依托復數幾何意義，巧妙解決應用問題

摘要：復數的幾何意義是復數自身基本知識的延伸與拓展，也是數形結合的一個典型例證.本文中結合復數的幾何意義，依托一些常見應用場景與實例，就復數的概念、運算、軌跡問題及創新問題等方面，剖析復數幾何意義應用的內涵實質，歸納總結解題規律與技巧，優化解題效益，培養數學核心素養.

關鍵詞：復數；幾何意義；概念；運算；軌跡

借助平面直角坐標系的建立與復平面的引入，巧妙將代數問題中的復數與幾何問題中復平面內的點加以合理聯系與轉化，實現數與形的巧妙融合，為復數幾何意義的應用場景創造條件.借助復數幾何意義的應用，合理聯系點（復平面上的點Z（a，b））、向量（OZ=（a，b））、復數（z=a+bi，其中a，b∈R）這三者之間的一一對應關系與轉化，進而可以把復數、平面向量與解析幾何聯系在一起.解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀.特別是復數幾何意義的應用，可以為復數的基本概念、復數的基本運算、復數的軌跡方程及創新方面的應用等創造條件.

1 概念方面的應用

例1（多選題）已知復數z在復平面內對應的點為（1，－1），則下列說法正確的是（）.

A.復數z的共軛復數是z=1+i

B.|z|=2

C.復數z的虛部為－1

D.復數i（z+i）在復平面內對應的點在實軸上

解析：根據復數的幾何意義可知，z=1－i.

所以z=1+i，|z|=12+（－1）2=2，復數z的虛部為－1，故選項A，B，C正確.

復數i（z+i）=i（1－i+i）=i，在復平面內對應的點為（0，1），在虛軸上，故選項D錯誤.

綜上分析，選擇答案：ABC.

點評：借助復數的基本概念，依托點（復平面上的點Z（a，b））、向量（OZ=（a，b））、復數（z=a+bi，其中a，b∈R）這三者之間的關系加以轉化與變形，利用復數的幾何意義來解決一些相應的幾何問題、向量問題等，還可以利用逆向思維來分析與解決問題，實現問題的巧妙轉化與合理應用.

2 運算方面的應用

例2在復平面內，O為原點，向量OM=（a，b），對應復數為a+bi（a，b∈R），將OM繞點O沿逆時針方向旋轉π4，且將向量OM的模變為原來的2倍，得到向量ON，此時向量ON對應的復數為（a+bi）（1+i）=a－b+（a+b）i.現有一平行四邊形ABCD，如圖1所示，點A（1，1），B（3，2），|AD|=2|AB|，∠BAD=45°，則點D的坐標為（）.

A.（1，3）B.（2，4）C.（2，1）D.（4，2）

解析：依題意，由A（1，1），B（3，2），可得AB=（2，1），故AB對應的復數為2+i.

由題意根據復數運算的幾何意義，可知AD對應的復數為（2+i）（1+i）=2－1+（2+1）i=1+3i，即AD=（1，3）.

所以OD=OA+AD=（2，4），即點D的坐標為（2，4）.

故選擇答案：B.

點評：借助復數加法、減法、乘法等運算的幾何意義，化數的問題為形的特征，進而將復數運算的代數形式巧妙轉化為幾何問題，借助形的視角切入與形的直觀應用，特別是結合形的意識來直觀想象與數形結合，有時對于運算與解題等都有明顯的效果.

3 軌跡方面的應用

例3已知復數z=x+yi（x，y∈R），且|z－2|=1，則yx的取值范圍是.

解析：依題，設在復平面內復數z=x+yi（x，y∈R）對應的點為Z（x，y）.

由復數的幾何意義可知，|z－2|=1表示點Z的集合是以（2，0）為圓心，1為半徑的圓，即（x－2）2+y2=1，如圖2所示.

而yx=y－0x－0表示圓上的點與原點連線的斜率，當直線與圓相切時，yx分別取得最大值和最小值.

結合圖形直觀，設點A，D為切點，點C為圓心，ACOC=12，所以∠AOC=30°，則kOA=33，kOD=－33.

所以yx的取值范圍是－33，33.

故填答案：－33，33.

例4（2025屆廣東省普通高中畢業班調研考試數學試卷·10）（多選題）設z1，z2是非零復數，則下列選項正確的是（）.

A.z21=z21

B.|z1+z2|=|z1|+|z2|

C.|z1－2－2i|=2，則|z1+1－6i|的最小值為3

D.|z2+i|+|z2－i|=4，則|z2|的最小值為3

解析：依題，取特殊值z1=1+i，則z21=2i，z21=－2i，顯然z21≠z21，故選項A錯誤.

取特殊值z1=i，z2=－i，則|z1+z2|=0，|z1|+|z2|=2，顯然|z1+z2|≠|z1|+|z2|，故選項B錯誤.

依托復數的幾何意義，則知滿足關系|z1－2－2i|=2的復數z1，其對應的軌跡是一個以點A（2，2）為圓心，且半徑r=2的圓，而|z1+1－6i|表示的是復數z1所對應的點Z1到點B（－1，6）的距離.根據平面幾何知識，可知|z1+1－6i|min=|AB|－r=5－2=3，故選項C正確.

根據復數的幾何意義，可知|z2+i|+|z2－i|=4表示的軌跡是以點F1（0，1），F2（0，－1）為焦點的橢圓，對應的橢圓的長軸長為4，焦距為2，短軸長為23，則知|z2|的最小值為3，故選項D正確.

綜上分析，選擇答案：CD.

點評：在解決一些復數的相關綜合應用問題，特別是與復數的模相關的問題時，利用對應復數的幾何意義，結合數的基本屬性，利用復數的幾何意義加以巧妙等價轉化，變形為相應的形的結構特征.由|z1－z2|的幾何意義是已知復數z1，z2對應的點Z1，Z2之間的距離，從而根據曲線的定義得到對應曲線的復數方程|z1－2－2i|=2是圓的復數方程，|z2+i|+|z2－i|=4是橢圓的復數方程等.

4 創新方面的應用

例5〔2023—2024學年廣西河池市高一（下）期末數學試卷〕歐拉恒等公式eiπ+1=0（i為虛數單，e為自然對數的底數）被稱為數學中最奇妙的公式.它是復分析中歐拉公式eix=cos x+isin x的特例：當自變量x=π時，eix=cos π+isin π=－1，得eiπ+1=0.根據歐拉公式，復數z=e3i在復平面內對應的點位于第象限.

解析：依題，z=e3i=cos 3+isin 3.而π2lt;3lt;π，則有cos 3lt;0，sin 3gt;0.

根據復數的幾何意義，可知復數z=e3i在復平面內對應的點（cos 3，sin 3）位于第二象限.

故填答案：二.

點評：借助復數中創新定義、數學文化等場景應用，將復數的基本概念、復數的模、復數的代數運算等與相應的幾何意義加以巧妙聯系，創設形的幾何特征，從而實現數與形的結合應用與合理轉化，通過不同思維視角，借助不同基礎知識來分析與應用，實現創新應用問題的突破與求解.

合理挖掘與應用復數的幾何意義，可以很好地構建起復數問題中的“數”與幾何問題中的“形”之間的聯系與過渡轉化，從而采用更加合理、有效的技巧、方法來分析與處理，實現問題的優化解決與合理應用.而借助復數的幾何意義的挖掘與應用，對于問題的轉化與優化有很大的幫助，可以實現數形結合與數學運算之間的聯系，從而更加有效地通過形的意識來直觀分析，通過數的意識來數學運算，全面提升數學解題能力，優化解題效益，培養數學核心素養.