追蹤高考脈絡探尋方法本質

摘要：本文是一道新概念新定義題目的命制過程.追蹤極點極線的歷史邏輯和知識關聯，從射影幾何中的調和點列入手，抓住其知識本質，引導學生學會并且會學，感受數學知識發展邏輯過程，感悟數與形的融通，經歷從形到數，又從數到形的過程，旨在考查學生自學能力、數學抽象能力、邏輯推理能力，也考查學生的個性品質.

關鍵詞：試題命制;調和點列;數形融通;個性品質

1 原創試題

數學家們早在古希臘時期發現了一組滿足特殊比例關系的點列，如圖1所示.已知共線四點A，B，C，D，若滿足ACBC=ADBD，則稱C，D調和分割線段AB，或A，B調和分割線段CD，也稱A，B，C，D為調和點列，記作（AB，CD）=－1.對偶地，由直線外一點O向直線上的調和點列引出四條射線，將其分別記作a，b，c，d，則稱a，b，c，d為調和線束，記作（ab，cd）=－1，如圖2所示.調和線束被任意直線所截，截得的點是調和點列，即調和點列與調和線束之間可以互相生成.

調和點列與調和線束是射影幾何學中的重要概念，在圓、橢圓、雙曲線、二次曲線中幾乎無處不在，它們還有很多有趣的性質，等著你去探索！

已知A1，A2為雙曲線Γ：x2a2－y2b2=1的左、右頂點，F1，F2為其左、右焦點.

（1）證明：若存在H1使（A1A2，H1F1）=－1，則存在H2使得（A1A2，H2F2）=－1.

（2）若A1H2·A2H2lt;0，H1H2=A2F2=2，則雙曲線Γ上是否存在點P使得PA1PA2=H2A1H2A2成立？

（3）在第（2）問的條件下，直線PF2與雙曲線Γ交于點Q，試判斷直線PH2與QH2斜率之間的關系并證明.

2 設計思路

歷年高考對極點極線的考查極為頻繁，生動體現了解析幾何中動中有靜，有效考查了數學運算、直觀想象核心素養.但美中不足的是歷年高考題一方面是對極點極線等知識的直接應用，只是讓學生知其然而不知其所以然；另一方面題干過于單薄而不全面，強調了應用但較少關注本質.由此筆者追蹤極點極線的歷史邏輯和知識關聯，從射影幾何中的調和點列入手，究其知識本質，嘗試命制了一道此背景下的題目，引導學生學會并且會學，爭取與新高考的試題命制理念相吻合.

課程標準中指出，關于高考命題，應包括開放性問題和探究性問題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識.要求學生學會即時學習、理解定義，基于概念去思考，這對學生的再學習能力提出了較高要求.中國高考評價體系中，特別強調以情境為載體，重在考查基礎性、綜合性、應用性與創新性.但創新不只是從無到有，還有從少到多.

作為一線數學老師，筆者重在關注如何培養學生素養發展并能夠在考試中有良好的表現，即關注教又關注考更關注學.處在高考改革的關鍵時期，筆者希望既能堅守傳統，又能發揚創新.結合平時教研與教育教學工作，筆者想這些題目能回歸到哪里？經過文獻收集，獨立思考，溯本求源，意識到極點極線是射影幾何分支，與調和點列、調和線束有關.本題歷經多稿，先是查閱資料，編題寫題，邀請教研組內優秀教師指導，考慮到計算量較大，考場上短時間內考生不易算出正解，于是再次修改，請高二年級部分學生測試后確定題目.參加命題講題比賽后，經再三斟酌，考慮到高中學生對新定義題目還是會覺得陌生，對題干中純文字敘述會理解不到位，繼而影響后面題目的解答，于是再次修改定義敘述，直接在題干中給出調和點列、調和線束的示意圖，幫助學生進一步真正地深入理解新定義.

在試題命制過程中還關注科學發現的過程，從特殊到一般：（1）圖形從特殊到一般，比如，圓→橢圓→雙曲線→圓錐曲線→二次曲線；（2）位置狀態從特殊到一般，比如，交點→交線，任意點→任意線，切線→交線.在追蹤本源的過程中逐步形成整體化認識，一步步抽象，從圓→橢圓→圓錐曲線→二次曲線，也是從形→數形兼備→數的研究過程.在具體題目中考慮以下問題：第一問是什么？第二問怎么來的？第三問怎么用？筆者認為高考除了考查高中知識，也考查學生知識儲備的厚度，于是從平面幾何中三角形的角平分線性質入手，先用特殊的點、線（比如：圓錐曲線的焦點、準線）找到線段和位置關系，再進一步推廣到更一般的情況.整個題目命制過程經過多次研討后最終成稿.

3 解法分析與思維導圖

聚焦極點極線，回歸定義本源.由射影幾何引出，考慮調和點列、調和線束與極點極線的關系，圍繞線段比值研究圖形位置關系和數量關系.由此，筆者設置了層次分明、彼此遞進的三個小問，既關注學生是否能正確理解材料中所闡述的知識，又考查學生從形到數的過程性理解，旨在從幾何直觀過渡到數學抽象，從邏輯推理演變至數學運算.

第一問，設置了一道證明題，考查學生對知識本身的理解，在題意解讀與圖形分析的基礎上感受數學的對稱美，讓學生學會就能用.第二問中同樣是因為對偶性，這里的H2不唯一，故設置一個數量積關系式，將H2確定下來，作為A1A2的內分點，目的在于雙曲線方程的求解.P點的確定繼續沿用調和點列的性質，又與動點軌跡思想產生聯系，進而獲得雙曲線與圓位置關系的探求.這需要學生真正掌握調和點列的定義才能用第二問引導學生走向解析幾何基本思想，進入到符號化代數求解的軌道.

這三問的設置意在讓學生多思少算，整體把握問題情境.閱讀題干后要能夠提取核心信息，執果索因，尋找解題突破點.思維導圖如圖3：

4 試題解析

（1）方法1：由H1，F1調和分割A1A2，知A1，A2，H1，F1為一組調和點列，A1，A2為雙曲線左、右端點，關于原點對稱，F1，F2為雙曲線左、右焦點，也關于原點對稱.根據調和點列的對稱性知，存在H2使得A1，A2，H2，F2為一組調和點列，即H2，F2也調和分割A1A2，結論得證.

方法2：設OH1=x，由（A1A2，H1F1）=－1，得H1，F1調和分割A1A2，得到A1H1A2H1=A1F1A1F1，其中A1，A2為雙曲線Γx2a2－y2b2=1的左、右頂點，F1，F2為其左、右焦點，所以有a－xa+x=c－ac+a，得x=a2c，即OH1=a2c.存在OH2=a2c使得A1H2A2H2=a+a2ca－a2c=c+ac－a=A1F2A2F2，結論得證.

（2）方法1：由A1H2·A2H2lt;0，知H2在線段A1A2內部.由H1H2=2得H（1，0），根據A1H2A2H2=A1F2A2F2得到a+1a－1=c+ac－a，解得a2=c，又由A2F2=2得c－a=2，解得a=2，c=4，得到雙曲線Γ的方程為x24－y212=1.

當∠A1PH2=∠A2PH2時，根據角平分線定理知PA1PA2=H2A1H2A2成立，即滿足條件的點P存在.

方法2：由A1H2·A2H2lt;0得到H2在線段A1A2內部，由H1H2=2得H（1，0），根據圖形對稱性知H2為雙曲線準線與坐標軸的交點，即a2c=1.又由A2F2=2得c－a=2，解得a=2，c=4，得到雙曲線Γ的方程為x24－y212=1.

雙曲線Γ上存在點P使得PA1PA2=H2A1H2A2=3成立.由A1（－2，0），A2（－2，0），PA21=9PA22，解得點P為圓x2+y2－5x+4=0與雙曲線Γ的方程為x24－y212=1的交點.

（3）直線PH2與QH2斜率之和為0.

方法1：作出過H2且與x軸垂直的直線l，該直線與直線PF2交于點M，過P垂直于l，垂足為P1，過Q垂直于l，垂足Q1，一方面，根據△PP1M∽△QQ1M得PMQM=PP1QQ1，另一方面，直線（PQ，F2M）=－1，即滿足PMQM=PF2QF2，得PP1QQ1=PF2QF2.

由PP1QQ1=PF2QF2有x1－1x2－1=1+k2（4－x1）1+k2（x2－4），整理得（x1－1）（x2－4）=（4－x1）（x2－1），即2x1x2+8=5（x1+x2），則k1+k2=2kx1x2－5k（x1+x2）+8kx1x2－（x1+x2）+1=k［2x1x2－5（x1+x2）+8］x1x2－（x1+x2）+1=0.

方法2：設點P（x1，y1），Q（x2，y2），直線PF2的方程為y=k（x－4），直線PH2與QH2斜率分別為k1，k2.計算k1+k2=y1x1－1+y2x2－1，將y=k（x－4）代入上式整理得k1+k2=2kx1x2－5k（x1+x2）+8kx1x2－（x1+x2）+1，與雙曲線方程x24－y212=1聯立，得x24－y212=1

y=k（x－4），進而得到（3－k2）x2+8k2x－16k2－12=0，由此可得x1+x2=－8k23－k2，

x1x2=－16k2+123－k2.

代入k1+k2=2kx1x2－5k（x1+x2）+8kx1x2－（x1+x2）+1=2k（－16k2－12）－5k（－8k2）+8k（3－k2）（－16k2－12）+8k2+（3－k2）=0，結論得證.

5 變式練習

如圖4，已知雙曲線Ｃ的中心為坐標原點，對稱軸是坐標軸，右支與x軸的交點為（1，0），其中一條漸近線的傾斜角為π3.

（1）求C的標準方程；

（2）過點T（2，0）作直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，在線段AB上取一點E滿足|AE|·|TB|=|EB|·|AT|，證明：點E在一條定直線上.

6 試題測試反饋與分析

本題知識方法層面考查了調和點列概念及簡單運用，解析幾何運算方法；思想能力層面考查了數形結合思想、運算求解能力；核心素養層面鍛煉了邏輯推理、直觀想象、數學運算.

本題三問的分值依次設置為4分、5分、6分，預估難度系數依次為0.9，0.7，0.4.能力層次定位依次為了解、理解、掌握.

7 命題體會

探求過程中筆者感受了數學知識發展邏輯過程，感悟了數與形的融通，經歷了從形到數、又從數到形的研究過程.極點極線和調和點列還有很多性質，是命題取之不盡的源泉.學然后知不足，研然后知困窘，本題只是探討了其中一部分的內容，我們是不是可以沿著這樣的脈絡繼續發展呢，比如：將靜態轉化為動態，由特殊到一般，乃至擴充到三維空間內的研究，橢球、雙曲面、拋物面等問題.以上是筆者的一些渺小的想法，參加此次命題講題比賽收獲頗豐.