基于多目標穩健STAP的集中式MIMO雷達波形設計
2025-03-20 00:00:00張云雷劉立國彭培沈廷立李厚樸
系統工程與電子技術 2025年2期
摘 要：針對集中式多輸入多輸出 （multiple input multiple output， MIMO） 雷達多目標空時自適應信號處理 （space time adaptive signal processing， STAP） 中最優發射波形設計問題，以最大化最差輸出目標信干噪比 （signal to interference plus noise ratio， SINR） 為優化準則，聯合優化發射波形和接收濾波器。在模型方面，考慮其他目標作為相干干擾;在算法方面，為滿足半正定規化 （semi definite programming， SDP） 算法中輸出波形相關的協方差矩陣的秩1約束，提出基于秩1近似的秩遞減求解算法。在此基礎上，設計兩種迭代交替優化算法并對比了算法的性能。仿真結果表明，最優發射波形同時滿足峰均比 （peak to average ratio， PAR） 和相似性約束，具有穩健多目標空時雜波抑制能力。
關鍵詞： 多目標; 穩健時空自適應信號處理; 集中式MIMO雷達; 波形設計; 秩遞減
中圖分類號： TN 958
文獻標志碼： ADOI：10.12305/j.issn.1001 506X.2025.02.11
Co located MIMO radar waveform design based on multi target robust STAP
ZHANG Yunlei1，*， LIU Liguo1， PENG Pei1， SHEN Tingli3， LI Houpu2
（1. School of Electronic Engineering，Navy University of Engineering， Wuhan 430033， China;
2. School of Electrical Engineering，Navy University of Engineering， Wuhan 430033， China;
3. Unit 95780 of the PLA， Ningbo 315040， China）
Abstract：To solve the optimal transmit waveform design problem in co located multiple input multiple output （MIMO） radar multi target space time adaptive signal processing （STAP）， the transmit waveform and receive filter are jointly optimized by maximizing the worst output target signal to interference plus noise ratio （SINR） as the optimization criterion. In terms of model， other targets are considered as coherent interference. In terms of algorithm， to meet the rank 1 constraint for the covariance matrix of the output waveform associated with the semi definite programming （SDP） algorithm， a solution based matrix rank 1 approximation and rank decreasing is proposed. On this basis， two iterative alternating optimization algorithms are designed and their performances are compared. The simulation result shows that the optimal transimit waveform can meet the peak to average ratio （PAR） constraint and the similarity constraint， with robust multi target space time clutter suppression capabilities.
Keywords：multi target; robust space time adaptive signal processing （STAP）; co located multiple input multiple output （MIMO） radar; waveform design; reduced rank
0 引 言
自多輸入多輸出（multiple input multiple output， MIMO）雷達體制出現后，波形設計相關研究就成為MIMO雷達的熱點問題［1-3］。當前，MIMO雷達波形設計主要針對單目標的情形，面向多目標的MIMO雷達波形研究主要包括3類：① 基于多目標分辨的波形設計［4-5］，該類研究將同一角度或/和距離上的多目標建模為多元假設檢驗問題，通過波形設計來提升多目標的檢驗概率，該方法適用于無雜波或雜波統計特性已知情形;② 基于指向多個目標方位的最優發射波束形成設計最優發射波形［6-9］，該類研究不需要雜波的先驗信息，但無法利用雜波先驗知識進行有效雜波抑制;③ 基于最優輸出信干噪比（signat to interference plus noise ratio， SINR）準則的波形設計［10-14］，該方法采用認知方式獲得目標和干擾先驗信息，可選擇針對性優化準則獲得良好雜波抑制能力。
基于最優輸出SINR準則的波形設計研究通常采用兩類準則：①最大化多目標響應的輸出SINR［10-11］，其中文獻［10］將多個點目標的響應建模為目標協方差矩陣，基于半正定松弛和高斯隨機化方法求得發射恒模波形。文獻［11］采用MM （majorization minimization）優化算法來求解多目標平均響應的輸出SINR，該優化準則通常關注輸出較大SINR的目標方位，并不利于小目標的檢測。②最大化最差目標輸出SINR準則［12-14］。該準則為魯棒設計準則，在對每個目標的SINR建模時，將其他目標看作相干干擾，通過最大化每個目標輸出SINR來設計針對該目標的濾波器系數，從而得到一組濾波器，解決同一個濾波器系數不能同時最大化多目標輸出SINR的難題。其中，文獻［12］考慮波形恒模和相似性約束，文獻［13］考慮波形恒模和峰均比約束。在聯合優化發射波形和接收濾波器中，最優濾波器采用最小方差無畸變響應（minimum variance distortionless response， MVDR）準則求解，最優波形采用基于二分法的半正定規化（semi definite programming， SDP）優化求解。文獻［12］和文獻［13］均采用SDP優化求解算法，而SDP優化的最優矩陣秩的個數與約束條件個數有關［15］。當約束數目較多時矩陣不滿足秩1約束，通常采用文獻［15］給出的高斯隨機優化方法，該方法不能保證迭代算法的單調性，且只能考慮恒模約束，不能處理波形峰均比約束條件。由于采用恒模約束過于苛刻，滿足一定峰均比約束的波形設計更為實用。
采用SDP優化求解為波形間接求解方式，因此存在上述問題。為此，學者們提出幾類直接求解波形的優化算法：① 文獻［16］提出Power method like遞推算法，利用循環迭代求解最優波形;文獻［17］利用該思想設計一系列序列二次規劃算法，利用凸優化求解最優波形;然而該類方法難以處理多目標的優化問題。② 采用基于MM優化方法［18］求解最優波形，文獻［19］將MM方法推廣到目標多普勒信息不確定的情形，然而該方法在尋找逼近函數上存在較大困難。③ 文獻［20］引入交替方向乘子法（alternating direction method of multipliers， ADMM）求解最優波形；文獻［14］針對多目標優化基于ADMM算法提出凸增強算法；文獻［21］將ADMM算法應用于目標角度和多普勒參數均不確定情形下的機載MIMO雷達自適應信號處理（space time adaptive signal processing， STAP）。雖然ADMM算法求解速度快，但需要設置的輔助參數較多且參數間存在耦合，導致算法難以推廣應用。因此，采用直接優化求解波形的幾類算法均有其應用的局限性。因此，本文考慮針對SDP優化算法不足的改進算法。
文獻［15］指出，即使采用SDP優化的輸出最優矩陣不滿足秩1約束，仍可以將最大特征值對應的特征向量作為最優波形的逼近，通過對該逼近波形進行變換以滿足波形的實際約束要求。為提高算法實時性，文獻［22］針對單目標波形設計問題，提出基于輸出SINR近似的優化快速方法。
受上述文獻啟發，本文針對MIMO雷達中的多目標最優檢測波形設計問題，用秩1近似迭代方法代替傳統的高斯隨機優化方法，通過波形和濾波器多次交替迭代，可實現矩陣的秩逐步遞減，最終得到滿足秩1約束的最優波形。在此基礎上，分別提出基于二分法和基于輸出SINR近似的兩種SDP優化改進算法。所提兩種算法在保證優化過程單調性的同時，均能同時滿足波形峰均比和相似性約束。相似性約束可以保證波形的模糊函數和已知波形的相似度，從而滿足一定的主瓣和旁瓣性能［23］。基于輸出SINR近似的優化算法可有效提升SDP優化算法的實時性。
綜上，本文針對MIMO雷達對多目標STAP處理的魯棒檢測問題，采用最大化最差目標輸出SINR準則，考慮其他目標作為待檢測目標的相干干擾，交替優化求解MIMO雷達的發射波形和接收濾波器。具體來說，針對每個目標均采用MVDR準則獲得對應的濾波器系數，然后采用上述兩種改進SDP優化算法求解波形相關的協方差矩陣。仿真表明，所得優化波形滿足峰均比和相似性約束的同時，可有效提高多目標空時處理性能。
1 問題模型
本文針對機載相干MIMO雷達觀察遠場空間中地面上相同距離R的K個點目標，目標所在位置以及該距離上環狀雜波干擾帶如圖1所示。
假定K個目標處于同一距離環（不同距離環的目標不會產生相互干擾，因此不考慮），具有相同俯仰角θELt和距離雷達的距離R。若載機高度為h，第k個目標方位角φkt和歸一化多普勒頻率fkd，t，則目標入射角與水平投影方位角φkt、俯仰角θELt之間存在如下關系［22］：
θkt=arcsin（sin φktcos θELt）
θELt=arcsinhR（1）
假定MIMO雷達發射和接收天線陣元數分別為NT和NR，雷達采用全孔徑配置，即發射間隔NR個半波長，接收陣元間隔為半個波長，以充分利用MIMO雷達擴展孔徑分辨力。取第1個陣元的位置為陣列相位參考中心，則發射和接收導引矢量可分別為
a（θkt）=［1，ejNRωkt，…，ejNR（NT－1）ωkt］T
b（θkt）=［1，ejωkt，…，ej（NR－1）ωkt］T（2）
式中：ωkt表示第k個目標的角頻率，ωkt=πsin θkt。
考慮待檢測目標左右的Nr個距離環上相關雜波，將360°雜波劃分為Nc個方位單元，平臺運動引起不同方位單元雜波存在不同的多普勒頻移。記第k個方位單元雜波歸一化多普勒為fkd，c，其大小與該雜波所在方位角θkc有關。
為簡化表達，假定雷達發射脈沖重頻fr和飛機平臺的速度va、發射脈沖波長λ之間滿足關系fr=4va/λ，即STAP處理雜波脊為1;又根據式（1），對于雜波單元同樣滿足關系sin θkc=sin φkccos θELc，如果忽略雜波和目標由于距離單元不同導致的俯仰角差異，則雜波具有和待檢測目標相同的俯仰角θELc=θELt，因此第k個方位單元雜波的歸一化多普勒頻移可以表示為
fkd，c=2vasin θkcλfr=sin φkccos θELt2（3）
式中：θkc為雜波的方位角;φkc為水平投影的方位角。具體可見圖1中目標對應參數。
用S=［s1，s2，…，sNT］∈CL×NT表示MIMO雷達發射脈沖的采樣矩陣，矩陣中sk（k=1：NT）對應第k個陣元發射波形的L個快時間采樣，則目標k的單個回波可表示為
Yk=αtb（θkt）aT（θkt）S（4）
式中：αt為目標回波的復數隨機響應，與目標的反射截面積、路徑損耗等因素有關。
考慮雷達接收的同一相干處理間隔內共有M個回波。根據vec（ABC）=（C A）vec（B），其中vec（·）為矩陣按列進行向量化;對式（4）表示的回波矩陣進行列向量化，若目標k的歸一化多普勒頻率為fkd，t，則目標k的第m個回波的列向量表示為
ykm=vec（Yk）ej2πmfkd，t=αt（ILA（θkt））sej2πmfkd，t（5）
式中：IL為L×L長度的單位陣，L為每個陣元發射波形的采樣長度;A（θkt）為目標k的導向矢量矩陣，A（θkt）=b（θkt）aT（θkt）;s為發射波形列向量，s=vec（S）∈CNTL×1。則第k個目標回波可表示為
ykt=［（yk1）T，（yk2）T，…，（ykM）T］T=
αt（d（fkd，t）ILA（θkt））sαtHkts（6）
式中：表示張量積;Hkt表示目標k的特性矩陣;d（fkd，t）表示目標歸一化多普勒頻率值構成的列向量。
d（fkd，t）=［1，ej2πfkd，t，…，ej2πmfkd，t，…，ej2π（M－1）fkd，t］T（7）
當對第k個目標檢測時，其他K-1個目標構成對該目標的干擾，干擾回波為K-1個其他目標回波的輸出求和：
ykt=∑Kq=1，q≠kαqt（d（fqd，t）ILA（θqt））s
∑Kq=1，q≠kαqtHqts（8）
式中：Hqt表示目標q的特性矩陣。
考慮和目標左右相鄰的Nr個距離環上的雜波干擾，仿照目標回波式（6），可以直接寫出含有Nc個相干干擾的干擾回波向量：
yc=∑Nrr=1∑Pk=1αkc（d（fkd，c）ILA（θkc））sr
∑Nrr=1∑Pk=1αkcHkcsr（9）
式中：αkc、fkd，c和θkc分別為第k個點雜波對應的復反射系數、歸一化多普勒頻率和所在角度;Hkc為雜波k的特征矩陣。波形sr是對式（4）中脈沖波形S矩陣移位后，經過和目標回波一系列相同變換后得到的向量表達式：
Sr=［JrLs1，JrLs2，…，JrLsNT］，Sr∈CL×NT
sr=vec（Sr），sr∈CLNT×1（10）
式中：JrL∈CL為移位矩陣，除第r斜對角線的元素全為1外，其他元素均為0，有（JrL）H=J－rL。左乘該矩陣可實現對波形列向量向上移動r個元素位置，下邊元素補0。
根據上述變換關系，移位后波形向量與移位前的波形向量有如下關系：
sr=Trs
Tr=INTJrL （11）
得到目標、目標雜波、地物雜波和噪聲的回波表達式后，MIMO雷達接收的回波向量表示為
y=ykt+ykt+yc+n（12）
假定各陣元接收不同脈沖的噪聲之間互相獨立，即為高斯白噪聲：
Rn=E（nnH）=σ2nINTML（13）
當對第k個目標回波進行濾波時，其他目標構成雜波干擾。為實現最優檢測，對每個目標回波單獨設計濾波器。假定第k個目標濾波器系數為wk∈CLNTM×1，則濾波后該目標輸出SINR為
ρkSINR（wk，s）=wHkE（ykt（ykt）H）wkwHkE（ykt（ykt）H+ycyHc+nnH）wk=
wHkRkt（s）wkwHk（Rkt（s）+Rc（s）+Rn）wk
（14）
式中：目標、干擾目標和雜波干擾協方差矩陣分別為
Rkt（s）=σ2k，tHktssH（Hkt）H
Rkt（s）=∑Qq=1，q≠kσ2q，tHqtssH（Hqt）H
Rc（s）=∑Nrr=-Nr∑pp=1σ2p，cHpcssHTHr（Hqt）H
（15）
優化問題就是通過優化發射波形和濾波器，使得多個目標的最差輸出SINR值最大，可表示為
maxwk，smink ρkSINR（wk，s）=
maxwk，smink wHkRkt（s）wkwHk（Rkt（s）+Rc（s）+Rn）wk， k=1：K
（16）
因為發射波形功率恒定，即sHs=et，根據矩陣和向量的變換關系，上述優化問題還可表示為
maxwk，smink ρkSINR（wk，s）=
maxwk，smink SHRkt（wk）sSH（Rkt（wk）+Rc（wk）s+σ2nwHkwk， k=1：K;sHs=et
（17）
其中，目標、目標雜波和雜波的協方差矩陣關于濾波器系數的表達式為
Rkt（wk）=σ2k，t（Hkt）HwkwHkHkt
Rkt（wk）=∑Kq=1，q≠kσ2q，t（Hqt）HwkwHkHqt
Rc（wk）=∑Pp=1σ2p，cTHr（Hpc）HwkwHkHpcTr（18）
從式（16）和式（17）可以看出，SINR輸出和發射波形、接收濾波器均有關系，一般采用交替優化發射波形和接收濾波器求解問題。其思路如下：首先固定一個變量，通過SDP優化得到另一變量。在單目標條件下，可利用Charnes Cooper變換將優化問題轉化為SDP優化問題。然而，多目標下的優化目標函數為最大化最小形式，因此不能直接轉化為SDP問題。
2 問題求解
2.1 最優濾波器求解
針對式（16）表示的多目標最大化最小優化模型，如果直接采用MVDR求解一個濾波器系數，由于Rkt（s）作為第k個目標的雜波要求最小化，在其他目標求解時又要作為目標參數需要最大化，導致相互矛盾。因此，已有研究［12-14］均針對每個目標單獨設計最優濾波器。
給定波形下，利用MVDR準則［22］得到目標k的最優濾波器為
wk=（Rkt（s）+Rc（s）+Rn）－1Hkts（19）
進而得到最優濾波器組，代入式（17）后，引入變量z，并令
（wk）=Rkt（wk）+Rc（wk）（20）
考慮峰均比和相似性約束下，優化問題式（17）轉為波形優化問題如下：
maxC，zz
s.t.
tr（Rkt（wk）C）tr（（wk）C）+σ2nwHkwk≥z， k=1：K
diag（C）≤γetNTL1NTL
tr（CC0）≥et-δ22
tr（C）=et， C ≥0;rank（C）=1
（21）
式中：C∈CNTL為波形相關的協方差矩陣，C=ssH。式（21）中，第1個約束不等式代表最差目標輸出最大化;第2個不等式為波形峰均比約束，其中diag（C）表示矩陣C對角線元素構成的列向量，1NTL為長度維NTL的全1列向量;第3個不等式為相似性約束，其中C0=s0sH0，δ≥s－s02代表最優波形和給定波形s0=vec（S0）的相似度，S0為參考波形相關矩陣。約束參數的取值范圍為0≤δ≤2et，·2代表向量的2范數。tr（C）=et表示波形滿足能量約束。如果z為已知量，則上述問題為凸問題，然而該值是未知的，導致該問題為非凸優化問題。
如果式（21）代表的問題為單目標優化，可采用Charnes Cooper變換［2，10］，將分數規劃問題直接轉化為SDP優化問題。由于Charnes Cooper變換需要約束分母或分子的表達式為固定值，多目標約束下分母或分子為多目標輸出，采用Charnes Cooper變換就是將其轉化為固定值約束，導致難以滿足輸出最優的要求，因此對于多目標優化問題，需要設計特定的非凸優化求解算法。
2.2 基于二分法的最優波形求解
已有研究通常采用二分法求解式（21）代表的多目標下的非凸優化問題［12-13］，然而求解方法過于繁瑣。這里參考文獻［10］對單目標進行波形優化采取的二分法。
二分法通過設計二分循環求解最優變量，在第m-1循環步驟中，給定變量z（m－1）條件下，通過引入變量λ，將SDP優化問題轉化為判斷λ正負的優化問題：
maxC，λλ
s.t.
λ+tr（（Rkt（wk）-zm-1（wk））C ≥zm-1σ2nwHkwk， k=1：K
diag（C）≤γetNTL1NTL
tr（CC0）≥et-δ22
tr（C）=et， C ≥0
（22）
利用式（22）構建二分循環求解最優z值，如果最優解滿足λ≥0，表明目標函數尚未達到最優，則新的一輪循環中z向上二分賦值，否則向下二分值賦值。求得最優z值后，代入式（21）求解原SDP問題，得到最優輸出矩陣。根據文獻［15］，當式（21）存在多個約束條件時，最優輸出C不再滿足秩1結果，因此假定輸出C的秩rgt;1，其特征值分解表示為
C=∑rk=1λkukuHk， λ1≥λ2≥…≥λrgt;0（23）
取上述特征分解的最大特征值對應的特征向量進行功率歸一化后的波形t=etu1作為近似最優波形，則易知該波形滿足能量約束。
為滿足峰均比約束，利用最近向量法［24］求解在第m次循環中距離近似波形t的最優波形s（m）：
mins（m）s（m）－t2， ［s（m）］k≤γ1NTL∑NTLk=1|sk|2（24）
最近向量法的求解思路如下：對波形t的所有采樣點按照能量進行排序，對能量最大的采樣點分配最大峰值能量，而相位保持不變，將剩余能量按照比例分配給剩余采樣點。重復處理剩余超過最大峰值的采樣點，直至所有采樣點均滿足峰均比約束為止。
下面證明輸出最優波形滿足相似性約束條件。當相似性約束較強時，最大特征值對應的特征向量u1更接近設定的參考波形（當相似性約束較弱時，可能存在最大特征向量與參考波形的相似度不如其他特征值的情況，但并不影響其作為下次循環的初始波形，最終輸出結果仍滿足下面的關系），即滿足
uH1s0gt;uHks0， k=2：r（25）
由于式（24）變換是保持波形相位不變基礎上僅對幅度約束，因此最優解與參考波形的相關性增加（參考波形為恒模波形，峰均比約束下最優波形幅度和恒模波形更接近），C-=s（m）（s（m））H為經過處理后的最優波形相關協方差矩陣，滿足（s（m））Hs0sH0s（m）≥etuH1s0sH0u1，而根據式（25），滿足關系etuH1s0sH0u1gt;∑rk=1λkuks0sH0uHk，因此有
tr（C0C-）gt;∑rk=1λkuks0sH0uHk=tr（C0C）（26）
故滿足相似性約束：
tr（C0C-）gt;tr（C0C）≥et-δ22（27）
綜上，最優波形同時滿足峰均比約束和相似性約束，因此s（m）為優化問題式（23）的可行解。若選擇秩1近似作為下次迭代的初始波形，則循環輸出C的能量將逐步聚焦，即矩陣的秩個數逐漸減少，能量將逐漸集中到最大特征值，最終得到滿足秩1約束的最優輸出矩陣。
將最優波形s（m）以及式（19）對應的最優濾波器組（w（m）k）Kk=1代入輸出SINR表達式中，即可得到最差目標輸出的SINR作為第m步的目標函數值：
ρ（m）SINR=mink （sm）HRkt（w（m）k）s（m）
（sm）H（Rkt（w（m）k）Rc（w（m）k））s（m）+σ2nwHkwk
， k=1：K（28）
綜上，基于秩遞減和二分法的SDP循環算法（rank decreasing and bisection based SDP cyclic algorithm， RD BS CA）流程如算法1所示。
算法 1 RD BS CA流程
輸入 初始波形、目標參數、雜波參數、噪聲功率;迭代計數m=1，迭代停止條件為最優輸出SINR變化比例小于一個很小的正數ε;
輸出 最優結果sopt，wopt，ρoptSINR;
步驟 1 根據式（15）和輸入波形s（m）、目標和雜波參數，計算目標、雜波和噪聲相關的協方差矩陣，代入式（19）后，得到m步最優濾波器組系數w（m）k，k=1：K;
步驟 2 采用以下二分循環求解最優z的值：
步驟 2.1 初始化二分循環計數n=0，zlow=0，zup=1/2·mink［wHkRkt（s（0））wk］/wHkwk，k=1：K，迭代停止條件為相鄰SINR的相對輸出不超過較小正數ε′;
步驟 2.2 z（n）=（zlow+zup）/2，求解式（22）表示的SDP優化問題，若最優值λ≥0，則向上賦二分值zlow=z（n），反之向下賦二分值zup=z（n）;
步驟 2.3 判斷是否滿足（zup－zlow）/zlow≤ε′，如滿足則輸出最優解z=z（n），否則n=n+1，再次循環執行步驟2.2和步驟2.3;
步驟 3 將最優z值代入式（21），求解協方差矩陣C。如果該矩陣的秩為1，則秩1分解得到滿足要求的最優波形s;如果不為1，則取最大特征值對應的特征向量，并利用式（24）求得m步的近似最優波形s（m）;
步驟 4 將最優波形s（m）代入式（19）求得最優濾波器組;
步驟 5 根據最優波形和濾波器組代入式（28）得到第m步的最差目標輸出ρ（m）SINR，若滿足|ρ（m）SINR－ρ（m－1）SINR||ρ（m－1）SINR|≤ε，則停止循環輸出最優結果，否則利用最優波形s（m）作為輸入，令m=m+1，繼續循環步驟1～步驟5。
可以看出，采用二分法求解最優波形時，需要多次SDP優化循環，導致計算量較大。
2.3 基于輸出近似的最優波形求解
為提高算法實時性，文獻［22］提出基于SINR輸出近似的SDP優化方法，其核心思想是：將上次輸出的SINR作為本次循環中優化目標函數中部分z值，使得式（21）轉化為凸優化問題。該算法每次循環只需計算1次SDP優化，可有效提升優化算法的運算效率。
具體來說，給定初始值
z（0）=mink SINR（wk，s0）， k=1：K（29）
后，取z（m－1）為第m-1步的最優輸出結果，舍去秩1約束;第m步算法求解以下SDP優化問題：
maxCβ
s.t.
tr（（Rkt（wk）-z（m-1）（wk））C ≥βσ2nwHkwk， k=1：K
diag（C）≤γetNTL1NTL
tr（CC0）≥et-δ22
tr（C）=et， C ≥0
（30）
基于SINR近似的SDP優化算法是針對單目標情形提出的［22］，可以保證最優輸出結果循環算法單調不減。這里將該算法推廣到多目標的情況。
假定C～為目標函數取值z（m－1）對應的最優值，也為式（21）的可行解，則滿足以下關系：
z（m-1）=minktr（Rkt（wk）C～）tr（（wk）C～）+σ2nwHkwk
β（C～）=minktr（（Rkt（wk）-z（m-1）（wk））C～）σ2nwHkwk（31）
因此有
β（C～）-z（m-1）=
minktr（Rkt（wk）C～）σ2nwHkwk-z（m-1）tr（（wk）C～）σ2nwHkwk-z（m-1）=
minktr（Rkt（wk）C～）σ2nwHkwk-z（m-1）tr（（wk）C～）+σ2nwHkwkσ2nwHkwk=
minktr（Rkt（wk）C～）σ2nwHkwk-minktr（Rkt（wk）C～）σ2nwHkwk=0（32）
假設C*為式（21）的最優解，而C～為該式的可行解，因此有
z（m）gt;β（C*）gt;β（C～）=z（m－1）（33）
式（33）中第1個不等式成立的原因，是z（m）為C*得到的最優波形求解得到的最優濾波器，見式（19）對應的目標函數，因此具有遞增性。根據式（33）可知目標函數值單調增加，因此可以求得最優解。
采用近似SINR輸出優化算法和二分法類似，為交替求解發射波形和接收濾波器的迭代算法，迭代停止條件為SINR的輸出不再有明顯變化。
基于秩遞減和SINR近似SDP循環算法（rank decreasing and SINR approximation based SDP cyclic algorithm， RD SAS CA）流程如算法2所示。
算法 2 RD SAS CA流程
輸入 初始波形，目標參數和雜波參數，噪聲功率，迭代計數m=1，迭代停止條件較小的正數ε;
輸出 最優結果sopt，wopt，ρoptSINR;
步驟 1 根據式（15）和輸入波形s（m）、目標、雜波和噪聲相關參數，計算目標、雜波和噪聲的協方差矩陣，代入式（19）后，得到m步的最優濾波器組系數w（m）k，k=1：K;
步驟 2 若m=1，則將最優濾波器組系數和對應的初始波形代入式（28）中，求得最優輸出z（0）=mink ρkSINR（wk，s0），k=1：K；否則z（m－1）=ρ（m－1）SINR;
步驟 3 求解式（30）表示的SDP優化問題，得到最優波形協方差矩陣C，采用和RD BS CA相同的秩近似方法求解最優波形s（m）;
步驟 4 將最優波形s（m）代入式（19）求得最優濾波器組;
步驟 5 根據最優波形和濾波器組代入式（28）得到第m步的最差目標輸出ρ（m）SINR，若滿足|ρ（m）SINR－ρ（m－1）SINR||ρ（m－1）SINR|≤ε，則停止循環輸出最優結果;否則，利用最優波形s（m）作為輸入，令m=m+1，繼續循環步驟1～步驟5。
2.4 計算量分析
采用RD SAS CA算法時，求解最優接收濾波器組（wk）Kk=1的計算復雜度為O（K（NRML）3），求解最優波形的SDP優化問題，所需復雜度為O（（NTL）4.5），利用矩陣分解求解最優波形的復雜度為O（（NTL）3）。若交替循環次數為T1，則算法復雜度為O（T1［（NTL）4.5+K（NRML）3］）。采用RD BS CA算法時，濾波器系數求解所需復雜度和RD SAS CA算法相同;若二分循環平均次數為Q，而交替循環次數為T2，則算法復雜度為O（T2［Q（NTL）4.5+K（NRML）3］）。通常有T1≈T2，而Q總是大于1，因此基于輸出近似的RD SAS CA算法計算量小于基于二分法的RD BS CA算法。
3 仿真分析
設置3個目標方位0°、 40°和60°，3個目標的功率均滿足SNR=10 dB。MIMO雷達所在高度h=9 000 m，雷達和中心雜波環的距離R=12 728 m，設置雜波環方位單元數為Nc=361。MIMO雷達發射和接收陣元數分別為NT=5和NR=5，發射間隔為NR個半波長，接收間隔為半波長。初始波形sini=et/（NTL）ej2πξ為恒定幅度隨機相位信號，其中ξ為0～1的隨機向量，長度為NTL×1。參考波形為線性調頻（linear frequency modulation， LFM）信號s0=et/（NTL）ejπ（k－1）2/L（k=1：L），不失一般性，設波形能量et=1。當相鄰兩次最差輸出SINR變化比例ε小于0.01時，終止兩種算法的迭代;對于RD BS CA算法，輸出SINR的變化比例ε′小于0.01時，終止二分循環。
實驗 1 仿真基于秩遞減的兩種算法的有效性。設置3個目標的歸一化多普勒頻率fd，t均為0.2，干擾單元CNR均滿足CNR=30 dB。設定恒模約束（γ=1）和相似性約束參數δ=0.5et，雜波相鄰距離環數量Nr=1，即左右相鄰各1個雜波環，發射脈沖數為M=6，發射波形采樣點數為L=6。兩種算法初始條件相同，輸入相同的隨機波形，繪制波形相關的協方差矩陣C的最大特征值，以及3個目標輸出SINR隨著迭代次數變化的單次仿真結果，如圖2所示。
可以看出，兩種算法輸出矩陣最大特征值隨迭代次數增加均變大，最終趨向于波形的能量et;相應地，算法多目標輸出SINR逐漸增加，直到收斂到穩健結果。兩種算法的穩健SINR輸出均為10.8 dB，RD SAS CA算法運行時間為6.8 s，RD BS CA算法為14 s。還可以看出，兩種算法的第1個目標迭代輸出SINR出現先減少后增加的情況，這是因為MIMO雷達根據優化的協方差矩陣來調整發射波形能量分布。開始時，第1個目標方位與雜波的距離最遠，因而輸出結果最優，第2次發射能量向較差的目標2和目標3投射更多功率，因此目標1的輸出減小導致起伏。
實驗 2 約束條件對兩種算法輸出最優結果的影響。為了消除初始隨機相位波形的隨機性影響，設計50次蒙特卡羅仿真。仿真參數同實驗1，表1給出多個目標最差輸出結果的仿真統計平均SINR，以及運行的總時間。
從表1可以看出，隨著約束程度降低（峰均比約束和相似性約束參數值變大），兩種算法的最差輸出SINR均變大;相同約束下兩種算法輸出性能接近，其中RD SAS CA算法輸出要稍好于RD BS CA算法。這是因為RD BS CA算法采用的二分循環存在終止條件導致的絕對誤差，而RD SAS CA算法采用了SDP優化可得到最優結果。
從運行時間看，在強波形約束下，RD SAS CA算法要明顯優于RD BS CA算法，而前者不需要二分循環，因此節約了時間。隨著約束條件降低，二者運行時間差別不再明顯;因為兩種算法的總循環次數很小，二分法引起的運行時間差別不再明顯。
實驗 3 仿真目標的多普勒和方位參數對輸出結果的影響。設置目標歸一化多普勒值分別取0.1，0.2和0.3，CNR分別為20 dB和30 dB，其他參數與實驗1相同。表2給出了50次隨機仿真的最差輸出SINR統計平均。
從表2中看出，相同條件下，兩種算法的性能相類似，RD SAS CA算法輸出要稍好于RD BS CA算法，與實驗2的結果相一致。不同CNR的輸出結果差別不大，表明兩種算法均能夠對不同幅度雜波進行有效抑制。不同目標參數下，最優輸出結果有較大差異，當目標歸一化多普勒值取0.3時，輸出結果明顯降低，可以從目標STAP波束形成圖得到解釋。
設最優發射波形和接收濾波器sopt，woptk（k=1：K），則MIMO雷達對第k個目標的聯合波束為
Pk（θ）=（woptk）HA（θ）sopt（34）
繪制3個目標的最優發射波形和接收濾波器聯合波束如圖3所示。
從圖3可以看出，兩種算法對于目標1和目標3均能夠形成較強增益，并在其他目標和雜波脊處均形成抑制凹口，因此能夠同時抑制相干目標和空時二維雜波干擾。由于目標2坐標落入雜波脊中，無法形成足夠的目標增益，導致表2中給出的輸出最差SINR值偏小。
實驗 4 仿真不同雜波距離單元數模型對輸出結果的影響。除設置相干雜波距離環個數Nr分別取0，2，4，未考慮波形峰均比和相似性約束（也就是表1中最后一行設置的情況，此時兩種算法差別較明顯），其他仿真條件同實驗1。進行50次隨機仿真，繪制兩種算法3個目標中最差輸出SINR的統計平均值，如圖4所示。
可以看出，當距離環從0到2時，輸出結果下降比較明顯;當距離環進一步增加時，不再有明顯下降。這是因為距離環增大則雜波和目標回波相關性減弱，所以只有近距離雜波才會對輸出結果影響較大。當發射功率增大對輸出結果變化趨勢沒有影響，這是因為增大發射功率并不影響優化輸出波形形狀，見式（30）中的優化模型。
4 結束語
本文針對已知目標和雜波參數的集中式MIMO雷達多目標魯棒檢測問題，采用最差輸出SINR最大化優化準則，交替求解最優波形和濾波器組，并同時考慮峰均比約束和相似性約束。本文創新點如下：
一是提出基于最優輸出矩陣秩遞減的迭代優化思路，克服了秩1約束不滿足時采用高斯隨機優化的不足;
二是在上述基礎上，針對SDP優化算法進行改進，提出基于二分法的RD BS CA算法和基于輸出SINR近似的RD SAS CA算法。對比兩種算法在不同波形約束、不同目標位置和雜波距離環下的算法性能。
仿真表明，兩種算法均能對地物雜波進行STAP抑制，獲得滿足實際約束的波形。最優輸出結果與目標參數位置有較大關系，當目標處于雜波脊時，最差輸出SINR會明顯下降。對比來看，兩種算法最優結果在較小發射功率時差別不大，這是因為兩種算法模型相同只是求解方法不同。另外，由于RD SAS CA算法避免了RD BS CA算法的二分循環，因此適用于實時性要求較高的場合。
本研究假定目標方位和多普勒參數、雜波功率等精確已知，實際中目標和雜波參數通常只能確定區間范圍。如何設計在已知參數范圍條件下的最優波形，是本文下步的研究方向。
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作者簡介
張云雷（1981—），男，講師，博士，主要研究方向為雷達信號處理、預警探測指揮。
劉立國（1983—），男，副教授，博士，主要研究方向為雷達信號處理、大數據分析。
彭 培（1979—），男，講師，碩士，主要研究方向為雷達信號處理、預警探測指揮。
沈廷立（1994—），男，碩士，主要研究方向為MIMO雷達信號處理。
李厚樸（1984—），男，教授，博士，主要研究方向為衛星導航。
