縮與巧妙應用，實現代數式的最值（或取值范圍）的突破與求解.