初中數(shù)學(xué)中正比例與反比例函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用

【摘要】本文圍繞正比例與反比例函數(shù)圖象在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用展開探究，研究發(fā)現(xiàn)將兩類函數(shù)圖象結(jié)合進(jìn)行教學(xué)能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解.通過圖象分析法解決函數(shù)問題時(shí)，學(xué)生能更直觀地把握函數(shù)的變化規(guī)律和特征.圖象法在解決函數(shù)交點(diǎn)、取值范圍等問題時(shí)表現(xiàn)出獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，學(xué)生通過觀察和分析圖象特征，能更好地理解和掌握解題思路.同時(shí)，這種基于圖象特征的解題方法也培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力和函數(shù)思維，幫助學(xué)生建立更系統(tǒng)的函數(shù)知識(shí)體系，為提升中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)效果提供有益的實(shí)踐參考.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)圖象；正比例函數(shù)；反比例函數(shù)

1引言

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而正比例與反比例函數(shù)是學(xué)生接觸的首批函數(shù)類型.傳統(tǒng)教學(xué)中往往將這兩類函數(shù)割裂開來講解，導(dǎo)致學(xué)生無法建立函數(shù)間的聯(lián)系，解題時(shí)思路局限.近年來的教學(xué)實(shí)踐表明，將正比例與反比例函數(shù)圖象結(jié)合起來進(jìn)行綜合訓(xùn)練，不僅能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，還能提供更多解題思路.基于此，有必要對(duì)這兩類函數(shù)圖象的教學(xué)應(yīng)用進(jìn)行深入研究.

2解題方法

2.1函數(shù)解析式的確定

正比例函數(shù)y=kx的解析式確定，主要通過已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解比例系數(shù)k.當(dāng)已知函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（x1，y1）時(shí)，將其坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y(tǒng)=kx中，解得k=y1x1.特別注意，當(dāng)已知點(diǎn)為第二、四象限的點(diǎn)時(shí)，求得的k值為負(fù)數(shù)，函數(shù)圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線.確定k值后，將其代入y=kx即可得到完整的函數(shù)解析式[1]REF_Ref1807wh.

正比例函數(shù)y=kx的系數(shù)k確定：

（1）代入已知點(diǎn)（x1，y1）得k=y1x1；

（2）驗(yàn)證：將k代回原式檢驗(yàn).

例如已知函數(shù)y=kx過點(diǎn)（2，－4），求解函數(shù)解析式步驟：

（1）代入y=kx可得－4=k×2；

（2）求解k值：k=－42=－2.

（3）函數(shù)解析式：

y=－2x，如圖1所示.

2.2交點(diǎn)坐標(biāo)的求解

函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的確定主要通過解方程組實(shí)現(xiàn).將正比例函數(shù)y=k1x與反比例函數(shù) y=k2x聯(lián)立，化簡(jiǎn)得k1x2=k2，繼而求得x的值.代入任一函數(shù)式可得y值.特殊情況下，當(dāng)k1gt;0，k2gt;0時(shí)，交點(diǎn)必位于第一、三象限；當(dāng)k1lt;0，k2lt;0時(shí)，交點(diǎn)位于第二、四象限;當(dāng)k1、k2lt;0時(shí)，無交點(diǎn).確定交點(diǎn)后應(yīng)驗(yàn)證其合理性[2]REF_Ref1951wh.

正反比例函數(shù)交點(diǎn)求解步驟：

（1）聯(lián)立方程組；

（2）化簡(jiǎn)求x值；

（3）代入求y值；

（4）驗(yàn)證結(jié)果.

例如y=2x與y=6x交點(diǎn)求解步驟：

1.聯(lián)立方程：2x=6x，

2.化簡(jiǎn)：2x2=6，

3.求解：x=±3，代入： y=±23.

4.驗(yàn)證：y=2x與y=6x都經(jīng)過點(diǎn)（3，23）.

3應(yīng)用案例

3.1直線與雙曲線交點(diǎn)問題

例1求y=－2x與y=4x交點(diǎn)

解

（1）聯(lián)立方程：－2x=4x，

（2）化簡(jiǎn)：－2x2=4，

（3）求解：x2=－2，

（4）解得：x=±2i，

（5）結(jié)論：無交點(diǎn)，如圖2所示.

3.2函數(shù)圖象的平移

圖象平移問題主要考察函數(shù)變換規(guī)律.已知y=2x平移后經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），求平移后的函數(shù)解析式.分析可知原函數(shù)y=2x經(jīng)過點(diǎn)（1，2），需向上平移2個(gè)單位，得y=2x+2.驗(yàn)證：代入x=1得y=4 ，滿足條件.類似地，反比例函數(shù)y=1x 平移后經(jīng)過點(diǎn)B（2，1），平移后的函數(shù)式為y=1x－1.

例2求y=2x向右平移3個(gè)單位后的函數(shù)式[3]REF_Ref2036wh.

解

（1）替換x為（x－3），

（2）得到： y=2x－3，

（3）驗(yàn)證：點(diǎn)（4，2）變?yōu)辄c(diǎn)（7，2），如圖3所示.

3.3函數(shù)值的比較

反比例函數(shù)y=kx在不同x值處的函數(shù)值比較需要把握以下規(guī)律：函數(shù)在xgt;0時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)值y的絕對(duì)值逐漸減小；在xlt;0時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)值y的絕對(duì)值逐漸增大.在分析函數(shù)值大小時(shí)，需要關(guān)注定義域內(nèi)不同區(qū)間的函數(shù)值變化趨勢(shì).比較函數(shù)值大小時(shí)，應(yīng)先確定所給x值的位置，再利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析[4]REF_Ref2098wh.當(dāng)比較點(diǎn)分布在不同象限時(shí)，要注意正負(fù)號(hào)的影響.

4結(jié)語

函數(shù)圖象解題研究表明，把握函數(shù)定義域、驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果和運(yùn)用圖象特征是關(guān)鍵要點(diǎn).學(xué)生在解題過程中常出現(xiàn)忽視反比例函數(shù)定義域、計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證不充分等問題，尤其在函數(shù)平移問題中，往往出現(xiàn)圖象正確而解析式錯(cuò)誤的情況.針對(duì)這些問題，應(yīng)注重構(gòu)建完整解題步驟和強(qiáng)化結(jié)果驗(yàn)證意識(shí).采用圖象法輔助解題能提高解題效率.通過圖象預(yù)判可避免函數(shù)交點(diǎn)問題的解題偏差，借助圖象分析能快速掌握函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合圖象特征有助于準(zhǔn)確表達(dá)函數(shù)平移后的解析式[5]REF_Ref2134wh.

參考文獻(xiàn)：

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[5]薛瑾.初中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)的有效性學(xué)習(xí)——以“正比例函數(shù)和反比例函數(shù)”為例[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2022（02）：74-76.