數(shù)形結(jié)合思想巧解題，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象妙應(yīng)用

摘要：正確理解并掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合思想來分析或處理與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)相關(guān)的問題，成為對(duì)數(shù)函數(shù)模塊知識(shí)考查的一個(gè)重要方向.本文中以對(duì)數(shù)函數(shù)圖象為依托，結(jié)合典型實(shí)例，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想處理一些與之相關(guān)的綜合應(yīng)用問題，歸納總結(jié)解題技巧與策略.

關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)函數(shù)；圖象；數(shù)形結(jié)合；參數(shù)；方程

對(duì)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中基本的初等函數(shù)模型之一，是繼冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)后又一重要的函數(shù)模型，是中學(xué)基本初等函數(shù)中非常重要的一種函數(shù)形式，更是高考數(shù)學(xué)試卷中必考的基本內(nèi)容之一.巧妙借助數(shù)形結(jié)合思想來處理涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)及其相應(yīng)的綜合應(yīng)用問題，成為學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn).在對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題中，可巧妙“以數(shù)助形”或“以形助數(shù)”，通過數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)中相關(guān)綜合應(yīng)用問題的突破與求解.

1 圖象識(shí)別

圖象識(shí)別是借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等信息，正確識(shí)別與之對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象或與之相關(guān)的其他函數(shù)圖象等，巧妙“以數(shù)助形”，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化，正確進(jìn)行圖象識(shí)別與圖象應(yīng)用等.

例1函數(shù)f（x）=log2（4x+1）－x的部分圖象大致為（）.

解析：依題，對(duì)任意的x∈R，恒有4x+1gt;0成立，則函數(shù)f（x）=log2（4x+1）－x的定義域?yàn)镽.

又因?yàn)閒（x）=log2（4x+1）－x=log2（4x+1）－log22x=log24x+12x=log2（2x+2－x），則f（－x）=log2（2－x+2x）=f（x）.結(jié)合偶函數(shù)的定義，可知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，由此可以排除選項(xiàng)C，D.

由基本不等式，可得f（x）=log2（2x+2－x）≥log2（22x·2－x）=1，當(dāng)且僅當(dāng)2x=2－x，即x=0時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)f（x）有最小值，由此可以排除選項(xiàng)B.

故選答案：A.

點(diǎn)評(píng)：解決此類涉及對(duì)數(shù)函數(shù)中圖象識(shí)別及其應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于從對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)入手，從對(duì)數(shù)函數(shù)中相關(guān)參數(shù)的確定與應(yīng)用切入，合理進(jìn)行圖象的平移、變換等處理.特別是，在識(shí)別對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等）排除不符合要求的選項(xiàng).

2 參數(shù)取值

參數(shù)取值是借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等信息，聯(lián)系對(duì)應(yīng)的函數(shù)基本性質(zhì)與圖象結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)建聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合，為參數(shù)的最值或取值范圍的確定創(chuàng)造條件.

例2已知函數(shù)f（x）=|log2（－x）|，xlt;0，

－x2+2ax，x≥0，若方程f（x）－m=0的4個(gè)解為x1，x2，x3，x4，且滿足0lt;x1x2x3x4lt;2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

解析：依題，若a≤0，由方程f（x）－m=0，可知直線y=m與函數(shù)f（x）=－x2+2ax=－（x－a）2+a2（x≥0）最多只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不符合題意，故agt;0.

畫出函數(shù)f（x）=|log2（－x）|，xlt;0，

－x2+2ax，x≥0的圖象，如圖1所示.

不妨假設(shè)x1lt;x2lt;0lt;x3lt;x4.當(dāng)xlt;0時(shí)，log2（－x1）=－log2（－x2），則x1x2=1.

當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）max=f（a）=a2，所以0lt;mlt;a2.

令－x2+2ax－m=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可知x3x4=m，即0lt;x3x4lt;a2，所以x1x2x3x4的取值范圍是（0，a2）.

又0lt;x1x2x3x4lt;2，所以a2≤2.又agt;0，所以0lt;a≤2.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，2］.

點(diǎn)評(píng)：解決此類涉及對(duì)數(shù)函數(shù)中的參數(shù)取值及其應(yīng)用問題時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)的解析式與圖象之間的聯(lián)系，在數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的同時(shí)，要注意兼顧“以形助數(shù)”與“以數(shù)助形”的聯(lián)系，給參數(shù)值的確定提供條件，特別是端點(diǎn)處的取值情況，以確定參數(shù)取值范圍的準(zhǔn)確性.

3 方程的解

方程的解是借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等信息，將對(duì)數(shù)方程或與之相關(guān)的方程轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)問題，通過兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況與位置等，利用數(shù)形結(jié)合法求解對(duì)應(yīng)的方程的解及其應(yīng)用問題.

例3設(shè)方程12x+x－5=0的解為x1，x2，方程log12x+x－5=0的解為x3，x4，則x1+x2+x3+x4=.

解析：由方程12x+x－5=0，得12x=5－x.由方程log12x+x－5=0，得log12x=5－x.

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）=12x，g（x）=log12x，y=5－x的圖象，不妨設(shè)x1lt;x3lt;x2lt;x4，如圖2所示.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=12x與g（x）=log12x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則可得點(diǎn)x1，12x1與點(diǎn)（x4，log12x4），點(diǎn)x2，12x2與點(diǎn)（x3，log12x3）分別都關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

由y=x，

y=5－x，解得x=52，

y=52，即兩直線的交點(diǎn)為52，52，則x1+x42=52，x2+x32=52.

所以x1+x2+x3+x4=10.

點(diǎn)評(píng)：解決此類涉及對(duì)數(shù)函數(shù)中方程的解及其應(yīng)用問題時(shí)，關(guān)鍵在于合理轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的方程，將方程問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，進(jìn)而借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與直線及其他相關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)圖象加以數(shù)形結(jié)合，利用圖象的結(jié)構(gòu)特征與基本性質(zhì)來分析與解決方程的解的應(yīng)用問題.

4 零點(diǎn)情況

零點(diǎn)情況是借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等信息，將對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化，借助對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，以及其他相關(guān)的函數(shù)與圖象加以直觀分析，數(shù)形結(jié)合來確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例4若函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=－f（x），且x∈［－1，1］時(shí)，f（x）=1－x2，已知函數(shù)g（x）=|lg x|，xgt;0，

ex，xlt;0，則函數(shù)h（x）=f（x）－g（x）在區(qū)間［－6，6］內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.14B.13C.12D.11

解析：依題，因?yàn)閒（x+1）=－f（x），則f（x+2）=－f（x+1）=f（x），所以y=f（x）（x∈R）是周期為2的周期函數(shù).

對(duì)于函數(shù)y=g（x），當(dāng)xlt;0時(shí)，g（x）∈（0，1）且單調(diào)遞增；當(dāng)0lt;xlt;1時(shí)，g（x）∈（0，+∞）且單調(diào)遞減；當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）∈［0，+∞）且單調(diào)遞增.

依題，可得f（－6）=f（0）=1gt;g（－6），f（1）=g（1）=0，f（6）=f（0）=1gt;g（6），則y=f（x），y=g（x）的圖象如圖3所示.

數(shù)形結(jié)合，由圖直觀分析可知在區(qū)間［－6，6］上，函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點(diǎn)共有12個(gè).

點(diǎn)評(píng)：解決此類涉及對(duì)數(shù)函數(shù)中的零點(diǎn)情況及其應(yīng)用問題時(shí)，關(guān)鍵在于對(duì)相應(yīng)的函數(shù)加以合理拆分，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題，通過兩個(gè)函數(shù)圖象間的交點(diǎn)情況、交點(diǎn)位置等來確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、參數(shù)的取值情況等.

依托對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，特別是基于對(duì)數(shù)函數(shù)及其相關(guān)函數(shù)的圖象，有時(shí)可巧妙整合冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象等，合理數(shù)形結(jié)合，通過以形助數(shù)或以數(shù)助形的處理，直觀想象，綜合對(duì)數(shù)函數(shù)中的圖象特征及相應(yīng)的幾何性質(zhì)，給相應(yīng)綜合問題的切入與應(yīng)用創(chuàng)造條件，實(shí)現(xiàn)直觀分析、解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的綜合應(yīng)用問題.