初中數學函數題的解題技巧與思路剖析

【摘要】本文主要探討了初中數學函數題的解題技巧與思路，并通過具體的例題分析，提出了有效的解題策略，通過這些技巧和思路，學生能夠在解答函數題時更加高效和靈活，全面提升數學解題能力.

【關鍵詞】初中數學；函數問題；解題技巧

1注重類比分析，把握解題細節

例1某企業生產一種零件，單個零件的生產成本為40元，零件的售價為60元.為了促進顧客購買，企業決定，如果顧客購買零件數量超過100個，那么從第101個開始，每增加一個零件，所有零件的單價就會下降0.02元，但降到一定程度后，單價不再低于51元.

（1）在購買多少個零件時，單價會恰好降到51元？

（2）假設顧客購買了x個零件，對應的售價為y元，請列出y與x之間的數學關系式.

（3）如果顧客一次購買500個零件，企業的利潤為多少？如果顧客購買1000個零件，企業的利潤是多少？（利潤計算公式：利潤=銷售收入－成本）

解答（1）假設購買零件的數量為n，當銷售單價恰好降到51元時，根據定價規則可以得到公式：

（n-100）×0.02=60-51，

經過計算，得出n=550.

結論在購買550個零件時，單價會恰好降到51元.

（2）當顧客購買的零件數量為x時，單價y與x之間存在一定的關系式.根據題目中的降價規則，可以得出以下函數關系：

當0＜x≤100時，y=60；

當100＜x≤550時，y=62－0.02x；

當x＞550時，y=51.

（3）在顧客分別購買500個和1000個零件的情況下，企業的利潤分別為：

對于500個零件，利潤為：

（62－0.02×500）×500－40×500=6000元.

對于1000個零件，利潤為：

1000×（51-40）=11000元.

結論如果顧客購買500個零件，企業的利潤為6000元；如果顧客購買1000個零件，企業的利潤為11000元.

經驗總結

在解決此類函數題時，類比分析和細節把握至關重要.首先，通過類比其他簡單的函數題，學生可以將零件購買和銷售單價的關系轉化為函數問題，并從實際情境出發進行建模.其次，解答過程中需要特別注重解題細節，尤其是分段函數的處理.在第二問中，銷售單價隨著購買數量的變化而變化，分段定義幫助學生理清函數關系.第三，解利潤問題時，應明確利潤的計算公式，并結合函數關系式逐步代入求解，避免計算錯誤.通過這些細節的處理，學生能更高效地應對類似的實際應用題.

2注重數形結合，高效應用圖象

例2已知正實數x，求y=x2+4+（2－x）2+1的最小值（如圖1）.

解析可以把x2+4+（2－x）2+1整理為（x－0）2+（0－2）2+（x－2）2+（0－1）2，即看作是坐標系中一動點（x，0）到兩點（0，2）和（2，1）的距離之和，于是本問題轉化為求最短距離問題.

解y=（x－0）2+（0－2）2+

（x－2）2+（0－1）2，

令P（x，0）、A（0，2）和，則y=PA+PB.

作B點關于x軸的對稱點B′（2，－1），則y的最小值為AB′=32+22=13.

經驗總結

在解決此類最優化問題時，數形結合能夠大大提高解題效率.通過將代數表達式轉化為幾何圖形，可以直觀地理解問題的本質.在本題中，通過將代數式轉化為坐標系中的點到兩點距離之和，問題變成了求最短距離的問題.此時，圖形的幾何性質有助于更清晰地確定最小值的位置.通過對稱性原理，問題得到簡化，最終能夠高效地求得最小值.數形結合不僅幫助大家清晰地看到問題結構，還能借助幾何工具（如對稱性）進行有效簡化，減少不必要的計算步驟.因此，注重數形結合是解答此類函數優化問題的關鍵.

3把握圖象特征，尋找解題密碼

例3拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（－3，0），其對稱軸為直線x=－12，結合圖象分析：（1）abcgt;0；（2）3a+cgt;0；（3）當xlt;0時，y隨x的增大而增大；（4）一元二次方程cx2+bx+a=0的兩個根分別為x1=－13，x2=12；（5）b2－4ac4alt;0；（6）若m，n（mlt;n）為方程a（x+3）（x－2）+3=0的兩個根，則mlt;－3且 .其中正確的結論有幾個？（如圖2）

解析（1）觀察圖形可見，拋物線的開口朝下.根據圖形，可以看到該函數的圖象與y軸交點位于y軸的正上方.可知alt;0.

根據函數與y軸的交點，可以得出相應的表達式.根據對稱軸的特性，可以進一步推導出該關系式.由于對稱性原理，cgt;0，由對稱軸x=－12可知－12=－b2a，得出b=a，alt;0，所以blt;0.

所以（1）abcgt;0正確.

（2）由函數與x軸交于（－3，0），因此有9a－3b+c=0.

由對稱軸關系可知b=a，所以9a－3a+c=0，可得6a+c=0，c=－6a.

所以3a+c=－3a，又因為alt;0，所以－3agt;0，因此（2）正確.

（3）因為函數開口向下，對稱軸為x=－12，因此，當xgt;－12時，y隨x的增大而減

小，因此（3）錯誤.

（4）因為6a+c=0，有c=－6a，又有b=a，代入方程cx2+bx+a=0，有－6ax2+ax+a=0，化簡有－6x2+x+1=0，解得x1=－13，x2=12.

因此（4）正確.

（5）由圖象可知，方程有兩個根，因此b2－4acgt;0，又alt;0，所以b2－4ac4alt;0正確.

（6）根據題意得b=a，c=－6a，則y=ax2+bx+c=ax2+ax－6a=a（x－3）（x+2）（a≠0），函數與x軸交于點（-3，0）和（2，0），則a（x+3）（x－2）+3=0的兩個根即為函數ｙ=a（x+3）（x－2）與直線y=－3的兩個交點的橫坐標，結合圖象得，m＜-3，n＞2，因此（6）正確.

綜上，正確的結論有5個.

4結語

在解答拋物線相關題目時，把握圖象特征是至關重要的.通過分析拋物線的開口方向、對稱軸位置以及與坐標軸的交點，可以有效地推斷函數的性質并得出結論.首先，通過觀察拋物線開口方向，可以確定函數的增減性；其次，利用對稱軸的性質，可以推斷函數在特定區間內的變化趨勢.此外，圖象上的交點和根的關系可以幫助直接識別方程的解，避免復雜的計算.通過這種圖象與代數的結合，不僅能夠準確解答問題，還能提高解題速度和準確性.因此，把握圖象特征，尋找解題的圖象密碼，是解決此類問題的關鍵.