公切線場景設(shè)置，巧思維與妙拓展

摘要：涉及多曲線（特別是兩條曲線）的公切線問題，是高考數(shù)學(xué)試卷中一類創(chuàng)新應(yīng)用問題，綜合性強(qiáng)，較新穎.結(jié)合一道兩個(gè)含參函數(shù)存在過確定點(diǎn)的公切線問題，從不同數(shù)學(xué)思維切入與應(yīng)用，呈現(xiàn)一題多解，深入探究與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)一題多變，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；公切線；常規(guī)；特殊；極端

多曲線（特別是兩條曲線）的公切線問題，是近年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試卷中的創(chuàng)新熱點(diǎn)問題.此類問題以多條曲線（一般以兩條曲線為主）的公切線場景來創(chuàng)新設(shè)置，巧妙將函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、平面解析幾何、不等式等相關(guān)的數(shù)學(xué)知識加以融合，數(shù)與形結(jié)合，動(dòng)與靜配合，巧妙應(yīng)用邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，綜合性強(qiáng)，備受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

問題（2024年河南省部分重點(diǎn)高中高三下學(xué)期5月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·14）若兩個(gè)函數(shù)f（x）=ln x+a和g（x）=bex（a，b∈R）存在過點(diǎn)2，12的公切線，其切點(diǎn)分別為（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），則代數(shù)式（x1+2x2）[f（x1）+2g（x2）]=.

此題以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用來設(shè)置，以兩函數(shù)所對應(yīng)的曲線存在一條過確定點(diǎn)的公切線為問題場景，以雙曲線所對應(yīng)的公切線這個(gè)基本知識點(diǎn)來設(shè)置，并結(jié)合兩不同切點(diǎn)坐標(biāo)的條件來設(shè)計(jì)，進(jìn)而確定與切點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)的代數(shù)式的求值問題.

對于此類以公切線場景設(shè)置的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，比較常規(guī)的思維方式就是利用公切線的條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)算，利用切線方程的設(shè)置與應(yīng)用來分析，聯(lián)系代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征來求解.而由于所求代數(shù)式的值的確定性，有時(shí)還可以借助特殊思維方式或極端思維方式等來切入，以特殊代替一般，從而實(shí)現(xiàn)問題更加簡捷、有效的分析與應(yīng)用.

2 問題破解

2.1 常規(guī)思維

解法1：常規(guī)思維法.

依題，f′（x）=1x，對應(yīng)的切點(diǎn)為（x1，ln x1+a），由此可得對應(yīng)的切線方程是y－（ln x1+a）=1x1（x－x1）.

依題，g′（x）=bex，對應(yīng)的切點(diǎn)為（x2，bex2），由此可得對應(yīng)的切線方程是y－bex2=bex2（x－x2）.

由于點(diǎn)2，12在以上對應(yīng)的切線上，則有

ln x1+a=32－2x1，bex2=12（3－x2）.

所以f（x1）=32－2x1，g（x2）=12（3－x2）.

而結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義有1x1=bex2=12（3－x2），整理可得x1=2（3－x2），即x1+2x2=6.

又f（x1）+2g（x2）=32－2x1+2bex2=32－2x1+2x1=32，所以（x1+2x2）[f（x1）+2g（x2）]=6×32=9.

點(diǎn)評：根據(jù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)運(yùn)算、設(shè)置切點(diǎn)、確定切線等基本過程作答，思路清晰，運(yùn)算指向明確.特別要注意的是，在邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中，要注意字母a，b與相應(yīng)坐標(biāo)之間的關(guān)系，合理進(jìn)行整體思維與消參處理.

2.2 特殊思維

解法2：特殊思維法1.

依題，設(shè)過點(diǎn)2，12的切線與函數(shù)f（x）=ln x+a的圖象切于點(diǎn)（1，a），即x1=1，切線斜率為1x1=1，此時(shí)對應(yīng)的切線方程為y－12=x－2，即y=x－32，所以a=1－32=－12，于是f（x1）=－12.

將切點(diǎn)（x2，bex2）代入切線y=x-32，可得bex2=x2－32，結(jié)合bex2=1x1=1，所以x2=52，且g（x2）=1.

于是x1+2x2=1+2×52=6，f（x1）+2g（x2）=－12+2×1=32，所以（x1+2x2）[f（x1）+2g（x2）]=6×32=9.

解法3：特殊思維法2.

依題，設(shè)過點(diǎn)2，12的切線與函數(shù)g（x）=bex的圖象切于點(diǎn)（0，b），即x2=0，切線斜率為bex2=b，此時(shí)對應(yīng)的切線方程為y－12=b（x－2）.將點(diǎn)（0，b）代入可得b=16，此時(shí)切線方程為y=16x+16，于是g（x2）=16.

當(dāng)1x1=16時(shí)，解得x1=6，于是f（x1）=16×6+16=76.

于是x1+2x2=6+2×0=6，f（x1）+2g（x2）=76+2×16=32，所以（x1+2x2）[f（x1）+2g（x2）]=6×32=9.

點(diǎn)評：根據(jù)題設(shè)場景，從整體與動(dòng)態(tài)的角度來分析，無論字母a，b的取值如何變，這兩個(gè)函數(shù)圖象都存在經(jīng)過定點(diǎn)的公切線，對應(yīng)代數(shù)式的值恒為定值.在此條件下，通過特殊思維，結(jié)合恒等式ln 1=0或e0=1的選取，進(jìn)一步綜合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，合理“投機(jī)”，巧妙特殊解答.這樣處理，可以有效優(yōu)化解題過程，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算.

2.3 極端思維

解法4：極端思維法.

依題，借助極端思維，假設(shè)函數(shù)f（x）=ln x+a和函數(shù)g（x）=bex的切點(diǎn)均為已知點(diǎn)（2，12），那么此時(shí)x1=x2=2，f（x1）=g（x2）=12.

故（x1+2x2）[f（x1）+2g（x2）]=（2+2×2）×12+2×12=9.

點(diǎn)評：根據(jù)題設(shè)應(yīng)用場景，通過極端思維，利用兩函數(shù)圖象的切點(diǎn)均為已知點(diǎn)，以這一特殊的極端點(diǎn)來切入與應(yīng)用，借助極端方式來簡捷求解與應(yīng)用，以方便快捷的方式達(dá)到解題的目的.極端思維是依托問題場景下定值的求解，通過兩含參函數(shù)的變化情況來極端處理，優(yōu)化解題過程與減少數(shù)學(xué)運(yùn)算.

3 變式拓展

3.1 回歸本源

根據(jù)原問題及其解析過程，回歸問題的本源與實(shí)質(zhì)，探求解析過程中的一些基本量及相應(yīng)的問題，得到對應(yīng)的變式與應(yīng)用.

變式1若兩個(gè)函數(shù)f（x）=ln x+a和g（x）=bex（a，b∈R）存在過點(diǎn)（2，12）的公切線，其切點(diǎn)分別為（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），則代數(shù)式x1+2x2=.

變式2若兩個(gè)函數(shù)f（x）=ln x+a和g（x）=bex（a，b∈R）存在過點(diǎn)2，12的公切線，其切點(diǎn)分別為（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），則代數(shù)式f（x1）+2g（x2）=.

3.2 深入探究

根據(jù)原問題及其解析過程，對問題進(jìn)行一般性探究與處理，使得問題得以升華與拓展，得到對應(yīng)的變式與應(yīng)用.

變式3若兩個(gè)函數(shù)f（x）=ln x+a和g（x）=bex（a，b∈R）存在過點(diǎn)λ，1λ（λgt;1）的公切線，其切點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），則代數(shù)式（x1+2x2）[f（x1）+2g（x2）]=.

3.3 綜合應(yīng)用

根據(jù)原問題及其解析過程，合理綜合其他相關(guān)知識進(jìn)行融合，實(shí)現(xiàn)知識的進(jìn)一步交匯，得到對應(yīng)的變式與應(yīng)用.

變式4若兩個(gè)函數(shù)f（x）=ln x+a和g（x）=bex（a，b∈R）存在過點(diǎn)（2，12）的公切線，其切點(diǎn)分別為（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），則代數(shù)式x21+4x22的最小值為.

變式5若兩個(gè)函數(shù)f（x）=ln x+a和g（x）=bex（a，b∈R）存在過點(diǎn)2，12的公切線，其切點(diǎn)分別為（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），則代數(shù)式f2（x1）+4g2（x2）的最小值為.